HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán của Bài 6. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
Dạng 1. Nhận biết số vô tỉ, số hữu tỉ Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Chọn phát biểu đúng" với kí hiệu \(\in \mathbb{Q}\), \(\in \mathbb{I}\).
- "Số nào là số vô tỉ".
Hướng làm
- Bước 1
Số có căn: tính thử.
Số trong căn (dạng tối giản) có tử và mẫu đều là số chính phương thì căn là số hữu tỉ
Ngược lại là số vô tỉ.
- Bước 2
Số thập phân: hữu hạn hoặc có chu kỳ → hữu tỉ
Vô hạn mà không có nhóm lặp (như \(\pi\), \(0{,}1010010001\ldots\)) → vô tỉ.
Ví dụ 1
Mỗi số sau là số hữu tỉ hay số vô tỉ: \(\sqrt{0{,}25}\); \(\sqrt{8}\); \(-\sqrt{121}\); \(\dfrac{2}{7}\); \(0{,}123456789101112\ldots\) (viết liền các số tự nhiên)?
Lời giải:
\(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \in \mathbb{Q}\)
\(-\sqrt{121} = -11 \in \mathbb{Q}\) (là số nguyên)
\(\dfrac{2}{7} \in \mathbb{Q}\) (phân số, viết ra là \(0{,}(285714)\)).
\(\sqrt{8} \in \mathbb{I}\) vì 8 không chính phương (\(2^2 < 8 < 3^2\)).
\(0{,}123456789101112\ldots\) vô hạn và các chữ số không lặp theo chu kỳ nào, nên là số vô tỉ.
Đáp số: hữu tỉ: \(\sqrt{0{,}25}\), \(-\sqrt{121}\), \(\dfrac{2}{7}\); vô tỉ: \(\sqrt{8}\), \(0{,}123456789101112\ldots\)
Vì sao \(\sqrt{2}\) không phải số hữu tỉ Nâng cao
Giả sử \(\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}\) với \(m, n\) nguyên dương, phân số tối giản. Bình phương: \(m^2 = 2n^2\), nên \(m^2\) chẵn. Số lẻ bình phương lên vẫn lẻ, vậy \(m\) chẵn: \(m = 2k\). Thay vào: \(4k^2 = 2n^2\), tức \(n^2 = 2k^2\), nên \(n\) cũng chẵn. Cả \(m\) và \(n\) chẵn, trái với "tối giản". Vậy không có phân số nào bằng \(\sqrt{2}\).
\(-\sqrt{121} \in \mathbb{I}\) vì "có dấu căn là vô tỉ".
Tính ra trước: \(-\sqrt{121} = -11\), là số hữu tỉ. Dấu căn chưa nói lên điều gì.
Dạng 2. Tính căn bậc hai số học Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Tính \(\sqrt{a}\) với \(a\) là số chính phương, phân số, số thập phân.
- Các biểu thức \(-\sqrt{a}\), \(\sqrt{(-a)^2}\), \(\left(\sqrt{a}\right)^2\).
Hướng làm
- Bước 1
Tính số trong căn trước (bình phương, phép tính).
Tìm số không âm có bình phương bằng số đó.
- Bước 2
Phân số: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) lấy căn tử và căn mẫu.
Số thập phân: đổi ra phân số thập phân (\(0{,}81 = \dfrac{81}{100}\)).
Dấu trừ ngoài căn thì giữ lại.
Ví dụ 2
Tính: a) \(\sqrt{\dfrac{121}{144}}\); b) \(-\sqrt{0{,}81}\); c) \(\sqrt{(-8)^2}\); d) \(\left(-\sqrt{7}\right)^2\).
Lời giải:
a) \(11^2 = 121\)
\(12^2 = 144\)
Nên \(\sqrt{\dfrac{121}{144}} = \dfrac{11}{12}\).
b) \(0{,}81 = \dfrac{81}{100}\)
\(\sqrt{0{,}81} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9\)
Giữ dấu trừ: \(-\sqrt{0{,}81} = -0{,}9\).
c) \((-8)^2 = 64\)
\(\sqrt{64} = 8\).
d) \(\left(-\sqrt{7}\right)^2 = \left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\) (bình phương hai số đối nhau bằng nhau).
