HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài đầu Chương IV. Ở Chương III em đã dùng đường thẳng song song để tính góc. Bài này dùng chính công cụ đó để chứng minh một định lí rất quan trọng: tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ\). Sau bài này em làm được 5 việc:
- Chứng minh và dùng định lí tổng ba góc để tính một góc chưa biết.
- Phân loại tam giác theo góc: nhọn, vuông, tù.
- Dùng tính chất hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau.
- Nhận biết góc ngoài và dùng "góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề".
- Tính các góc khi biết tỉ lệ, tổng hoặc hiệu giữa chúng; bài có phân giác, đường cao.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
Các điều dùng trong bài Lớp 7 · Bài 8–10
Góc bẹt bằng \(180^\circ\); hai góc kề bù có tổng \(180^\circ\); tia phân giác chia đôi góc; qua một điểm có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước (tiên đề Euclid); hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.
1Tổng ba góc của một tam giác Lớp 7
Định lí
Tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ\).
\(\triangle ABC\): \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\).
Ví dụ
\(\triangle ABC\) có \(\widehat{B} = 70^\circ\), \(\widehat{C} = 50^\circ\) thì \(\widehat{A} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ\).
Vì sao tổng ba góc bằng \(180^\circ\): hiểu từng bước
- Bước 1
GT, KL. GT: \(\triangle ABC\).
KL: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\).
- Bước 2
Kẻ thêm. Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC (tiên đề Euclid: kẻ được đúng một đường), x cùng phía với B, y cùng phía với C (Hình 1).
- Bước 3
Hai cặp so le trong. \(\widehat{xAB} = \widehat{B}\) (\(xy \parallel BC\), so le trong)
\(\widehat{yAC} = \widehat{C}\) (\(xy \parallel BC\), so le trong).
- Bước 4
Góc bẹt. Ba góc \(\widehat{xAB}\), \(\widehat{BAC}\), \(\widehat{CAy}\) ghép thành góc bẹt xAy: \(\widehat{xAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAy} = 180^\circ\).
Thay ở Bước 3: \(\widehat{B} + \widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ\).
- Bước 5
Thử lại bằng số. Với \(\widehat{B} = 70^\circ\), \(\widehat{C} = 50^\circ\)
Tại A có \(70^\circ + \widehat{A} + 50^\circ = 180^\circ\)
Nên \(\widehat{A} = 60^\circ\)
Đúng như ví dụ.
Ví dụ tự kiểm tra: tam giác có hai góc \(45^\circ\) và \(75^\circ\) thì góc còn lại bằng \(180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ\).
Cho tam giác có hai góc \(100^\circ\) và \(90^\circ\), tính góc thứ ba.
\(100^\circ + 90^\circ = 190^\circ > 180^\circ\): không có tam giác nào như vậy. Tổng hai góc bất kì của tam giác luôn nhỏ hơn \(180^\circ\).
Ghi nhớ
TỔNG BA GÓC = 180° · HAI GÓC BẤT KÌ CỘNG LẠI LUÔN NHỎ HƠN 180°
2Phân loại tam giác theo góc. Tam giác vuông Lớp 7
Ba loại tam giác
Tam giác nhọn: có ba góc đều nhọn.
Tam giác vuông: có một góc vuông. Trong \(\triangle ABC\) vuông tại A: A là đỉnh góc vuông; AB, AC là hai cạnh góc vuông; BC (đối diện góc vuông) là cạnh huyền.
Tam giác tù: có một góc tù.
Định lí (tam giác vuông)
Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng \(90^\circ\)).
\(\triangle ABC\) vuông tại A \(\Leftrightarrow \widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\).
Vì sao: \(\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Ngược lại, nếu \(\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\) thì \(\widehat{A} = 90^\circ\).
Ví dụ tự kiểm tra: \(\triangle ABC\) vuông tại A, \(\widehat{B} = 35^\circ\) thì \(\widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
Hệ quả hay dùng Nâng cao
Một tam giác có nhiều nhất một góc vuông hoặc tù, nên có ít nhất hai góc nhọn. Vì nếu có hai góc từ \(90^\circ\) trở lên thì tổng hai góc đó đã từ \(180^\circ\) trở lên.
Muốn phân loại tam giác, chỉ cần xét góc lớn nhất.
