HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Nhận biết nhanh:
- Hỏi "trường hợp nào", "góc xen giữa": Dạng 1.
- Hỏi "cần thêm điều kiện gì": Dạng 2.
- Chứng minh xong rồi tính cạnh, góc: Dạng 3.
- Có trung điểm và tia đối: Dạng 4.
- Có hai cặp đường thẳng song song: Dạng 5.
- Phải chứng minh hai cặp tam giác liên tiếp: Dạng 6.
Dạng 1. Nhận biết trường hợp bằng nhau Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề liệt kê các cặp cạnh, góc bằng nhau.
- Hỏi hai tam giác có bằng nhau không, theo trường hợp nào.
Hướng làm
- Bước 1
Đếm số cặp cạnh, số cặp góc.
- Bước 2
Hai cạnh và một góc: góc phải có đỉnh chung của hai cạnh (xen giữa).
Một cạnh và hai góc: hai góc ở hai đầu cạnh (kề), nếu không thì tính góc thứ ba trước.
Ví dụ 1
\(\triangle ABC\) và \(\triangle DEF\) có \(AB = DE\), \(\widehat{A} = \widehat{D}\), \(AC = DF\). Hai tam giác có bằng nhau không? Vì sao?
Lời giải:
Góc xen giữa AB và AC là \(\widehat{A}\)
Góc xen giữa DE và DF là \(\widehat{D}\).
Hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau, nên \(\triangle ABC = \triangle DEF\) (c.g.c).
Kết luận: bằng nhau, trường hợp c.g.c
\(AB = DE\), \(BC = EF\), \(\widehat{A} = \widehat{D}\) cũng là c.g.c.
Góc xen giữa AB, BC là \(\widehat{B}\). Biết \(\widehat{A}\) thì chưa kết luận được (Hình 2 của Lý thuyết).
Dạng 2. Bổ sung điều kiện Lớp 7
Nhận biết
Đề có dấu hiệu:
- "Cần thêm điều kiện gì để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp …"
Hướng làm
- Bước 1
Viết sẵn khuôn của trường hợp đề hỏi (c.g.c hay g.c.g) và điền các cặp đã có.
- Bước 2
Ô còn trống chính là điều kiện cần thêm.
Ví dụ 2
\(\triangle ABC\) và \(\triangle DEF\) có \(\widehat{B} = \widehat{E}\), \(BC = EF\). Cần thêm điều kiện gì để \(\triangle ABC = \triangle DEF\) theo trường hợp g.c.g? Theo trường hợp c.g.c?
Lời giải:
G.c.g với cạnh BC cần hai góc kề B, C: thêm \(\widehat{C} = \widehat{F}\).
C.g.c với góc B cần hai cạnh tạo nên góc B là BA, BC: thêm \(AB = DE\).
Đáp số: g.c.g: \(\widehat{C} = \widehat{F}\); c.g.c: \(AB = DE\)
Thêm \(\widehat{A} = \widehat{D}\) để dùng g.c.g.
\(\widehat{A}\) không kề cạnh BC. Thêm \(\widehat{A} = \widehat{D}\) vẫn kết luận được nhưng phải tính góc thứ ba trước, không phải g.c.g trực tiếp.
Dạng 3. Chứng minh rồi tính cạnh, góc Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề không cho sẵn \(\triangle ABC = \triangle DEF\) mà cho các cặp cạnh, góc.
- Hỏi một số đo khác.
Hướng làm
- Bước 1
Chứng minh hai tam giác bằng nhau (ghi rõ trường hợp).
- Bước 2
Dùng cạnh, góc tương ứng và tổng ba góc để tính.
Ví dụ 3
\(\triangle ABC\) và \(\triangle DEF\) có \(AB = DE\), \(\widehat{B} = \widehat{E} = 50^\circ\), \(BC = EF\). Biết \(\widehat{A} = 70^\circ\). Tính \(\widehat{F}\).
Lời giải:
\(\triangle ABC = \triangle DEF\) (c.g.c, góc B xen giữa AB và BC).
\(\widehat{C} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ\) (tổng ba góc của \(\triangle ABC\)).
\(\widehat{F} = \widehat{C} = 60^\circ\) (hai góc tương ứng).
Đáp số: \(\widehat{F} = 60^\circ\)
Dạng 4. Trung điểm và tia đối: góc đối đỉnh Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "O là trung điểm của AB và CD"
- "lấy D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA"
Hướng làm
- Bước 1
Hai cặp đoạn bằng nhau từ trung điểm, cặp góc đối đỉnh tại trung điểm: c.g.c.
- Bước 2
Từ cặp góc tương ứng ở vị trí so le trong, suy ra hai đường thẳng song song.
Ví dụ 4
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn. Biết \(AC = 7\) cm, \(\widehat{OAC} = 35^\circ\). Tính BD, \(\widehat{OBD}\) và chứng minh \(AC \parallel BD\).
Lời giải:
Xét \(\triangle OAC\) và \(\triangle OBD\) có:
\(OA = OB\) (O là trung điểm AB)
\(\widehat{AOC} = \widehat{BOD}\) (đối đỉnh)
\(OC = OD\) (O là trung điểm CD).
Do đó \(\triangle OAC = \triangle OBD\) (c.g.c), suy ra \(BD = AC = 7\) cm và \(\widehat{OBD} = \widehat{OAC} = 35^\circ\).
