Số - Chữ Số

Có mười chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Khi viết một số tự nhiên, ta sử dụng mười chữ số trên, chữ số đầu tiên kể trừ bên bên trái của một số tự nhiên phải khác 0.

Cấu tạo của một số tự nhiên:

Giá trị của một chữ số phụ thuộc vào hàng của nó.

\(\overline{ab }\)= a × 10 + b
- Vd: 59 = 5 x 10 + 9
\(\overline{abc }\) = a × 100 + b × 10 + c = \(\overline{ab }\) x 10 + c
- Vd: 237 = 2 x 100 + 3 x 10 + 7 = 23 x 10 + 7
\(\overline{abcd }\) = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = \(\overline{abc }\) x 10 + d = a x 1000 + \(\overline{bcd }\) = ...
- Vd: 2026 = 2 x 1000 + 0 x 100 + 2 x 10 + 6 = 202 x 10 + 6 = 2 x 1000 + 26 = ...

Quy tác so sánh hai số tự nhiên

Trong hai số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
Nếu hai số có số chữ số bằng nhau thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì sẽ lớn hơn

Số chẵn - số lẻ:

Số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn.
Số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là số lẻ.

Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị; hai số chẵn liên tiếp hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

Ghi nhớ

Khi lập số, luôn kiểm tra chữ số ở hàng cao nhất có được phép bằng 0 hay không
Khi thêm một chữ số vào bên phải, số cũ phải được nhân 10 rồi cộng thêm chữ số mới.
Khi xóa một chữ số ở bên phải, số bị chia 10 hoặc tách theo cấu tạo hàng.

Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những số cho trước

Đây là dạng mở đầu và cũng xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra. Học sinh cần làm tốt ba việc: đếm số lượng số có thể viết được, tìm số lớn nhất - nhỏ nhất, và tìm số thỏa thêm điều kiện chẵn, lẻ, chia hết hoặc có chữ số cố định ở một hàng.

Mộ số dạng yêu cầu của đề bài:

Đếm có bao nhiêu số viết được → xét lần lượt từng hàng: hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị
Tìm số lớn nhất → Chọn chữ số lớn nhất cho hàng cao nhất rồi giảm dần
Tìm số nhỏ nhất → Chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 cho hàng cao nhất, các hàng sau tăng dần
Tìm số chẵn lớn nhất → Hàng đơn vị phải là 0, 2, 4, 6, 8 rồi tối đa hóa các hàng còn lại
Tìm số lẻ nhỏ nhất → Hàng đơn vị phải là 1; 3; 5; 7; 9; hàng cao nhất nhỏ nhất có thể.

Cách giải thông dụng

Để giải dạng toán lập được bao nhiêu số có hai chữ số, ba chữ số,... từ các số đã cho, ta thường áp dụng quy tắc nhân để tìm ra được số cách chọn từ đó tìm ra được số các số cần tìm.

Công thức cần nhớ: số các số cần tìm = tích số cách chọn các chữ số ở mỗi hàng.

Các bước giải:

