HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài cuối Chương IV. Ở các bài trước, nhiều lần em phải chứng minh vòng "hai cạnh bằng nhau thì hai góc bằng nhau". Bài này biến điều đó thành công cụ có sẵn: tam giác cân, tam giác đều và đường trung trực. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Gọi tên đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của tam giác cân.
- Tính góc ở đáy từ góc ở đỉnh và ngược lại.
- Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều.
- Dùng đường trung trực: điểm trên trung trực cách đều hai đầu mút, và ngược lại.
- Giải bài tổng hợp: song song, bằng nhau, vuông góc trong tam giác cân.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
Các điều dùng trong bài Lớp 7 · Bài 12–15
Tổng ba góc bằng \(180^\circ\); ba trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g; bốn trường hợp của tam giác vuông; hai góc kề bù bằng nhau thì vuông góc.
1Tam giác cân Lớp 7
Định nghĩa
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
\(\triangle ABC\) cân tại A (\(AB = AC\)): A là đỉnh; AB, AC là cạnh bên; BC là cạnh đáy; \(\widehat{A}\) là góc ở đỉnh; \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) là góc ở đáy.
Tính chất
Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
Với \(\triangle ABC\) cân tại A: \(\widehat{A} = 180^\circ - 2\widehat{B}\); \(\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^\circ - \widehat{A}}{2}\).
Vì sao hai góc ở đáy bằng nhau: hiểu từng bước
- Bước 1
Kẻ thêm. Kẻ tia phân giác của \(\widehat{A}\), cắt BC tại H (Hình 1).
- Bước 2
c.g.c. \(AB = AC\) (giả thiết)
\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\) (AH là tia phân giác)
AH là cạnh chung.
Do đó \(\triangle ABH = \triangle ACH\).
- Bước 3
Góc tương ứng. \(\widehat{B} = \widehat{C}\).
Ngoài ra \(HB = HC\) và \(\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ\): đường phân giác từ đỉnh cũng là đường trung trực của đáy.
- Bước 4
Thử bằng số. \(\widehat{A} = 40^\circ\) thì \(\widehat{B} = \widehat{C} = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ\)
\(\widehat{B} = 65^\circ\) thì \(\widehat{A} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
\(\triangle ABC\) cân tại A nên \(\widehat{A} = \widehat{B}\).
Hai góc bằng nhau là hai góc ở đáy: \(\widehat{B} = \widehat{C}\). Góc ở đỉnh A nói chung khác.
Tam giác vuông cân Lớp 7
Tam giác vừa vuông vừa cân (vuông cân tại A) có \(\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ\). Ngược lại, tam giác vuông có một góc nhọn \(45^\circ\) là tam giác vuông cân.
Ghi nhớ
CÂN TẠI A: HAI GÓC Ở ĐÁY B = C · GÓC ĐÁY = (180° − GÓC ĐỈNH) : 2 · GÓC TÙ CHỈ Ở ĐỈNH
2Tam giác đều Lớp 7
Định nghĩa và dấu hiệu
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Mỗi góc của tam giác đều bằng \(60^\circ\).
Dấu hiệu: tam giác có ba cạnh bằng nhau; tam giác có ba góc bằng nhau; tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ\).
Vì sao tam giác cân có một góc \(60^\circ\) là tam giác đều: nếu góc ở đỉnh bằng \(60^\circ\) thì mỗi góc ở đáy bằng \((180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ\); nếu một góc ở đáy bằng \(60^\circ\) thì góc ở đáy kia cũng \(60^\circ\) và góc ở đỉnh bằng \(60^\circ\). Ba góc bằng nhau nên ba cạnh bằng nhau.
Tam giác cân có một góc \(45^\circ\) là tam giác vuông cân.
Chỉ đúng khi \(45^\circ\) là góc ở đáy. Nếu góc ở đỉnh bằng \(45^\circ\) thì hai góc ở đáy bằng \(67{,}5^\circ\). Riêng góc \(60^\circ\) thì ở vị trí nào cũng cho tam giác đều.
Ghi nhớ
ĐỀU = BA CẠNH BẰNG NHAU = BA GÓC 60° = CÂN CÓ MỘT GÓC 60°
3Đường trung trực của đoạn thẳng Lớp 7
Định nghĩa và tính chất
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Khi đó ta nói A và B đối xứng nhau qua đường thẳng đó.
Định lí 1: điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Định lí 2: điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Hai cách dùng hay gặp Nâng cao
Có trung trực, suy ra tam giác cân: D nằm trên trung trực của AC thì \(DA = DC\), \(\triangle DAC\) cân tại D, \(\widehat{DAC} = \widehat{DCA}\).
Chứng minh thẳng hàng: ba điểm A, D, E cùng cách đều B và C thì cùng nằm trên trung trực của BC, nên thẳng hàng (Bài 33 đề cương).
"MA = MB nên M là trung điểm của AB."
MA = MB chỉ cho M nằm trên đường trung trực của AB. M là trung điểm khi còn thêm M nằm trên đoạn AB.
Ghi nhớ
TRÊN TRUNG TRỰC ⇔ CÁCH ĐỀU HAI ĐẦU MÚT · CÁCH ĐỀU CHƯA CHẮC LÀ TRUNG ĐIỂM
🎯 Đề cương trường chuyên Trần Đại Nghĩa
§16 là phần dài nhất của Chương IV (12 bài, nhiều bài 3–4 ý): tam giác cân với đường cao, phân giác; dựng tam giác đều ra ngoài (Bài 30); đồng quy (Bài 31d); trung trực cắt cạnh (Bài 34, 35). Từ bài này được dùng thẳng "tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau" làm lý do.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Tam giác cân: hai cạnh bằng nhau ⇔ hai góc ở đáy bằng nhau.
- Góc ở đáy \(= (180^\circ - \text{góc ở đỉnh}) : 2\).
- Tam giác đều: ba cạnh bằng nhau, mỗi góc \(60^\circ\); tam giác cân có một góc \(60^\circ\) là tam giác đều.
- Trong tam giác cân, đường phân giác từ đỉnh cũng vuông góc với đáy tại trung điểm.
- Điểm trên trung trực ⇔ cách đều hai đầu mút.
Muốn chứng minh tam giác cân, nên chứng minh hai cạnh hay hai góc?
Tùy đề: có nhiều đoạn bằng nhau thì chứng minh hai cạnh (thường qua tam giác bằng nhau); có song song, phân giác thì chứng minh hai góc (so le trong, đồng vị, phân giác). Bài 29 đề cương là ví dụ dùng góc.
Tam giác đều có phải tam giác cân không?
Có. Tam giác đều cân tại cả ba đỉnh, nên mọi tính chất của tam giác cân đều dùng được cho tam giác đều.
Vẽ đường trung trực bằng thước và compa thế nào?
Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B cùng bán kính (lớn hơn nửa AB), cắt nhau tại hai điểm. Đường thẳng qua hai điểm đó là đường trung trực, vì mỗi điểm đều cách đều A và B.