HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 13 cần đủ ba cạnh để kết luận hai tam giác bằng nhau. Nhưng nhiều bài chỉ cho hai cạnh và một góc, hoặc một cạnh và hai góc. Bài này cho thêm hai trường hợp: cạnh – góc – cạnh (c.g.c) và góc – cạnh – góc (g.c.g). Sau bài này em làm được 5 việc:
- Nhận ra góc xen giữa hai cạnh, hai góc kề một cạnh; tránh nhầm "c.c.g".
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo c.g.c, g.c.g; biết cần bổ sung điều kiện gì.
- Dùng góc đối đỉnh, cạnh chung, góc so le trong làm "nguyên liệu" cho hai trường hợp này.
- Dùng kĩ thuật gấp đôi trung tuyến (trung điểm, tia đối) để có đoạn bằng nhau, đường song song.
- Giải bài chứng minh nhiều ý: chứng minh hai cặp tam giác liên tiếp, thẳng hàng, trung điểm.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
Các điều dùng trong bài Lớp 7 · Bài 8–13
Hai góc đối đỉnh bằng nhau; hai đường thẳng song song tạo các cặp so le trong, đồng vị bằng nhau; tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ\); hai tam giác bằng nhau thì các cạnh, góc tương ứng bằng nhau; trường hợp c.c.c.
1Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c) Lớp 7
Định lí (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
GT: \(\triangle ABC\) và \(\triangle A'B'C'\) có \(AB = A'B'\), \(\widehat{B} = \widehat{B'}\), \(BC = B'C'\). KL: \(\triangle ABC = \triangle A'B'C'\) (c.g.c).
Góc xen giữa hai cạnh là góc có đỉnh chung của hai cạnh đó: góc xen giữa AB và BC là \(\widehat{B}\).
Vì sao góc phải xen giữa: hiểu từng bước
- Bước 1
Góc xen giữa khóa hình. Vẽ \(\widehat{B}\) rồi đặt \(BA\), \(BC\) đúng độ dài trên hai cạnh của góc: hai điểm A, C đã cố định, nên AC và hai góc còn lại cũng cố định (Hình 1).
- Bước 2
Góc không xen giữa thì không khóa được. Cho \(AB = 5\)
\(\widehat{B} = 40^\circ\)
\(AC = 4\) (góc B không nằm giữa AB và AC).
Điểm C nằm trên tia Bx và cách A một khoảng 4.
- Bước 3
Hai vị trí của C. Cung tròn tâm A bán kính 4 cắt tia Bx tại hai điểm \(C_1\), \(C_2\).
Hai tam giác \(ABC_1\), \(ABC_2\) có AB, AC, \(\widehat{B}\) bằng nhau mà rõ ràng không bằng nhau (Hình 2).
- Bước 4
Kết luận. Không có trường hợp "c.c.g".
Trước khi viết (c.g.c), luôn kiểm: góc có đỉnh là điểm chung của hai cạnh không?
\(AB = DE\), \(AC = DF\), \(\widehat{B} = \widehat{E}\) nên \(\triangle ABC = \triangle DEF\) (c.g.c).
Góc xen giữa AB và AC là \(\widehat{A}\), không phải \(\widehat{B}\). Cần \(\widehat{A} = \widehat{D}\) mới dùng được c.g.c.
Ghi nhớ
C.G.C: GÓC PHẢI NẰM GIỮA HAI CẠNH · KHÔNG CÓ C.C.G
2Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g) Lớp 7
Định lí (g.c.g)
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
GT: \(\triangle ABC\) và \(\triangle A'B'C'\) có \(\widehat{B} = \widehat{B'}\), \(BC = B'C'\), \(\widehat{C} = \widehat{C'}\). KL: \(\triangle ABC = \triangle A'B'C'\) (g.c.g).
Hai góc kề cạnh BC là hai góc có đỉnh ở hai đầu mút B, C.
Mở rộng: hai góc và một cạnh bất kì Nâng cao
Nếu biết \(AB = A'B'\), \(\widehat{A} = \widehat{A'}\), \(\widehat{C} = \widehat{C'}\) (góc C không kề AB) thì vẫn kết luận được: tổng ba góc cho \(\widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} = \widehat{B'}\), rồi dùng g.c.g với cạnh AB và hai góc kề A, B.