Bước 1: xét số cách chọn ở mỗi hàng

Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
- Xét số cách chọn chữ số từ hàng cao nhất tới hàng đơn vị
- Nếu chữ số cho trước có chữ số 0 thì số cách chọn chữ số hàng cao nhất phải trừ thêm 1 → vì số 0 không được chọn ở hàng cao nhất
- Ví dụ: từ 3 chữ số 2;4;7 nếu đề yêu cầu số cần tìm số có 2 chữ số là số lẻ thì hàng chục có 3 cách chọn chữ số từ 2; 4; 7, hàng đơn vị có 1 cách chọn là chữ số 7 vì số cần tìm là số lẻ
Trường hợp 2: các chữ số ở mỗi hàng yêu cầu phải khác nhau
- Ưu tiên xét số cách chọn chữ số từ các hàng có tính chất cụ thể trước → ví dụ đề yêu cầu số cần tìm là số chẵn hoặc lẻ thì phải xét số cách chọn của hàng đơn vị trước (0;2;4;6;8) hoặc (1;3;5;7;9)
- Tiếp tục xét số cách chọn của các hàng từ cao tới thấp, Số cách chọn của hàng đang xét phải trừ bớt số hàng đã xét trước đó\
- Nếu chữ số cho trước có chữ số 0 thì số cách chọn chữ số hàng cao nhất phải trừ thêm 1 → vì số 0 không được chọn ở hàng cao nhất
- Ví dụ: từ 3 chữ số 2;4;7 nếu đề yêu cầu số cần tìm số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ thì xét hàng đơn vị trước, hàng đơn vị có 1 cách chọn là chữ số 7 → hàng chục sẽ có 3 - 1 = 2 cách chọn vì trong 3 chữ số 2; 4; 7 đã chọn 1 chữ số 7 cho hàng đơn vị.

Bước 2: Nhân lần lượt số các cách chọn đã liệt kê ở bước 1, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
- Số các số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3 x 1 = 3 (số)
- Kiểm tra: từ 3 chữ số 2; 4; 7 ta lập được các số có 2 chữ số là số lẻ là: 27; 47; 77 → 3 số có 2 chữ số là số lẻ.
Trường hợp 2: các chữ số ở mỗi hàng yêu cầu phải khác nhau
- Số các số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 1 x 2 = 2 (số)
- Kiểm tra: từ 3 chữ số 2; 4; 7 ta lập được các số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ là: 27; 47 → 2 số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ.

Ví dụ 1: Từ các chữ số 2: 4; 5; 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Bước 1: Xét số cách chọn các chữ số phù hợp yêu cầu đề bài ưu tiên các hàng có tính chất cụ thể trước. Số cách chọn của hàng đang xét phải trừ bớt số cách chọn của các hàng đã xét trước đó → Ở đây ta thấy cần ưu tiên hàng đơn vị trước, vì số cần tìm là số chẵn nên hàng đơn vị chỉ có thể là 2 hoặc 4.

Hàng đơn vị: có 2 cách chọn chữ số là 2 và 4 → vì đề yêu cầu số lập được là số chẵn
Hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số là các chữ số trừ đi 1 chữ số hàng đơn vị đã chọn (vì đề yêu cầu số có 3 chữ số khác nhau nên trong 4 số đã cho, phải trừ đi 1 số đã chọn từ hàng đơn vị, chỉ còn lại 3 chữ số → có 3 cách chọn)
Hàng chục: có 2 cách chọn chữ số là các chữ số trừ đi 1 chữ số hàng đơn vị đã chọn và 1 chữ số hàng trăm đã chọn.

Bước 2: Nhân lần lượt số các cách chọn đã liệt kê ở bước 1, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.

Số các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 2 x 3 x 2 = 12 (số)

Kiểm tra lại: Từ các chữ số 2; 4; 5; 7 ta lập được các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là:

452; 472; 542; 742; 572; 752; 254; 274; 524; 724; 574; 754 → 12 số chẵn có 3 chữ số khác nhau

Ví dụ 2: Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Hỏi có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?

Lời giải:

Hướng nghĩ: Chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn. Ta xét từng hàng từ trái sang phải

Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:

Hàng nghìn có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (1; 2; 3; vì chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn)
Hàng trăm còn 3 cách. (0; 1; 2; 3; trừ đi 1 chữ số đã chọn ở hàng nghìn)
Hàng chục còn 2 cách. (0, 1, 2, 3 trừ đi 1 chữ số chọn ở hàng nghìn và 1 chữ số đã chọn ở hàng trăm)
Hàng đơn vị còn 1 cách. (0, 1, 2, 3 trừ đi 1 chữ số đã chọn ở hàng nghìn, 1 chữ số đã chọn ở hàng trăm và 1 chữ số đã chọn ở hàng chục)

Bước 2: Nhân lần lượt số các cách chọn từ hàng cao nhất tới đơn vị, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.