Đáp số: a) \(\dfrac{11}{12}\); b) \(-0{,}9\); c) 8; d) 7
\(\sqrt{(-8)^2} = -8\) (căn và bình phương "triệt tiêu nhau").
Căn bậc hai số học luôn không âm: \(\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8\).
Dạng 3. Tìm \(x\) biết \(x^2 = a\) Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đẳng thức có \(x^2\) bằng một số.
- Đẳng thức có bình phương của một biểu thức chứa \(x\) bằng một số.
Hướng làm
- Bước 1
Biến đổi (chuyển vế, chia) để còn dạng \(A^2 = a\).
- Bước 2
\(a > 0\)
\(A = \sqrt{a}\) hoặc \(A = -\sqrt{a}\) (hai giá trị, trừ khi đề cho \(x \ge 0\)).
\(a = 0\)
\(A = 0\).
\(a < 0\)
Không có \(x\).
Ví dụ 3
Tìm \(x\), biết: a) \(x^2 = \dfrac{81}{100}\); b) \(x \ge 0\) và \(x^2 = 1{,}69\); c) \((x - 1)^2 = \dfrac{9}{4}\).
Lời giải:
a) \(\sqrt{\dfrac{81}{100}} = \dfrac{9}{10}\)
Nên \(x = \dfrac{9}{10}\) hoặc \(x = -\dfrac{9}{10}\).
b) \(x \ge 0\) nên \(x = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3\).
c) \(x - 1 = \dfrac{3}{2}\) cho \(x = \dfrac{5}{2}\)
\(x - 1 = -\dfrac{3}{2}\) cho \(x = -\dfrac{1}{2}\).
Đáp số: a) \(x = \pm\dfrac{9}{10}\); b) \(x = 1{,}3\); c) \(x = \dfrac{5}{2}\) hoặc \(x = -\dfrac{1}{2}\)
a) \(x^2 = \dfrac{81}{100}\) nên \(x = \sqrt{\dfrac{81}{100}} = \dfrac{9}{10}\) (chỉ một giá trị).
\(\left(-\dfrac{9}{10}\right)^2\) cũng bằng \(\dfrac{81}{100}\): có hai giá trị \(\pm\dfrac{9}{10}\).
Dạng 4. Ước lượng và so sánh căn bậc hai Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "\(\sqrt{30}\) nằm giữa hai số nguyên nào".
- "So sánh \(\sqrt{50}\) và 7".
- Đề không cho dùng máy tính.
Hướng làm
- Bước 1
Viết số nguyên dưới dạng căn: \(7 = \sqrt{49}\).
Với hai số không âm, số trong căn lớn hơn thì căn lớn hơn.
- Bước 2
Kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp
Muốn biết gần số nào hơn thì so với bình phương của điểm giữa.
Ví dụ 4
a) \(\sqrt{30}\) nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nào? Gần số nào hơn?
b) So sánh \(\sqrt{17} - 1\) và 3.
Lời giải:
a) \(25 < 30 < 36\) nên \(5 < \sqrt{30} < 6\).
Điểm giữa \((5{,}5)^2 = 30{,}25 > 30\)
Nên \(\sqrt{30} < 5{,}5\)
Gần 5 hơn.
b) \(17 > 16\) nên \(\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4\)
Trừ 1 hai vế: \(\sqrt{17} - 1 > 3\).
Kiểm tra a): máy tính cho \(\sqrt{30} = 5{,}477\ldots\) ✓.
Đáp số: a) giữa 5 và 6, gần 5; b) \(\sqrt{17} - 1 > 3\)
30 cách 25 là 5, cách 36 là 6, nên chắc chắn \(\sqrt{30}\) gần 5 hơn (so khoảng cách giữa các bình phương).
Kết luận đúng nhưng lý do chưa chắc chắn. Cách chắc chắn: so với \((5{,}5)^2 = 30{,}25\).
Dạng 5. Bài toán thực tế: cạnh hình vuông, bán kính hình tròn Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Biết diện tích hình vuông (cạnh \(a\): \(S = a^2\)), hỏi cạnh hoặc chu vi.
