HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán dùng dãy tỉ số bằng nhau. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
Dạng 1. Tìm hai số biết tỉ số và tổng (hiệu) Lớp 7
Nhận biết
Cho \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\) (hoặc \(x : y = a : b\), \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)) cùng với \(x + y\) hoặc \(x - y\).
Hướng làm
- Bước 1
Viết về dạng \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\) (nếu đề cho \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) thì đổi chỗ trung tỉ).
- Bước 2
Cộng (trừ) tử và mẫu đúng như tổng (hiệu) đề cho, tính tỉ số chung \(k\)
Rồi \(x = a \cdot k\)
\(y = b \cdot k\).
Ví dụ 1
Tìm \(x, y\) biết \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{8}\) và \(y - x = 21\).
Lời giải:
Dãy tỉ số (lấy \(y\) trừ \(x\) cho khớp đề): \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{y - x}{8 - 5} = \dfrac{21}{3} = 7\).
Tìm từng số: \(x = 5 \cdot 7 = 35\)
\(y = 8 \cdot 7 = 56\).
Kiểm tra lại: \(56 - 35 = 21\) ✓.
Đáp số: \(x = 35\), \(y = 56\)
\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{y - x}{5 - 8} = \dfrac{21}{-3} = -7\) (tử trừ một chiều, mẫu trừ chiều ngược lại).
Tử là \(y - x\) thì mẫu là "mẫu của \(y\) − mẫu của \(x\)" \(= 8 - 5 = 3\).
Dạng 2. Tìm ba số biết tỉ lệ và một biểu thức Lớp 7
Nhận biết
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\) (hay \(x : y : z = a : b : c\)) và một biểu thức như \(x + y + z\), \(x + 2y - z\).
Hướng làm
- Bước 1
Biến nào có hệ số thì nhân hệ số vào cả tử và mẫu của tỉ số đó.
- Bước 2
Cộng, trừ đúng như biểu thức
Tính \(k\)
Nhân ngược lại để được từng số
Thử lại.
Ví dụ 2
Tìm \(x, y, z\) biết \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) và \(x + 2y - z = 18\).
Lời giải:
Nhân hệ số: \(\dfrac{y}{5} = \dfrac{2y}{10}\)
Nên \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{2y}{10} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{x + 2y - z}{3 + 10 - 7} = \dfrac{18}{6} = 3\).
Tìm từng số: \(x = 3 \cdot 3 = 9\)
\(y = 5 \cdot 3 = 15\)
\(z = 7 \cdot 3 = 21\).
Kiểm tra lại: \(9 + 30 - 21 = 18\) ✓.
Đáp số: \(x = 9\), \(y = 15\), \(z = 21\)
Có \(\dfrac{2y}{10} = 3\) rồi viết \(y = 10 \cdot 3 = 30\).
\(\dfrac{2y}{10} = \dfrac{y}{5} = 3\), nên \(y = 5 \cdot 3 = 15\). Quay về tỉ số gốc rồi mới nhân.
Dạng 3. Đưa về một dãy tỉ số Lớp 7
Nhận biết
Đề chưa có sẵn dãy: \(ax = by = cz\); \(\dfrac{2x}{3} = \dfrac{3y}{4}\); hoặc hai tỉ lệ thức có chung một biến (\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}\) và \(\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\)).
Hướng làm
- Bước 1
Nếu có \(ax = by = cz\) thì chia mọi vế cho một bội chung của \(a, b, c\).
Nếu có hai tỉ lệ thức nối nhau thì làm cho biến chung có cùng mẫu (bội chung nhỏ nhất của hai mẫu của nó).
- Bước 2
Được dãy \(\dfrac{x}{p} = \dfrac{y}{q} = \dfrac{z}{r}\)
Giải như Dạng 2.
Ví dụ 3
Tìm \(x, y, z\) biết \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2}\), \(\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) và \(x - y + z = 38\).
Lời giải:
Mẫu chung của \(y\): \(y\) có mẫu 2 và 5, bội chung nhỏ nhất là 10 (Hình 4).
Đổi hai tỉ lệ thức (nhân hai mẫu của tỉ lệ thức thứ nhất với 5, của tỉ lệ thức thứ hai với 2; tức là chia mỗi tỉ số cho 5 và cho 2): \(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10}\)
\(\dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{14}\).
Dãy tỉ số: \(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{14} = \dfrac{x - y + z}{15 - 10 + 14} = \dfrac{38}{19} = 2\).
Tìm từng số: \(x = 30\)
\(y = 20\)
\(z = 28\).
Thử: \(30 - 20 + 28 = 38\) ✓.
Đáp số: \(x = 30\), \(y = 20\), \(z = 28\)
Ví dụ 4
Tìm \(x, y, z\) biết \(6x = 10y = 15z\) và \(x + y + z = 50\).
Lời giải:
Chia cho 30 (bội chung nhỏ nhất của 6, 10, 15): \(\dfrac{6x}{30} = \dfrac{10y}{30} = \dfrac{15z}{30}\)
Tức \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2}\).
Dãy tỉ số: \(\dfrac{x + y + z}{5 + 3 + 2} = \dfrac{50}{10} = 5\)
\(x = 25\)
\(y = 15\)
\(z = 10\).
Kiểm tra lại: \(6 \cdot 25 = 10 \cdot 15 = 15 \cdot 10 = 150\) ✓.
Đáp số: \(x = 25\), \(y = 15\), \(z = 10\)
\(6x = 10y = 15z\) nên \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{15}\).
Hệ số lớn thì ẩn nhỏ: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{2}\). Thử: \(x = 6\), \(y = 10\) cho \(6x = 36 \ne 10y = 100\).