Vậy số các số viết được thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 3 × 3 × 2 × 1 = 18 (số)

Kiểm tra bằng sơ đồ hình cây:

Chọn chữ số hàng nghìn là 1, ta được

Từ sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 1 thỏa điều điện của đề bài

Tương tự ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 2 và 6 số có chữ số hàng nghìn là 3

Chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn điều kiện đề bài là: 6 x 3 = 18 (số)

Đáp số: 18 số

Ví dụ 3: Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Tìm số lớn nhất và số bé nhất có bốn chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đó.

Lời giải:

Hướng nghĩ: Số lớn nhất phải có chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất; số nhỏ nhất phải chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 ở hàng nghìn

Muốn lập số lớn nhất, ta phải đặt các chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất

Hàng cao nhất là hàng nghìn: ta chọn số 3 là số lớn nhất
Hàng trăm: ta chọn số 2 là số to nhất, trừ số 3 đã được chọn từ trước
Hàng chục: ta chọn số 1
Hàng đơn vị: ta chọn số 0

Vậy số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau tạo từ 4 chữ số 0; 1; 2; 3 là: 3210.

Muốn lập số nhỏ nhất, ta phải đặt các chữ số nhỏ nhất khác 0 ở hàng cao nhất, rồi tiếp tục với các hàng còn lại.

Hàng cao nhất là hàng nghìn: ta chọn số 1 là số nhỏ nhất, vì không được chọn số 0
Hàng trăm: ta chọn số 0 là số nhỏ nhất
Hàng chục: ta chọn số 2, vì số 0 và 1 đã được chọn
Hàng đơn vị: ta chọn số 3

Vậy số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau tạo từ 4 chữ số 0; 1; 2; 3 là: 1023

Đáp số: 3210 và 1023

Ví dụ 4: Cho năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm là 2?

Lời giải:

Hướng nghĩ: Cố định hàng trăm là 2. Hàng nghìn không được là 0 và không được trùng. Hàng đơn vị phải chẵn.

Số cần tìm có chữ số hàng trăm là 2. Vậy ta phải xác định các chữ số hàng nghìn, hàng chục và hàng đơn vị nữa

Hàng nghìn: có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn: 1; 2; 3; 4 (không được chọn chữ số 0)
Hàng trăm: có 1 cách chọn chữ số hàng trăm là chữ số 2.
Hàng chục: có 5 cách chọn chữ số hàng chục: 0; 1; 2; 3; 4
Hàng đơn vị: có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị: 0; 2; 4

Vậy số các số thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 4 x 1 x 5 x 3 = 60 (số)

Đáp số: 60 số.

Ví dụ 5: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xóa đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được số lớn nhất. Cho biết số lớn nhất đó.

Lời giải:

Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Để sau khi xóa 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9.

Vậy trước hết ta xóa 4 chữ số đầu tiên của số trên là: 1; 3; 5; 7 như sau: ~~1 3 5 7~~ 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29, số còn lại là:

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Ta phải xóa tiếp 15 - 4 = 11 chữ số của số còn lại để được số lớn nhất.

Để sau khi xóa ta nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy ta xóa như sau: 9 ~~11 13 15 17 1~~9 21 23 25 27 29, số còn lại là:

9 9 21 23 25 27 29

Ta phải xóa tiếp 11 - 9 = 2 chữ số của số còn lại để được số lớn nhất.

Thứ tự các số từ thứ ba bên trái quá phải là: 212325..., mà chỉ còn được xóa 2 chữ số nữa nên chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, và ta phải xóa 2 chữ số là 1 và 2 như sau: 9 9 21 23 25 27 29, vậy số lớn nhất cần tìm là: 9 923 252 729

Đáp số: 9 923 252 729

Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số

Đây là nhóm bài rất quan trọng. Bản chất của dạng này là dùng cấu tạo số để đổi một phép biến đổi bằng chữ thành đẳng thức số học.

