HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài mở đầu Chương VI. Từ "tỉ số" đã biết ở lớp 6, em học tỉ lệ thức: đẳng thức của hai tỉ số. Đây là công cụ nền cho dãy tỉ số bằng nhau (Bài 21) và các bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch (Bài 22, 23). Sau bài này em làm được 5 việc:
- Nhận biết hai tỉ số có lập thành tỉ lệ thức hay không; chỉ ra ngoại tỉ, trung tỉ.
- Giải thích và dùng tính chất 1: tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ.
- Lập đủ 4 tỉ lệ thức từ một đẳng thức tích hoặc từ bốn số cho trước (tính chất 2).
- Tìm \(x\) trong tỉ lệ thức có số thập phân, hỗn số, có \(x\) ở cả hai tỉ số.
- Giải bài toán thực tế bằng tỉ lệ thức (bản đồ, pha chế, tiêu thụ nhiên liệu).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Tỉ số của hai số Lớp 6 · Ch.VII
Tỉ số của \(a\) và \(b\) (\(b \ne 0\)) là thương \(a : b\), viết \(\dfrac{a}{b}\). Khác phân số, \(a\) và \(b\) có thể là số thập phân, phân số, số âm. Ví dụ: tỉ số của \(1{,}2\) và \(1{,}6\) là \(\dfrac{1{,}2}{1{,}6} = \dfrac{3}{4}\).
2. Hai phân số bằng nhau Lớp 6 · Ch.VI
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) khi \(a \cdot d = b \cdot c\). Ví dụ: \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}\) vì \(2 \cdot 15 = 5 \cdot 6 = 30\).
3. Chuyển vế Lớp 7 · Bài 4
Chuyển một số hạng sang vế kia thì đổi dấu: \(3x + 6 = 4x - 4\) cho \(6 + 4 = 4x - 3x\).
1Tỉ lệ thức là gì? Lớp 7
Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) (\(b, d \ne 0\)), còn viết là \(a : b = c : d\).
Các số \(a, b, c, d\) là các số hạng của tỉ lệ thức: \(a\) và \(d\) là ngoại tỉ (hai số ở hai đầu), \(b\) và \(c\) là trung tỉ (hai số ở giữa).
Nhận biết
Hai tỉ số lập thành tỉ lệ thức khi chúng bằng nhau. Muốn kiểm tra: rút gọn cả hai tỉ số về phân số tối giản, hoặc tính ra số thập phân, rồi so.
Ví dụ. \(15 : 25\) và \(3 : 5\) lập thành tỉ lệ thức, vì \(\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}\) (cùng bằng \(0{,}6\)): ta có \(15 : 25 = 3 : 5\), ngoại tỉ là 15 và 5, trung tỉ là 25 và 3. Còn \(\dfrac{3}{4}\) và \(\dfrac{12}{15}\) không lập thành tỉ lệ thức, vì \(\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \ne \dfrac{3}{4}\).
Trong \(15 : 25 = 3 : 5\), ngoại tỉ là 15 và 25 (hai số của tỉ số đầu tiên).
"Ngoại" là ở ngoài, hai đầu dãy: 15 và 5. "Trung" là ở giữa: 25 và 3.
2Tính chất 1: tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ Lớp 7
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Rightarrow\; a \cdot d = b \cdot c\)
Trong một tỉ lệ thức, tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ.
Tính chất 1: hiểu \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}\) là hai số bằng nhau (cùng bằng \(\dfrac{2}{3}\)).
Hai số bằng nhau thì nhân cả hai với cùng một số, kết quả vẫn bằng nhau.
- Bước 2
Chọn số nhân để bỏ mẫu. Nhân hai vế với \(6 \cdot 15 = 90\)
\(\dfrac{4}{6} \cdot 90 = 4 \cdot 15 = 60\)
\(\dfrac{10}{15} \cdot 90 = 10 \cdot 6 = 60\).
- Bước 3
Nhìn lại vị trí các số. Vế trái còn \(4 \cdot 15\): hai số ở hai đầu (ngoại tỉ).
Vế phải còn \(6 \cdot 10\): hai số ở giữa (trung tỉ).
Vì thế quy tắc còn gọi là "nhân chéo".
- Bước 4
Thử lại với chữ. Nhân hai vế của \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) với \(b \cdot d\): được \(a \cdot d = c \cdot b\).
Đúng với mọi tỉ lệ thức, không chỉ ví dụ này.
Dùng ngay: tìm một số hạng chưa biết. Từ \(a \cdot d = b \cdot c\) suy ra mỗi ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ kia, mỗi trung tỉ bằng tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ kia. Ví dụ \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{8}{6}\): \(6x = 3 \cdot 8 = 24\), \(x = 4\). (Cũng có thể rút gọn trước: \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\), nên \(x = 4\).)