Dạng 4. Tỉ lệ và tích, bình phương: đặt \(k\) Lớp 7
Nhận biết
Ngoài tỉ lệ, đề cho \(xy\), \(x^2 + y^2\), \(x^2 - y^2\)…
Hướng làm
- Bước 1
Đặt tỉ số chung bằng \(k\), viết \(x = ak\) và \(y = bk\).
- Bước 2
Thay vào điều kiện, được \(k^2 = m\).
Nếu \(m > 0\) thì có hai giá trị \(k = \pm\sqrt{m}\)
Mỗi giá trị cho một bộ số.
Ví dụ 5
Tìm \(x, y\) biết \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\) và \(xy = 80\).
Lời giải:
Đặt \(k\): \(x = 5k\)
\(y = 4k\)
\(xy = 20k^2 = 80\)
\(k^2 = 4\).
Hai trường hợp: \(k = 2\)
\(x = 10\)
\(y = 8\).
\(k = -2\)
\(x = -10\)
\(y = -8\).
Kiểm tra lại: \((-10) \cdot (-8) = 80\) ✓.
Đáp số: \((x; y) = (10; 8)\) hoặc \((-10; -8)\)
\(k^2 = 4\) nên \(k = 2\), chỉ có \(x = 10\), \(y = 8\).
Còn \(k = -2\): \(x = -10\), \(y = -8\) cũng thỏa \(xy = 80\) và \(\dfrac{-10}{5} = \dfrac{-8}{4}\).
Dạng 5. Bài toán chia theo tỉ lệ Lớp 7
Nhận biết
"Tỉ lệ với", "theo tỉ lệ", "số đo các góc tỉ lệ với", "\(\frac{1}{2}\) số cây đội A bằng \(\frac{2}{3}\) số cây đội B"… kèm tổng hoặc hiệu.
Hướng làm
- Bước 1
Gọi các đại lượng là \(a, b, c\) (ghi đơn vị, điều kiện như "số tự nhiên khác 0").
Lập dãy tỉ số và điều kiện tổng (hiệu).
- Bước 2
Giải như Dạng 1–3
Đối chiếu điều kiện
Trả lời đủ câu hỏi.
Ví dụ 6
Ba bạn An, Bình, Cường chia 3,6 triệu đồng tiền thưởng theo tỉ lệ \(2 : 3 : 4\). Mỗi bạn nhận bao nhiêu?
Lời giải:
Lập dãy tỉ số: gọi số tiền (triệu đồng) là \(a, b, c\)
\(\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{4}\) và \(a + b + c = 3{,}6\).
Tính: \(\dfrac{a + b + c}{2 + 3 + 4} = \dfrac{3{,}6}{9} = 0{,}4\)
\(a = 0{,}8\)
\(b = 1{,}2\)
\(c = 1{,}6\) (Hình 5).
Đáp số: An 0,8 triệu, Bình 1,2 triệu, Cường 1,6 triệu đồng
"\(\frac{1}{2}\) số cây đội A bằng \(\frac{2}{3}\) số cây đội B" viết thành \(\dfrac{A}{1/2} = \dfrac{B}{2/3}\) rồi hiểu là A, B tỉ lệ với \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{2}{3}\).
\(\dfrac{1}{2}A = \dfrac{2}{3}B\) nghĩa là \(\dfrac{A}{2} = \dfrac{B}{3/2}\): A, B tỉ lệ với 2 và \(\frac{3}{2}\) (nghịch đảo). Ví dụ \(A = 60\), \(B = 45\): \(30 = 30\) ✓.
Dạng 6. Chứng minh tỉ lệ thức, tính giá trị biểu thức Nâng cao
Nhận biết
"Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Chứng minh …"; "cho \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\), tính giá trị biểu thức …".
Hướng làm
- Bước 1
Đặt \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k\)
\(a = bk\)
\(c = dk\) (giả thiết các mẫu trong đề khác 0).
- Bước 2
Thay vào từng vế, đặt thừa số chung, rút gọn.
Hai vế ra cùng một biểu thức thì đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 7
Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (các mẫu khác 0). Chứng minh \(\dfrac{a - 2b}{c - 2d} = \dfrac{b}{d}\).
Lời giải:
Đặt \(k\): \(a = bk\)
\(c = dk\).
Vế trái: \(\dfrac{bk - 2b}{dk - 2d} = \dfrac{b(k - 2)}{d(k - 2)} = \dfrac{b}{d}\) = vế phải.
Cách khác – dãy tỉ số: \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{2b}{2d} = \dfrac{a - 2b}{c - 2d}\).
Học cách nào trước: học đặt \(k\) trước, vì bài chứng minh nào cũng làm được.
Cách dãy tỉ số ngắn hơn nhưng chỉ dùng khi biểu thức cần chứng minh chỉ có cộng, trừ.
Kết luận: \(\dfrac{a - 2b}{c - 2d} = \dfrac{b}{d}\)
Ví dụ 8
Cho \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\). Tính \(P = \dfrac{x + 2y}{3x - y}\).
Lời giải:
Đặt \(k\): \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = k\)
\(x = 2k\)
\(y = 3k\) (\(k \ne 0\)).
Thay vào: \(P = \dfrac{2k + 6k}{6k - 3k} = \dfrac{8k}{3k} = \dfrac{8}{3}\).
Kiểm tra lại: \(x = 4\)
\(y = 6\)
\(\dfrac{4 + 12}{12 - 6} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}\) ✓.
Đáp số: \(P = \dfrac{8}{3}\)
Chứng minh bằng một bộ số: "\(a = 2, b = 1, c = 4, d = 2\) thì hai vế bằng nhau, vậy đúng".
Một bộ số chỉ để thử. Chứng minh phải đúng với mọi \(a, b, c, d\): dùng \(a = bk\), \(c = dk\) với \(k\) bất kì.