Một số mẫu biến đổi rất hay gặp:

Nếu viết thêm chữ số d vào bên phải số N thì số mới là: N × 10 + d
Nếu viết thêm một số có hai chữ số \(\overline{ab}\) vào bên trái số N thì số mới là ab × 10 x 10 x ... x 10 + N, trong đó số lần nhân 10 bằng với số chữ số của N
Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số \(\overline{abc }\) thì còn lại \(\overline{ab}\)
Nếu xóa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số \(\overline{abcd }\) thì còn lại \(\overline{ab}\)
Số gấp mấy lần tổng các chữ số → gọi \(\overline{ab}\) hoặc \(\overline{abc}\) rồi lập công thức số học theo a, b, c
Số chia cho hiệu các chữ số→ Xét hiệu các chữ số rồi thử các trường hợp hợp lí
Số gấp k lần tích các chữ số → Thường khai thác chữ số tận cùng hoặc chia hết
Viết ngược lại không đổi → Nghĩ đến các số dạng đối xứng: \(\overline{abba}\), \(\overline{abcba}\).

Ví dụ 1: Khi viêt thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần. Tìm số có hai chữ số đó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\).

Viết thêm số 12 vào bên trái ta được số: \(\overline{12ab}\)

Theo đề bài ta có:

\(\overline{12ab}\) = \(\overline{ab}\) x 26

12 x 100 + \(\overline{ab}\) = \(\overline{ab}\) x 26

1200 = \(\overline{ab}\) x 26 - \(\overline{ab}\) (*)

1200 = \(\overline{ab}\) x (26 - 1)

1200 = \(\overline{ab}\) x 25

\(\overline{ab}\) = 1200 : 25

\(\overline{ab}\) = 48

Thử lại: 1248 : 48 = 26 (thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 48.

Đáp số: 48

Ví dụ 2: Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tìm số có ba chữ số đó.

Lời giải:

Hướng nghĩ: Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\). Khi thêm 2 vào bên phải, số mới là \(\overline{abc2}\)= \(\overline{abc}\) × 10 + 2

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\). Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số \(\overline{abc2}\).

Theo đề bài ta có:

\(\overline{abc2}\) = \(\overline{abc}\) + 4106

\(\overline{abc}\) x 10 + 2 = \(\overline{abc}\) + 4106

\(\overline{abc}\) x 10 - \(\overline{abc}\) = 4106 - 2

\(\overline{abc}\) x (10 - 1) = 4104

\(\overline{abc}\) x 9 = 4104

\(\overline{abc}\) = 4104 : 9

\(\overline{abc}\) = 456

Vậy số cần tìm là 456

Đáp số: 456

Ví dụ 3:

Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó gấp lên 10 lần, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì nó gấp lên 3 lần.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\). khi viết thêm chữ số 0 và giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \(\overline{a0b}\).

Theo đề ta có:

\(\overline{ab }\) x 10 = \(\overline{a0b}\)

Vì \(\overline{ab }\) x 10 có tận cùng là 0, do đó b = 0, vậy số cần tìm có dạng \(\overline{a0}\).

Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số \(\overline{a00 }\) ta được số \(\overline{1a00}\), theo đề bài ta lại có:

\(\overline{1a00 }\) = 3 x \(\overline{a00}\)

1000 + \(\overline{a00 }\) = 3 x \(\overline{a00}\)

1000 = 3 x \(\overline{a00 }\) - \(\overline{a00}\)

2 x \(\overline{a00 }\) = 1000

\(\overline{a00 }\) = 1000 : 2

\(\overline{a00 }\) = 500

Vậy a = 5

a = 5, b = 0, số cần tìm là 50

Đáp số: 50.

