HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 26 đã cộng và trừ đa thức. Bài này học phép tính thứ ba: nhân đa thức. Mọi thứ đều dựa vào một tính chất em đã biết từ lớp 6, tính chất phân phối \(a(b + c) = ab + ac\), cùng với quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Học xong bài này, em làm được:
- Nhân một đơn thức với một đa thức.
- Nhân hai đa thức một biến và thu gọn kết quả.
- Dùng tính chất của phép nhân; đoán nhanh bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một tích.
- Rút gọn biểu thức có phép nhân, tìm \(x\), chứng tỏ giá trị không phụ thuộc vào biến (luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 3 và Dạng 4).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Tính chất phân phối Lớp 7 · Bài 2
\(a(b + c) = ab + ac\). Ví dụ \(2 \cdot (3 - 5) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-5) = -4\).
2. Nhân hai đơn thức Lớp 7 · Bài 25
Nhân hệ số với hệ số, cộng số mũ với số mũ: \(2x^3 \cdot (-3x^2) = -6x^5\).
3. Thu gọn đa thức Lớp 7 · Bài 25
Gom các hạng tử cùng bậc rồi cộng hệ số, viết theo lũy thừa giảm.
4. Trừ đa thức Lớp 7 · Bài 26
Bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước thì đổi dấu mọi hạng tử trong ngoặc.
1Nhân đơn thức với đa thức Lớp 7
Quy tắc
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
- Nhân đủ: đa thức có bao nhiêu hạng tử thì có bấy nhiêu tích.
- Dấu: mỗi hạng tử mang theo dấu đứng trước nó khi nhân; âm nhân âm ra dương.
- Mỗi tích là tích của hai đơn thức: nhân hệ số, cộng số mũ.
\(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\)
Chính là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ 1
Tính \(2x \cdot (3x^2 - x + 4)\).
Lời giải:
Nhân \(2x\) với từng hạng tử (Hình 1): \(2x \cdot 3x^2 = 6x^3\)
\(2x \cdot (-x) = -2x^2\)
\(2x \cdot 4 = 8x\).
Cộng các tích: \(2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x\).
Đáp số: \(6x^3 - 2x^2 + 8x\)
\(2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - x + 4\) (chỉ nhân với hạng tử đầu).
Nhân với cả ba hạng tử: \(6x^3 - 2x^2 + 8x\). Thử \(x = 1\): \(2 \cdot 6 = 12\) và \(6 - 2 + 8 = 12\).
Ghi nhớ
ĐƠN THỨC NHÂN VỚI TỪNG HẠNG TỬ, KHÔNG BỎ SÓT HẠNG TỬ NÀO
2Nhân đa thức với đa thức Lớp 7
Quy tắc
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
- Số tích: đa thức \(m\) hạng tử nhân đa thức \(n\) hạng tử cho \(m \cdot n\) tích trước khi thu gọn.
- Thu gọn: sau khi nhân, gom các hạng tử cùng bậc.
- Cách trình bày: theo hàng ngang, theo bảng nhân (Hình 2), hoặc đặt tính theo cột dọc như nhân hai số tự nhiên.
Vì sao?
Coi cả đa thức thứ hai là một khối \(M\): \((x + 3) \cdot M = x \cdot M + 3 \cdot M\) (phân phối). Sau đó mỗi tích \(x \cdot M\), \(3 \cdot M\) lại là "đơn thức nhân đa thức" của mục 1. Vậy nhân hai đa thức chỉ là dùng tính chất phân phối hai lần.
Ví dụ 2
Tính \((x + 3)(2x - 5)\).
Lời giải:
Bốn tích (Hình 2): \(x \cdot 2x = 2x^2\)
\(x \cdot (-5) = -5x\)
\(3 \cdot 2x = 6x\)
\(3 \cdot (-5) = -15\).
Cộng và thu gọn: \(2x^2 - 5x + 6x - 15 = 2x^2 + x - 15\).
Đáp số: \(2x^2 + x - 15\)
Ví dụ 3
Tính \((2x + 1)(x^2 - x + 3)\).
Lời giải:
Tách theo từng hạng tử của đa thức thứ nhất: \(2x(x^2 - x + 3) + 1 \cdot (x^2 - x + 3)\)
\(= 2x^3 - 2x^2 + 6x + x^2 - x + 3\)
\(= 2x^3 - x^2 + 5x + 3\).
Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(3 \cdot 3 = 9\) và \(2 - 1 + 5 + 3 = 9\) ✓).
Đáp số: \(2x^3 - x^2 + 5x + 3\)
\((x + 3)(2x - 5) = 2x^2 - 15\) (chỉ nhân đầu với đầu, cuối với cuối).
Còn hai tích "chéo" \(-5x\) và \(6x\): kết quả là \(2x^2 + x - 15\). Thử \(x = 1\): \(4 \cdot (-3) = -12\); \(2 + 1 - 15 = -12\), còn \(2 - 15 = -13\).
Ghi nhớ
MỖI HẠNG TỬ NHÂN VỚI MỖI HẠNG TỬ → GOM CÙNG BẬC
3Tính chất của phép nhân; bậc và hệ số của tích Lớp 7
Tính chất
Với các đa thức \(A\), \(B\), \(C\) của cùng một biến:
- Giao hoán: \(A \cdot B = B \cdot A\).
- Kết hợp: \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\).
- Phân phối đối với phép cộng: \(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\).
Đọc nhanh bậc và hệ số của tích Nâng cao
Với hai đa thức khác đa thức không:
- Bậc của tích bằng tổng hai bậc (vì nhân hai hạng tử bậc cao nhất thì cộng số mũ).
- Hệ số cao nhất của tích bằng tích hai hệ số cao nhất.
- Hệ số tự do của tích bằng tích hai hệ số tự do.
Ví dụ \((x^2 - 2)(3x + 1)\): bậc \(2 + 1 = 3\), hệ số cao nhất \(1 \cdot 3 = 3\), hệ số tự do \((-2) \cdot 1 = -2\). Nhân ra để kiểm tra: \(3x^3 + x^2 - 6x - 2\) ✓.
"Tích của đa thức bậc 2 và đa thức bậc 3 có bậc \(2 \cdot 3 = 6\)."
Nhân hai lũy thừa thì cộng số mũ: \(x^2 \cdot x^3 = x^5\). Bậc của tích là \(2 + 3 = 5\).
Ghi nhớ
BẬC CỦA TÍCH = TỔNG HAI BẬC · HỆ SỐ CAO NHẤT, HỆ SỐ TỰ DO: NHÂN VỚI NHAU
🔗 Liên hệ
Đặt tính nhân hai đa thức theo cột dọc giống hệt nhân hai số tự nhiên: \(23 \cdot 14\) cũng là "mỗi chữ số nhân với mỗi chữ số rồi cộng lại theo hàng". Bài 28 học phép tính ngược lại, chia đa thức; mỗi bước chia đều phải nhân một đơn thức với đa thức chia. Lên lớp 8, phép nhân đa thức là nền của các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- Đơn thức nhân đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
- Đa thức nhân đa thức: mỗi hạng tử nhân với mỗi hạng tử, rồi gom các hạng tử cùng bậc.
- Mỗi tích nhỏ: nhân hệ số, cộng số mũ, chú ý dấu.
- Phép nhân đa thức giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng.
- Bậc của tích bằng tổng hai bậc; hệ số cao nhất và hệ số tự do của tích bằng tích của các hệ số tương ứng.
Vì sao \((x + 2)^2\) không bằng \(x^2 + 4\)?
\((x + 2)^2\) là \((x + 2)(x + 2)\), có bốn tích: \(x^2\); \(2x\); \(2x\); \(4\). Cộng lại được \(x^2 + 4x + 4\). Viết \(x^2 + 4\) là bỏ sót hai tích "chéo".
Làm sao tự kiểm tra một phép nhân đa thức?
Thay một số dễ tính (như \(x = 1\)) vào hai đa thức ban đầu rồi nhân hai giá trị; kết quả phải bằng giá trị của đa thức tích tại số đó. Ví dụ \((x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2\): tại \(x = 1\) có \(2 \cdot 3 = 6\) và \(1 + 3 + 2 = 6\). Ngoài ra soát bậc và hệ số tự do theo mục 3.
Nhân ba đa thức thì làm thế nào?
Nhân hai đa thức trước, được một đa thức, rồi nhân tiếp với đa thức thứ ba. Nhờ tính chất kết hợp và giao hoán, chọn hai đa thức nào nhân trước cũng được.