Tam giác có góc \(35^\circ\) và \(55^\circ\) là tam giác nhọn vì "hai góc đều nhọn".
Phải tính góc thứ ba: \(180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ\). Đây là tam giác vuông.
Ghi nhớ
XÉT GÓC LỚN NHẤT: NHỎ HƠN 90° → NHỌN · BẰNG 90° → VUÔNG · LỚN HƠN 90° → TÙ · TAM GIÁC VUÔNG: HAI GÓC NHỌN CỘNG LẠI = 90°
3Góc ngoài của tam giác Lớp 7
Định nghĩa và định lí
Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của tam giác đó. Kéo dài cạnh BC qua C thành tia Cx thì \(\widehat{ACx}\) là góc ngoài tại C.
Định lí: mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó: \(\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B}\).
Nhận xét: góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó: \(\widehat{ACx} > \widehat{A}\), \(\widehat{ACx} > \widehat{B}\).
Vì sao góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề: hiểu từng bước
- Bước 1
Kề bù. \(\widehat{ACx} + \widehat{ACB} = 180^\circ\) (hai góc kề bù).
- Bước 2
Tổng ba góc. \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{ACB} = 180^\circ\) (định lí tổng ba góc).
- Bước 3
So sánh. Hai tổng cùng bằng \(180^\circ\) và cùng chứa \(\widehat{ACB}\), nên \(\widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B}\).
- Bước 4
Thử bằng số (Hình 3). Với \(\widehat{A} = 45^\circ\), \(\widehat{B} = 65^\circ\) thì \(\widehat{C} = 70^\circ\)
\(\widehat{ACx} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ = 45^\circ + 65^\circ\).
Phân biệt với góc trong: góc trong \(\widehat{ACB}\) và góc ngoài \(\widehat{ACx}\) tại cùng đỉnh C kề bù (tổng \(180^\circ\)); góc ngoài bằng tổng hai góc trong ở hai đỉnh kia.
Góc ngoài tại C bằng \(\widehat{A} + \widehat{C}\).
Góc ngoài tại C bằng tổng hai góc không kề với nó, tức là \(\widehat{A} + \widehat{B}\). Góc \(\widehat{C}\) kề bù với góc ngoài, không cộng vào.
Ghi nhớ
GÓC NGOÀI = TỔNG HAI GÓC TRONG KHÔNG KỀ · KHÔNG CỘNG GÓC KỀ BÙ VỚI NÓ
🎯 Đề cương trường chuyên Trần Đại Nghĩa
Từ chương này được dùng định lí tổng ba góc và góc ngoài làm lý do. Dạng hay gặp: tính các góc khi biết tỉ lệ (\(3\widehat{A} = 4\widehat{B}\)), tổng – hiệu; bài có tia phân giác và đường cao (góc giữa phân giác và đường cao). Mỗi bước vẫn phải ghi lý do: "tổng ba góc của \(\triangle\ldots\)", "góc ngoài của \(\triangle\ldots\)", "kề bù", "phân giác".
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\) (chứng minh bằng cách kẻ đường song song qua một đỉnh).
- Tam giác nhọn, vuông, tù: xét góc lớn nhất.
- Tam giác vuông: hai góc nhọn phụ nhau, \(\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\).
- Góc ngoài = tổng hai góc trong không kề; góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề.
- Mỗi tam giác có ít nhất hai góc nhọn.
Ở Chương III không được dùng tổng ba góc, sao bây giờ lại được?
Vì đến bài này định lí mới được chứng minh. Ở bài song song (Chương III), dùng một định lí chưa học là sai trình tự; từ Bài 12 trở đi, "tổng ba góc của tam giác" là một lý do hợp lệ.
Mỗi đỉnh có mấy góc ngoài?
Hai (kéo dài một trong hai cạnh qua đỉnh đó). Hai góc ngoài tại cùng một đỉnh là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau; vì vậy nói "góc ngoài tại C" là đủ rõ số đo.
Làm sao nhớ nhanh hai góc nhọn của tam giác vuông?
Biết một góc nhọn thì góc kia bằng \(90^\circ\) trừ góc đó. Ví dụ \(\widehat{B} = 35^\circ\) thì \(\widehat{C} = 55^\circ\). Đây là bước dùng rất nhiều trong bài có đường cao.