Ví dụ 4: Khi xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số có bốn chữ số thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số có bốn chữ số đó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\). Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \(\overline{ab}\)

Cách 1:

Theo đề bài ta có:

\(\overline{abcd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455

\(\overline{ab}\) x 100 + \(\overline{cd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455

\(\overline{cd}\) + \(\overline{ab}\) x 100 - \(\overline{ab}\) = 4455

\(\overline{cd}\) + \(\overline{ab}\) x 99 = 4455

\(\overline{cd}\) = 45 x 99 - \(\overline{ab}\) x 99

\(\overline{cd}\) = (45 - \(\overline{ab}\)) x 99

Ta thấy tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên nhỏ hơn 100 nên 45 - \(\overline{ab}\) phải bằng 0 hoặc 1

Nếu 45 - \(\overline{ab}\) = 0 thì \(\overline{ab}\) = 45 và \(\overline{cd}\) = 00

Nếu 45 - \(\overline{ab}\) = 1 thì \(\overline{ab}\) = 44 và \(\overline{cd}\) = 99

Vậy số cần tìm là 4500 hoặc 4499.

Cách 2:

Theo đề bài ta có \(\overline{abcd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455

Ta viết lại phép tính như sau:

Nhận xét:

Nếu phép cộng ở hàng chục không nhớ thì \(\overline{ab}\) = 44 và \(\overline{abcd}\) = 4455 + 44 = 4400
Nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ thì \(\overline{ab}\) = 45 và \(\overline{abcd}\) = 4455 + 45 = 4500

Vậy số cần tìm là 4499 hoặc 4500

Đáp số: 4499 hoặc 4500

Ví dụ 5: Khi xóa đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 7 lần. Tìm số có ba chữ số đó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\). Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số \(\overline{bc}\)

Theo đề bài ta có:

\(\overline{abc}\) = 7 x \(\overline{bc}\)

\(\overline{a00}\) + \(\overline{bc}\) = 7 x \(\overline{bc}\)

\(\overline{a00}\) = 7 x \(\overline{bc}\) - \(\overline{bc}\)

\(\overline{a00}\) = 6 x \(\overline{bc}\)

Vì 6 chia hết cho 3 nên \(\overline{a00}\) chia hết cho 3. Do đó a chia hết cho 3.

Mặt khác, vì \(\overline{bc}\) < 100 nên 6 x \(\overline{bc}\) < 600 Từ đó suy ra a < 6

Vậy a = 3 (a khác 0).

Thay a = 3 vào ta được:

300 = 6 x \(\overline{bc}\)

\(\overline{bc}\) = 50

Vậy số cần tìm là 350.

Đáp số: 350

Ví dụ 6: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\)

Cách 1:

Theo đề bài ta có:

\(\overline{ab}\) = 5 x (a + b)

10 x a + b = 5 x a + 5 x b

10 x a - 5 x a = 5 x b - b

5 x a = 4 x b

Từ đây suy ra b chia hết cho 5, vậy b = 0 hoặc 5

Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
Nếu b = 5 thì 5 x a = 4 x 5 vậy a = 4

Vậy số cần tìm là 45.

Cách 2:

Theo đề ta có:

\(\overline{ab}\) = 5 x (a + b)

Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b = 0 hoặc b = 5

Nếu b = 0, thay vào ta có:
- \(\overline{a0}\) = 5 x a hay 10 x a = 5 x a vậy a = 0 (loại)
Nếu b = 5, thay vào ta có:
- \(\overline{a5}\) = 5 x (a + 5)
- 10 x a + 5 = 5 x a + 25
- 5 x a = 20
- a = 4

Vậy số cần tìm là: 45.

Đáp số: 45

Ví dụ 7: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) và hiệu các chữ số của nó là c

Theo đề bài ta có: \(\overline{ab}\) = c x 28 + 1

Vì \(\overline{ab}\) < 100 nên c x 28 < 99

Vậy c = 1; 2 hoặc 3.

