HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài cuối Chương II. Em gộp số hữu tỉ (Bài 1–5) và số vô tỉ (Bài 6) thành tập hợp số thực, học cách so sánh số thực và một khái niệm rất hay dùng: giá trị tuyệt đối. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Dùng đúng kí hiệu \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}\) và quan hệ giữa chúng.
- So sánh, sắp xếp các số thực có căn, số thập phân vô hạn, phân số, \(\pi\).
- Tính giá trị tuyệt đối và biểu thức có giá trị tuyệt đối, căn.
- Tìm \(x\) trong đẳng thức có giá trị tuyệt đối hoặc có căn.
- Giải bài nâng cao: giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức có giá trị tuyệt đối.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Số hữu tỉ, số vô tỉ Lớp 7 · Bài 5, 6
Số hữu tỉ: số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn (\(0{,}(3) = \dfrac{1}{3}\)). Số vô tỉ: vô hạn không tuần hoàn (\(\sqrt{2}\), \(\pi\)).
2. Số đối, so sánh số thập phân Lớp 7 · Bài 1, 5
Số đối của \(a\) là \(-a\). So sánh số thập phân: so từng hàng từ trái sang phải; với số âm, phần không dấu lớn hơn thì số nhỏ hơn.
1Tập hợp số thực và trục số thực Lớp 7
Số thực
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp số thực kí hiệu là \(\mathbb{R}\).
Ví dụ: \(3\); \(0\); \(-5\); \(\dfrac{3}{7}\); \(3{,}125\); \(\sqrt{2}\); \(\pi\) đều là số thực: \(3 \in \mathbb{R}\), \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\), \(\pi \in \mathbb{R}\).
Chú ý
- \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) và \(\mathbb{I} \subset \mathbb{R}\). Không số nào vừa thuộc \(\mathbb{Q}\) vừa thuộc \(\mathbb{I}\) (Hình 1).
- Mỗi số thực \(a\) có một số đối \(-a\): số đối của \(\sqrt{3}\) là \(-\sqrt{3}\).
- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (số chia khác 0), lũy thừa trên \(\mathbb{R}\) có đủ tính chất như trên \(\mathbb{Q}\).
Trục số thực. Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực. Số hữu tỉ chưa "lấp đầy" trục số: còn những điểm như \(\sqrt{2}\). Hình 2 cho thấy cách tìm điểm \(\sqrt{2}\): đường chéo của ô vuông cạnh 1 chính là cạnh của hình vuông diện tích 2 ở Bài 6.
\(\sqrt{9} \in \mathbb{I}\) vì có dấu căn; hoặc \(\sqrt{2} \notin \mathbb{R}\) vì "không viết được thành phân số".
\(\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}\). \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ, mà mọi số vô tỉ đều là số thực: \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\).
Ghi nhớ
SỐ THỰC = SỐ HỮU TỈ + SỐ VÔ TỈ · MỖI ĐIỂM TRÊN TRỤC SỐ ỨNG VỚI ĐÚNG MỘT SỐ THỰC
2Thứ tự trong tập hợp số thực Lớp 7
So sánh hai số thực
Mọi số thực viết được dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn), nên so sánh hai số thực như so sánh hai số thập phân. Với hai số thực \(a, b\) bất kì: \(a = b\) hoặc \(a < b\) hoặc \(a > b\).
- Bắc cầu: \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c\).
- Trên trục số, \(a < b\) thì điểm \(a\) nằm bên trái điểm \(b\). Số âm nằm bên trái gốc O (\(x < 0\)), số dương nằm bên phải (\(x > 0\)).
- Nếu \(0 \le a < b\) thì \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
Ví dụ. So sánh \(\sqrt{7}\) và \(2{,}6\): \(2{,}6 = \sqrt{(2{,}6)^2} = \sqrt{6{,}76}\) và \(6{,}76 < 7\), nên \(2{,}6 < \sqrt{7}\). So sánh \(-\pi\) và \(-3{,}15\): \(\pi = 3{,}1415\ldots < 3{,}15\), số âm thì đổi chiều: \(-\pi > -3{,}15\). Bắc cầu: \(\sqrt{8} < \sqrt{9} = 3 < \pi\), nên \(\sqrt{8} < \pi\).
\(\pi < 3{,}15\) nên \(-\pi < -3{,}15\) (giữ nguyên chiều khi thêm dấu trừ).
Thêm dấu trừ cho cả hai số thì đổi chiều: \(-\pi > -3{,}15\). Trên trục số, \(-\pi\) nằm gần 0 hơn.
Ghi nhớ
SO SÁNH SỐ THỰC NHƯ SỐ THẬP PHÂN · HAI SỐ ÂM: SỐ NÀO XA 0 HƠN THÌ NHỎ HƠN · THÊM DẤU TRỪ THÌ ĐỔI CHIỀU
3Giá trị tuyệt đối của một số thực Lớp 7
Định nghĩa
Khoảng cách từ điểm \(a\) đến điểm gốc O trên trục số là giá trị tuyệt đối của số \(a\), kí hiệu \(|a|\).