Trình bày phải có bước tính góc thứ ba; không viết thẳng "(g.c.g)".
g.c.g luôn cần một cặp cạnh: ba cặp góc bằng nhau chưa đủ, không có trường hợp "g.g.g" (Bài 13, mục 2).
Ghi nhớ
G.C.G: MỘT CẠNH VÀ HAI GÓC KỀ CẠNH ẤY · GÓC KHÔNG KỀ THÌ TÍNH GÓC THỨ BA TRƯỚC
3Nguyên liệu hay dùng Lớp 7
Ba nguồn cho các cặp cạnh, góc bằng nhau
Cạnh chung, góc chung: hai tam giác cùng chứa một cạnh hoặc một góc (như \(\triangle ABE\) và \(\triangle ACD\) có chung \(\widehat{A}\)).
Góc đối đỉnh: có trung điểm và tia đối ("lấy D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA") thì có cặp góc đối đỉnh tại M, dùng c.g.c.
Song song: đề cho đường thẳng song song thì có cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau, dùng g.c.g.
Cách trình bày chuẩn
Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle DMC\) có:
\(MA = MD\) (giả thiết); \(\widehat{AMB} = \widehat{DMC}\) (đối đỉnh); \(MB = MC\) (M là trung điểm BC).
Do đó \(\triangle AMB = \triangle DMC\) (c.g.c).
Viết theo thứ tự cạnh – góc – cạnh để thấy rõ góc nằm giữa hai cạnh.
Viết "\(\widehat{AMB} = \widehat{DMC}\)" mà không ghi lý do.
Mỗi cặp phải có lý do trong ngoặc: (giả thiết), (đối đỉnh), (cạnh chung), (so le trong, \(AB \parallel CD\)). Thiếu lý do là mất điểm.
Ghi nhớ
MỖI CẶP MỘT LÝ DO: GIẢ THIẾT · CHUNG · ĐỐI ĐỈNH · SO LE TRONG
🎯 Đề cương trường chuyên Trần Đại Nghĩa
§14 có 8 bài, đều là bài chứng minh nhiều ý: gấp đôi trung tuyến (Bài 11, 13, 15), tam giác có hai cạnh bằng nhau (Bài 12, 16), tia phân giác với AB < AC (Bài 14), đường song song (Bài 17, 18). Ý sau thường dùng kết quả ý trước: chứng minh xong một cặp tam giác thì ghi ngay các cặp cạnh, góc tương ứng có được.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- c.c.c: ba cặp cạnh. c.g.c: hai cặp cạnh và góc xen giữa. g.c.g: một cặp cạnh và hai góc kề.
- Không có "c.c.g" hay "g.g.g".
- Hai góc và một cạnh bất kì: tính góc thứ ba rồi dùng g.c.g.
- Nguyên liệu: cạnh chung, góc chung, góc đối đỉnh, góc so le trong và đồng vị.
- Gấp đôi trung tuyến: ra đoạn bằng nhau và hai đường thẳng song song.
Làm sao chọn giữa c.g.c và g.c.g?
Đếm xem em có sẵn bao nhiêu cặp cạnh. Có hai cặp cạnh và góc giữa chúng: c.g.c. Chỉ có một cặp cạnh nhưng biết hai góc ở hai đầu: g.c.g. Bài có song song thường dẫn tới g.c.g; bài có trung điểm và tia đối thường dẫn tới c.g.c.
Tam giác vuông có trường hợp riêng không?
Có, ở Bài 15: hai cạnh góc vuông (là c.g.c với góc vuông xen giữa), cạnh góc vuông và góc nhọn kề (g.c.g), cạnh huyền và góc nhọn, cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng tam giác bằng nhau thì làm thế nào?
Hai cách hay dùng: chỉ ra hai góc kề nhau có tổng \(180^\circ\) (thường nhờ một cặp góc tương ứng bằng nhau); hoặc chỉ ra hai đường thẳng qua một điểm cùng song song với một đường thứ ba (tiên đề Euclid).