Nếu c = 1 thì \(\overline{ab}\) = 29
- Thử lại: 9 - 2 = 7; 29 : 7 = 4 dư 1 (loại)
Nếu c = 2 thì \(\overline{ab}\) = 57
- Thử lại: 7 - 5 = 2; 57 : 2 = 28 dư 1
Nếu c = 3 thì \(\overline{ab}\) = 85
- Thử lại: 8 - 5 = 3; 85 : 3 = 28 dư 1

Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85

Đáp số: 57; 85

Ví dụ 8: Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\)

Theo đề bài ta có:

\(\overline{abc}\) = 5 x a x b x c

Vì 5 x a x b x c chia hết cho 5 nên \(\overline{abc}\) chia hết cho 5. vậy c bằng 0 hoặc 5

Nhưng c không thể bằng 0 vậy c = 5, số cần tìm có dạng \(\overline{ab5}\), thay vào ta có:

\(\overline{ab5}\) = 5 x a x b x 5

a x 100 + b x 10 + 5 = 25 x a x b

a x 20 + b x 2 + 1= 5 x a x b (chia 2 vế cho 5)

Vì 5 x a x b chia hết cho 5 nên a x 20 + b x 2 + 1 chia hết cho 5

a x 20 chia hết cho 5 nên b x 2 + 1 cũng phải chia hết cho 5, suy ra b x 2 có tận cùng là 4 hoặc 9, vì b x 2 là số chẵn nên nó có tận cùng bằng 4, suy ra b = 2 hoặc 7.

b = 2 thì \(\overline{a25}\) = 5 x a x 2 x 5. vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn (loại)
b = 7 thì ta có: a x 20 + 15 = 35 x a → 15 x a = 15 → a = 1

Thử lại: 175 = 5 x 1 x 7 x 5

Vậy số cần tìm là 175

Đáp số: 175

Dạng 3: Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số

Kiến thức cần nhớ:

Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số tận cùng của các thừa số.
Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 có chữ số tận cùng là 5
Tích 1 × 3 × 5 × 7 × 9 có chữ số tận cùng là 5
Tích a x a không thể có chữ số tận cùng bằng: 2; 3; 7; hoặc 8

Trường hợp đặc biệt: tích các thừa số có chữ số tận cùng giống nhau

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của \(\underbrace{9 \times 9 \times 9 \times...\times 9 \times 9}_{2026\ số\ 9}\)

Nhân lần lượt các số và xét chữ số tận cùng đến khi quy luật lặp lại
Chia quy luật đó vào các nhóm
- Theo ví dụ trên thì chữ số tận cùng sẽ lặp lại theo quy luật là 1; 9 → số thừa số là chẵn thì tận cùng là 1, là lẻ thì tận cùng là 9
Tìm chữ số cuối cùng

Các nội dung cần nhớ trong trường hợp này:

Các số có tận cùng là: 0, 1, 5, và 6 khi nhân với nhau thì sẽ có chữ số tận cùng là chính nó → khi giải toán chữ số tận cùng cần xem xét các trường hợp nào có các chữ số tận cùng là 0, 1, 5 và 6 không?
Tích các thừa số có: 2 và 5 thì có số tận cùng là 0.
Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 2 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 2; 4 ; 8 ; 6 → Xem xét số dư số thừa số với 4 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.
Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 7 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 7; 9 ; 3 ; 1 → Xem xét số dư số thừa số với 4 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.
Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 1 ; 9 → Xem xét số dư số thừa số với 2 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.

Ví dụ 1:

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của phép tính sau:

(2001 + 2002 + ...+ 2009) - (21 + 32 + 43 + ... + 98 + 19)

Lời giải:

Ta có tổng 1 + 2 + 3 + .... + 9 có chữ số tận cùng là 5

chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + ....+ 2009 và 21 + 32+ ...+ 98 + 19 đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + ... + 9 và bằng 5

Nên hiệu trên sẽ có chữ số hàng đơn vị là: 5 - 5 = 0.