- Biết diện tích hình tròn (bán kính \(r\): \(S = \pi r^2\)), hỏi bán kính.
Hướng làm
- Bước 1
Gọi độ dài cần tìm là \(x\) (\(x > 0\)), lập \(x^2 = \ldots\) (hình tròn: chia diện tích cho \(\pi \approx 3{,}14\) trước).
- Bước 2
\(x = \sqrt{\ldots}\) (chỉ lấy giá trị dương vì là độ dài).
Nếu căn không tròn thì dùng máy tính và làm tròn theo yêu cầu.
Trả lời có đơn vị.
Ví dụ 5
a) Một phòng học hình vuông có diện tích 30 m². Tính độ dài cạnh phòng, làm tròn với độ chính xác \(0{,}005\).
b) Một mặt bàn tròn có diện tích \(113{,}04\) dm². Tính bán kính mặt bàn (lấy \(\pi \approx 3{,}14\)).
Lời giải:
a) Cạnh \(x\) (m), \(x^2 = 30\)
\(x = \sqrt{30} = 5{,}4772\ldots\) Độ chính xác \(0{,}005\) → hàng phần trăm: \(x \approx 5{,}48\) m.
b) \(3{,}14 \cdot r^2 = 113{,}04\)
Nên \(r^2 = 113{,}04 : 3{,}14 = 36\)
\(r = \sqrt{36} = 6\) dm.
Đáp số: a) khoảng \(5{,}48\) m; b) 6 dm
b) \(r = 113{,}04 : 3{,}14 = 36\) dm (quên lấy căn).
36 là \(r^2\); bán kính \(r = \sqrt{36} = 6\) dm.
Dạng 6. Tính giá trị biểu thức có căn Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Biểu thức có nhiều căn hoặc bình phương của căn.
- Có thêm các phép tính với số hữu tỉ.
Hướng làm
- Bước 1
Tính từng căn và từng \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) trước, đưa về số hữu tỉ.
- Bước 2
Tính tiếp theo đúng thứ tự thực hiện phép tính (Bài 4).
Ví dụ 6
Tính \(A = \sqrt{0{,}36} - \sqrt{\dfrac{1}{4}} \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 + \sqrt{(-2{,}5)^2}\).
Lời giải:
Từng căn: \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\)
\(\sqrt{(-2{,}5)^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\).
Nhân trước: \(\dfrac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\).
Cộng trừ: \(A = 0{,}6 - 1{,}5 + 2{,}5 = 1{,}6\).
Đáp số: \(A = 1{,}6\)
\(\sqrt{0{,}36} = 0{,}06\) (lấy căn của 36 rồi đặt dấu phẩy như cũ).
\((0{,}6)^2 = 0{,}36\), nên \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\). Thử lại bằng cách bình phương kết quả.
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Số nào là số vô tỉ, kí hiệu thuộc tập số (Dạng 1) | Tính ra trước; vô hạn không tuần hoàn mới là vô tỉ | Thấy dấu căn là kết luận vô tỉ; coi số vô hạn tuần hoàn là vô tỉ |
| Tính căn bậc hai số học (Dạng 2) | Tìm số không âm có bình phương bằng số trong căn; tính trong căn trước | \(\sqrt{(-8)^2} = -8\); \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}06\) |
| Bình phương của \(x\) (hoặc một biểu thức) bằng một số (Dạng 3) | Số dương: hai giá trị đối nhau; số 0: một giá trị; số âm: không có | Chỉ lấy giá trị dương |
| Ước lượng, so sánh căn, không dùng máy tính (Dạng 4) | Kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp; đưa số về dạng căn rồi so số trong căn | Ước lượng theo khoảng cách giữa các số chính phương |
| Biết diện tích, hỏi cạnh hoặc bán kính (Dạng 5) | Diện tích chia hệ số (nếu có) rồi lấy căn | Quên lấy căn; cạnh hình vuông bằng tổng hai cạnh |
| Biểu thức có nhiều căn (Dạng 6) | Tính từng căn, bình phương của căn bằng số trong căn, rồi theo thứ tự phép tính | \(\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) |