\(\widehat{OBD}\) và \(\widehat{OAC}\) là cặp so le trong (cát tuyến AB) bằng nhau, nên \(AC \parallel BD\).
Đáp số: \(BD = 7\) cm, \(\widehat{OBD} = 35^\circ\), \(AC \parallel BD\)
Ví dụ 5 (gấp đôi trung tuyến)
Cho \(\triangle ABC\), M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho \(MD = MA\). Chứng minh \(CD = AB\) và \(CD \parallel AB\).
Lời giải:
Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle DMC\) có:
\(MA = MD\) (giả thiết)
\(\widehat{AMB} = \widehat{DMC}\) (đối đỉnh)
\(MB = MC\) (M là trung điểm BC).
Do đó \(\triangle AMB = \triangle DMC\) (c.g.c), suy ra \(CD = AB\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{MDC} = \widehat{MAB}\) (hai góc tương ứng).
Hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến AD), nên \(CD \parallel AB\).
Ứng dụng thực tế: muốn đo khoảng cách AB qua một cái ao, chọn điểm O, kéo dài AO, BO thêm các đoạn \(OA' = OA\)
\(OB' = OB\)
Đo \(A'B'\) là biết AB.
Kết luận: \(CD = AB\), \(CD \parallel AB\)
\(\widehat{MDC} = \widehat{MAB}\) là hai góc đồng vị nên \(CD \parallel AB\).
Hai góc nằm ở hai phía của cát tuyến AD, giữa hai đường AB, CD: đó là so le trong.
Dạng 5. Đường thẳng song song: g.c.g Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai cặp đường thẳng song song (\(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\)).
- "qua P kẻ đường thẳng song song với …"
Hướng làm
- Bước 1
Nối một đoạn chéo làm cạnh chung.
- Bước 2
Mỗi cặp song song cho một cặp góc so le trong ở hai đầu đoạn chéo: g.c.g.
Ví dụ 6
Tứ giác ABCD có \(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\). Chứng minh \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
Lời giải:
Nối AC.
Xét \(\triangle ABC\) và \(\triangle CDA\) có:
\(\widehat{BAC} = \widehat{DCA}\) (so le trong, \(AB \parallel CD\))
AC là cạnh chung
\(\widehat{BCA} = \widehat{DAC}\) (so le trong, \(AD \parallel BC\)).
Do đó \(\triangle ABC = \triangle CDA\) (g.c.g), suy ra \(AB = CD\)
\(BC = DA\) (các cạnh tương ứng).
Nhận xét: hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.
Kết luận: \(AB = CD\), \(AD = BC\)
Ghép đỉnh theo cặp góc bằng nhau: A ↔ C, nên viết \(\triangle ABC = \triangle CDA\), không giữ nguyên thứ tự (cùng lỗi ở Bài 13, Ví dụ 4).
Dạng 6. Chứng minh hai cặp tam giác liên tiếp Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Bài nhiều ý.
- Ý sau cần một cặp cạnh hoặc góc mà chỉ có được từ cặp tam giác của ý trước.
Hướng làm
- Bước 1
Chứng minh cặp tam giác thứ nhất, ghi hết các cặp cạnh, góc tương ứng có được.
- Bước 2
Dùng chúng (cùng phép trừ đoạn thẳng, góc kề bù) làm nguyên liệu cho cặp thứ hai.
Ví dụ 7
Cho \(\triangle ABC\) có \(AB = AC\). Lấy D trên cạnh AB, E trên cạnh AC sao cho \(BD = CE\). Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh \(BE = CD\) và \(OB = OC\).
Lời giải:
\(AD = AB - BD = AC - CE = AE\).
Xét \(\triangle ABE\) và \(\triangle ACD\) có:
\(AB = AC\) (giả thiết)
\(\widehat{A}\) là góc chung
\(AE = AD\) (chứng minh trên).
Do đó \(\triangle ABE = \triangle ACD\) (c.g.c), suy ra \(BE = CD\)
\(\widehat{ABE} = \widehat{ACD}\)
\(\widehat{AEB} = \widehat{ADC}\).
\(\widehat{BDO} = 180^\circ - \widehat{ADC}\)
\(\widehat{CEO} = 180^\circ - \widehat{AEB}\) (kề bù), nên \(\widehat{BDO} = \widehat{CEO}\).
Xét \(\triangle OBD\) và \(\triangle OCE\) có:
\(\widehat{DBO} = \widehat{ECO}\) (chứng minh trên)
\(BD = CE\) (giả thiết)
\(\widehat{BDO} = \widehat{CEO}\) (chứng minh trên).
Do đó \(\triangle OBD = \triangle OCE\) (g.c.g), suy ra \(OB = OC\).
Kết luận: \(BE = CD\), \(OB = OC\)
Dùng ngay \(OB = OC\) để chứng minh \(\triangle OBD = \triangle OCE\).
\(OB = OC\) là điều phải chứng minh; nguyên liệu phải lấy từ cặp tam giác thứ nhất và giả thiết.
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Trường hợp, nguyên liệu |
|---|---|
| Trung điểm + tia đối | c.g.c với góc đối đỉnh |
| Hai cạnh bằng nhau + góc chung | c.g.c |
| Đường thẳng song song | g.c.g với góc so le trong, cạnh chung |
| Ý sau cần cạnh, góc mới | Lấy từ cặp tam giác của ý trước |
| Hai góc và cạnh không kề | Tính góc thứ ba rồi g.c.g |