Đáp số: 0

Ví dụ 2:

Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi những chữ số thích hợp để được một phép tính đúng hay không? tại sao ?

a) \(\overline{12a}\) x \(\overline{12a}\) = \(\overline{a53b8}\)

b) \(\overline{3b}\) x \(\overline{3b}\) = \(\overline{17a7}\)

Lời giải:

a) Chữ số tận cùng của tích \(\overline{12a}\) x \(\overline{12a}\) bằng chữ số tận cùng của tích a x a , mà a x a không thể có tận cùng bằng 9 nên tích \(\overline{12a}\) x \(\overline{12a}\) không thể có tận cùng bằng 8

b) Tương tự, tích \(\overline{3b}\) x \(\overline{3b}\) không thể có tận cùng bằng 7

Ví dụ 3:

Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?

a) 13 x 14 x 15 x ... x 22

b) 1 x 2 x 3 x ... x 50

Lời giải:

Trong tích có thừa số 20 tròng chục, Thừa số này cho 1 chữ số 0 ở tích

ví dụ: 20 x 21 = 420 → có 1 chữ số 0 ở cuối.

Thừa số 15 khi nhân với một số chẵn sẽ cho 1 chữ số 0 ở tích

ví dụ: 15 x 22 = 330 → có 1 chữ số 0 ở cuối.

Vậy tích đã cho có tận cùng bằng 2 chữ số 0.

Tích 1 x 2 x 3 x ... x 50 có thể phân ra thành 5 nhóm.

Nhóm 1: 1 x 2 x ... x 10;
Nhóm 2: 11 x 12 x ... x 20
Nhóm 3: 21 x 22 x ... x 30
Nhóm 4: 31 x 32 x ... x 40
Nhóm 5: 41 x 42 x ... x 50

Ta có:

Khi nhân với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; sẽ có thêm 1 chữ số 0 ở tận cùng: ví dụ: 12 x 20 = 220
Khi 50 nhân với số chẵn sẽ có thêm 2 chữ số 0 ở tận cùng: ví dụ 42 x 50 = 2100
Khi nhân 25 với số chẵn có hàng đơn vị là 4 hoặc 8 thì có thêm 2 chữ số 0 ở tận cùng: 25 x 24 = 600
Khi nhân các số 5; 15; 35; 45 với các số chẵn thì ta có thêm 1 chữ số 0 ở tận cùng: 35 x 36 = 1260

Với tính chất trên ta có:

Nhóm 1: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
Nhóm 2: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
Nhóm 3: có 3 chữ số 0 ở tận cùng vì có trường hợp đặc biệt là 25
Nhóm 4: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
Nhóm 5:có 3chữ số 0 ở tận cùng vì có trường hợp đặc biệt là 50

Vậy số chữ số 0 ở tận cùng của tích đã cho là: 2 x 3 + 3 x 2 = 12 (chữ số 0).

Đáp số: 12 chữ số 0

Đáp số: a) 2 chữ số 0 b) 12 chữ số 0.

Ví dụ 4:

Tìm chữ số tận cùng của \(\underbrace{9 \times 9 \times 9 \times...\times 9 \times 9}_{2026\ số\ 9}\)

Lời giải:

Nhận xét:

Tích có 1 số 9 là 9, tận cùng là 9.

Tích có 2 số 9 là 81, tận cùng là 1.

Tích có 3 số 9 là 729, tận cùng là 9.

Tích có 4 số 9 là 6561, tận cùng là 1.

Nhận xét quy luật chẵn lẻ.

Số các thừa số là lẻ: Có chữ số tận cùng là 9.

Số các thừa số là chẵn: Có chữ số tận cùng là 1.

Do đó, tích của 2026 (chẵn) số 9: có chữ số tận cùng là 1.

