Tập hợp các số thực — Các dạng bài và ví dụ

Nhận biết

Đề có một trong các dấu hiệu:

• Điền \(\in\), \(\notin\), \(\subset\).
• Chọn khẳng định đúng về \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}\).

Hướng làm

1. Bước 1

   Rút gọn số trước (tính căn, đổi số thập phân tuần hoàn ra phân số) để biết nó thuộc tập "nhỏ nhất" nào.

2. Bước 2

   Dùng sơ đồ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

   \(\mathbb{I} \subset \mathbb{R}\)

   Thuộc tập nhỏ thì thuộc mọi tập chứa nó

   \(\mathbb{Q}\) và \(\mathbb{I}\) không có phần tử chung.

Nhận biết

Đề có một trong các dấu hiệu:

• Dãy số có lẫn căn, \(\pi\), số thập phân vô hạn tuần hoàn, phân số.
• Có cả số âm.

Hướng làm

1. Bước 1

   Chia nhóm âm và dương.

   Viết mỗi số dưới dạng thập phân vài chữ số (mở chu kỳ; \(\pi = 3{,}1415\ldots\)).

2. Bước 2

   Với căn, so bằng bình phương: \(b = \sqrt{b^2}\) (\(b \ge 0\)), rồi so số trong căn.

   Có thể bắc cầu qua một số tròn.

Nhận biết

Đề có một trong các dấu hiệu:

• Biểu thức có \(|\ldots|\), \(\sqrt{\ldots}\).
• Có thêm lũy thừa, hỗn số, số thập phân (Bài 9 §7, Bài 3 ôn chương II của đề cương TĐN).

Hướng làm

1. Bước 1

   Tính trong mỗi dấu \(|\ldots|\) và mỗi căn trước, bỏ dấu: \(|\text{số âm}|\) là số đối, \(|\text{số dương}|\) giữ nguyên.

2. Bước 2

   Tính tiếp theo thứ tự thực hiện phép tính (Bài 4): lũy thừa → nhân chia → cộng trừ.

Nhận biết

\(x\) nằm trong dấu \(|\ldots|\), ở một trong các dạng:

• \(|A| = b\)
• \(c - k|A| = d\)
• \(|A| = |B|\)
• \(|A| = B\) (vế phải chứa \(x\))

Hướng làm

1. Bước 1

   Coi \(|A|\) là một khối, dùng chuyển vế, chia để đưa về \(|A| = b\).

2. Bước 2

   \(b < 0\)

   Không có \(x\).

   \(b = 0\)

   \(A = 0\).

   \(b > 0\)

   \(A = b\) hoặc \(A = -b\), giải từng trường hợp.

3. Nâng cao

   \(|A| = |B|\) thì \(A = B\) hoặc \(A = -B\).

   \(|A| = B\) có \(x\) ở vế phải: cần \(B \ge 0\)

   Tìm xong phải thử lại điều kiện này và loại giá trị không thỏa mãn.

Nhận biết

\(x\) nằm trong căn, ở một trong các dạng:

• \(\sqrt{x} = a\)
• \(\sqrt{A} = b\)
• \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\)

Hướng làm

1. Bước 1

   \(\sqrt{A} = b\) cần \(b \ge 0\) (nếu \(b < 0\) thì không có \(x\))

   Khi đó \(A = b^2\).

2. Bước 2

   \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) (với \(A, B \ge 0\)) thì \(A = B\).

   Giải tìm \(x\), thay lại kiểm tra.

Nhận biết

"Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của …" với biểu thức dạng:

• \(|A| + c\)
• \(c - |A|\)
• \(|x - a| + |x - b|\)

Hướng làm

1. Bước 1

   Dùng \(|A| \ge 0\)

   \(|A| + c \ge c\) (nhỏ nhất bằng \(c\))

   \(c - |A| \le c\) (lớn nhất bằng \(c\)).

2. Bước 2

   Bắt buộc chỉ ra dấu "=" xảy ra: khi \(A = 0\), tìm \(x\).

   Thiếu bước này thì chưa kết luận được.

3. Bước 3

   \(|x - a| + |x - b|\) (\(a < b\)) là tổng khoảng cách từ \(x\) đến \(a\) và \(b\): nhỏ nhất bằng \(b - a\), khi \(x\) nằm giữa \(a\) và \(b\).