Nhận xét
\(|a| = a\) khi \(a > 0\); \(|a| = -a\) khi \(a < 0\); \(|0| = 0\). Ví dụ: \(|-7| = 7\); \(\left|\dfrac{4}{9}\right| = \dfrac{4}{9}\); \(|-\sqrt{5}| = -(-\sqrt{5}) = \sqrt{5}\).
Tính chất
- \(|a| \ge 0\) với mọi \(a\); \(|a| = 0\) chỉ khi \(a = 0\).
- Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau: \(|-a| = |a|\).
Giá trị tuyệt đối: hiểu \(|-3{,}5|\) và \(|x| = 2{,}5\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \(|-3{,}5|\) là "điểm \(-3{,}5\) cách 0 bao xa".
Khoảng cách thì không âm.
- Bước 2
Đếm trên trục số. Từ \(-3{,}5\) đến 0 là 3,5 đơn vị
Từ 3,5 đến 0 cũng 3,5 đơn vị (Hình 3).
Vậy \(|-3{,}5| = |3{,}5| = 3{,}5\).
- Bước 3
Đọc ngược lại. \(|x| = 2{,}5\) nghĩa là "điểm \(x\) cách 0 đúng 2,5 đơn vị": có hai điểm như thế, \(x = 2{,}5\) hoặc \(x = -2{,}5\).
- Bước 4
Trường hợp đặc biệt. \(|x| = 0\) chỉ có \(x = 0\).
\(|x| = -1\)
Không có điểm nào cách 0 một khoảng âm, nên không có \(x\).
\(|x| = a \;(a > 0) \;\Rightarrow\; x = a \;\text{ hoặc }\; x = -a\)
\(a = 0\): \(x = 0\). \(a < 0\): không có \(x\).
Phân biệt với căn: \(\sqrt{a}\) chỉ có nghĩa khi \(a \ge 0\); còn \(|a|\) có nghĩa với mọi \(a\). Hai kí hiệu cùng cho kết quả không âm: \(\sqrt{(-3)^2} = 3 = |-3|\).
\(|-x| = x\) với mọi \(x\).
\(|-x| = |x|\). Thử \(x = -4\): \(|-x| = |4| = 4\), không bằng \(x = -4\).
\(|2 - 5| = |2| - |5| = -3\).
Tính trong dấu giá trị tuyệt đối trước: \(|2 - 5| = |-3| = 3\).
Ghi nhớ
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI = KHOẢNG CÁCH ĐẾN 0, LUÔN KHÔNG ÂM · BẰNG SỐ DƯƠNG: HAI GIÁ TRỊ ĐỐI NHAU · BẰNG 0: MỘT GIÁ TRỊ · BẰNG SỐ ÂM: KHÔNG CÓ
🔗 Liên kết
\(|x - a|\) là khoảng cách giữa hai điểm \(x\) và \(a\) trên trục số. Ý tưởng này giúp tìm giá trị nhỏ nhất của \(|x - 1| + |x - 5|\) (chuyên đề CD8 GTLN – GTNN) và xuất hiện ở Bài 2 đề HK1 TĐN (tìm \(x\) có giá trị tuyệt đối lồng hỗn số).
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- \(\mathbb{R}\) gồm số hữu tỉ và số vô tỉ; \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), \(\mathbb{I} \subset \mathbb{R}\).
- So sánh số thực như số thập phân; \(0 \le a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\).
- \(|a|\) là khoảng cách từ \(a\) đến 0: \(|a| \ge 0\), \(|-a| = |a|\).
- \(|x| = a > 0\) có hai giá trị \(\pm a\); \(|x| = 0 \Rightarrow x = 0\); \(|x| = \) số âm: không có \(x\).
- Tính trong dấu giá trị tuyệt đối trước, rồi mới bỏ dấu.
Có số nào không phải số thực không?
Ở lớp 7, mọi số em gặp đều là số thực. Biểu thức như \(\sqrt{-4}\) không có nghĩa (không là số nào cả), vì không số thực nào bình phương ra số âm.
Làm sao bỏ dấu giá trị tuyệt đối của \(|\sqrt{5} - 3|\)?
Xét dấu bên trong: \(\sqrt{5} < \sqrt{9} = 3\), nên \(\sqrt{5} - 3 < 0\). Số âm thì giá trị tuyệt đối là số đối: \(|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}\).
Vì sao "trục số thực" mới lấp đầy trục số?
Giữa hai số hữu tỉ luôn có những điểm như \(\sqrt{2}\) không biểu diễn được bằng phân số (Hình 2). Thêm các số vô tỉ vào thì mỗi điểm trên trục số đều ứng với một số, không còn "lỗ hổng".