Đáp số : 1.

Dạng 4: Phương pháp thử chọn, suy luận và loại trừ

Có những bài không thuận lợi để lập biểu thức ngay. Khi đó, ta liệt kê các khả năng hợp lí rồi thử - loại nhanh.

Khi nào nên thử chọn?

Khi số cần tìm chỉ có ít khả năng xảy ra
Khi đề cho các điều kiện rất mạnh như chẵn - lẻ, hiệu hai chữ số, tổng hai chữ số, viết thêm một số nhỏ rồi được số đặc biệt
Khi có thể lập bảng "chọn /loại" để nhìn ra đáp án nhanh hơn cách biến đổi đại số.

Ví dụ 1:

Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai chữ số bằng 3. Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau. Tìm số đó.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\)

Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số của nó bằng 3 là: 41; 63; 25; 47; 85; 69

Ta có bảng sau:

\(\overline{ab}\)	\(\overline{ab}\) + 3	Kết luận
41	41 + 3 = 44	Chọn
63	63 + 3 = 66	Chọn
25	25 + 3 = 28	Loại
47	47 + 3 = 50	Loại
85	85 + 3 = 88	Chọn
69	69 + 3 = 72	Loại

Vậy số cần tìm là: 41; 63 hoặc 85.

Cách 2:

Những số cố hai chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99;

Bớt đi mỗi số đó 3 đơn vị, ta được các số: 8; 19; 30; 41; 52; 63; 74; 85; 96

Theo đề bài, số cần tìm là số lẻ và hiệu giữa hai chữ số của số đó bằng 3

Ta có 3 số 41; 63; 85 thỏa yêu cầu đề ra

Vậy số cần tìm là 41; 63 hoặc 85

Đáp số: 41; 63; 85

Ví dụ 2:

Chữ số hàng chục của một số có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm thì được thương bằng 8. Tìm số đó.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\), theo đề bài, số \(\overline{abc}\) chỉ có thể là \(\overline{a21}\), \(\overline{a42}\), \(\overline{a63}\), \(\overline{a84}\)

(b x c) : a = 8
a \(\ne\) b,c

→ a = (b x c) : 8 và a \(\ne\) b,c

Ta có bảng sau:

\(\overline{abc}\)	a = (b x c) : 8	Kết luận
\(\overline{a21}\)	2 x 1 : 8	Loại
\(\overline{a42}\)	4 x 2 : 8 = 1	Chọn
\(\overline{a63}\)	6 x 3 : 8	Loại
\(\overline{a84}\)	8 x 4 : 8 = 4	Loại (vì a = c)

Vậy số cần tìm là 142

Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng tổng các chữ số bằng 18, tích các chữ số bằng 64 và nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì số đó không thay đổi.

Lời giải:

Theo đề bài thì số cần tìm có dạng \(\overline{abba}\)

Tổng của hai chữ số a và b là: 18 : 2 = 9

Số 9 có thể phân tích thành tổng của những cặp số sau: 0 và 9; 1 và 8; 2 và 7; 3 và 6; 4 và 5

Số cần tìm có thể là: 9009; 1881; 8118; 7227; 2772; 6336; 3663; 4554; 5445.

Ta có bảng sau:

\(\overline{abba}\)	a x b x b x a	Kết luận
9009	9 x 0 x 0 x 9 = 0	Loại
1881	1 x 8 x 8 x 1 = 64	Chọn
8118	8 x 1 x 1 x 8 = 64	Chọn
7227	7 x 2 x 2 x 7 = 196	Loại
2772	2 x 7 x 2 x 7 = 196	Loại
6336	6 x 3 x 3 x 6 = 324	Loại
3663	3 x 6 x 6 x 3 = 324	Loại
4554	4 x 5 x 5 x 4 = 400	Loại
5445	5 x 4 x 4 x 5 = 400	Loại

Vậy số cần tìm là: 1881 hoặc 8118