Từ \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\) viết \(3 \cdot 4 = 15 \cdot 20\) ("nhân ngang" từng tỉ số).
Nhân chéo: \(3 \cdot 20 = 4 \cdot 15 = 60\). Nhân ngang cho \(12 \ne 300\), sai ngay.
3Tính chất 2: từ đẳng thức tích lập 4 tỉ lệ thức Lớp 7
Tính chất 2
Nếu \(a \cdot d = b \cdot c\) và \(a, b, c, d\) đều khác 0 thì ta có bốn tỉ lệ thức:
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\); \(\quad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\); \(\quad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}\); \(\quad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}\).
Vì sao?
Chia hai vế của \(a \cdot d = b \cdot c\) lần lượt cho \(b \cdot d\), \(c \cdot d\), \(a \cdot b\), \(a \cdot c\) (đều khác 0) là được bốn tỉ lệ thức trên. Ví dụ chia cho \(b \cdot d\): \(\dfrac{a \cdot d}{b \cdot d} = \dfrac{b \cdot c}{b \cdot d}\), tức \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).
Cách nhớ
Hai số của một tích (\(a\) và \(d\)) luôn làm ngoại tỉ; hai số của tích kia (\(b\) và \(c\)) làm trung tỉ. Từ tỉ lệ thức gốc: đổi chỗ hai trung tỉ, đổi chỗ hai ngoại tỉ, hoặc đổi cả hai.
Ví dụ. Từ \(3 \cdot 20 = 4 \cdot 15\) (cùng bằng 60): 3 và 20 là ngoại tỉ, 4 và 15 là trung tỉ. Bốn tỉ lệ thức: \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\); \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{4}{20}\); \(\dfrac{20}{4} = \dfrac{15}{3}\); \(\dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}\). Kiểm tra lại: \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) ✓; \(\dfrac{20}{4} = \dfrac{15}{3} = 5\) ✓.
Từ \(3 \cdot 20 = 4 \cdot 15\) viết \(\dfrac{3}{20} = \dfrac{4}{15}\) (hai số của cùng một tích đứng chung một tỉ số).
3 và 20 phải ở hai đầu: \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\). Thử: \(\dfrac{3}{20} = 0{,}15\) còn \(\dfrac{4}{15} = 0{,}2(6)\), không bằng nhau.
🔗 Liên kết
Bài toán "quy tắc tam suất" ở tiểu học (3 kg giá 75 nghìn, 5 kg giá bao nhiêu?) chính là tìm một số hạng của tỉ lệ thức \(\dfrac{3}{75} = \dfrac{5}{x}\). Bài 21 sẽ mở rộng thành dãy tỉ số bằng nhau (chia một số theo tỉ lệ, kỹ thuật đặt \(k\)), dạng gần như luôn có trong đề kiểm tra học kỳ II của trường chuyên.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) hay \(a : b = c : d\).
- \(a, d\) là ngoại tỉ (hai đầu), \(b, c\) là trung tỉ (ở giữa).
- Tính chất 1: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c\) (nhân chéo, không nhân ngang).
- Tính chất 2: \(a \cdot d = b \cdot c\), các số khác 0 \(\Rightarrow\) 4 tỉ lệ thức; hai số của một tích luôn cùng là ngoại tỉ hoặc cùng là trung tỉ.
- Tìm \(x\): nhân chéo để bỏ mẫu, giải, rồi thay lại vào đề để thử.
Tỉ lệ thức có được chứa số thập phân, số âm không?
Được. Các số hạng là số hữu tỉ bất kì, chỉ cần mẫu khác 0. Ví dụ \(1{,}5 : 2 = 3 : 4\) (cùng bằng \(0{,}75\)); \(\dfrac{-2}{3} = \dfrac{4}{-6}\) vì \((-2) \cdot (-6) = 3 \cdot 4 = 12\).
Vì sao tính chất 2 cần các số khác 0?
Vì số nằm ở mẫu phải khác 0. Ví dụ \(2 \cdot 0 = 0 \cdot 5\) đúng, nhưng viết thành \(\dfrac{2}{0} = \dfrac{5}{0}\) thì không có nghĩa.
Tìm \(x\) thì nên nhân chéo ngay hay rút gọn trước?
Rút gọn tỉ số đã biết trước cho số nhỏ hơn, đỡ nhầm: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{8}{6}\) thì \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\), thấy ngay \(x = 4\). Khi \(x\) nằm trong biểu thức (\(x + 2\), \(2x - 1\)) thì nhân chéo, nhớ đặt cả biểu thức trong ngoặc.