HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán về phép nhân đa thức một biến. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Cuối bài có bảng "Thấy gì, dùng gì" để ôn nhanh.
Dạng 1. Nhân đơn thức với đa thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Một đơn thức đứng trước ngoặc chứa đa thức.
- Đơn thức có hệ số âm: mọi tích đều đổi dấu so với hạng tử trong ngoặc.
- Hệ số là phân số: nhân hệ số như nhân hai số hữu tỉ.
Hướng làm
- Bước 1
Lần lượt nhân đơn thức với từng hạng tử (kèm dấu của hạng tử).
- Bước 2
Mỗi tích: xác định dấu, nhân hệ số, cộng số mũ.
- Bước 3
Đếm lại: số hạng tử của kết quả bằng số hạng tử trong ngoặc.
Ví dụ 1
a) Tính \(-3x^2(x^2 - 2x + 5)\).
b) Tính \(\dfrac{1}{2}x(4x^2 - 6x + 2)\).
Lời giải:
a) Ba tích: \(-3x^2 \cdot x^2 = -3x^4\)
\(-3x^2 \cdot (-2x) = 6x^3\)
\(-3x^2 \cdot 5 = -15x^2\).
Kết quả \(-3x^4 + 6x^3 - 15x^2\).
b) Ba tích: \(\dfrac{1}{2}x \cdot 4x^2 = 2x^3\)
\(\dfrac{1}{2}x \cdot (-6x) = -3x^2\)
\(\dfrac{1}{2}x \cdot 2 = x\).
Kết quả \(2x^3 - 3x^2 + x\).
Đáp số: a) \(-3x^4 + 6x^3 - 15x^2\); b) \(2x^3 - 3x^2 + x\)
Câu a: \(-3x^2 \cdot (-2x) = -6x^3\) (quên âm nhân âm), hoặc \(= 6x^2\) (quên cộng số mũ).
Dấu: âm nhân âm ra dương. Hệ số: \(3 \cdot 2 = 6\). Số mũ: \(2 + 1 = 3\). Tích là \(6x^3\).
Dạng 2. Nhân đa thức với đa thức Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai ngoặc đứng liền nhau, mỗi ngoặc chứa một đa thức.
- Hai ngoặc chỉ khác nhau một dấu (\((x + 6)(x - 6)\)): hai tích chéo triệt tiêu.
- Bình phương của một tổng, hiệu (\((2x + 5)^2\)): viết thành hai ngoặc giống nhau rồi nhân.
- Diện tích hình chữ nhật có hai cạnh là hai đa thức: diện tích là tích của hai đa thức đó.
Hướng làm
- Bước 1
Lấy từng hạng tử của ngoặc thứ nhất nhân với cả ngoặc thứ hai.
- Bước 2
Nhân vào (Dạng 1), viết hết các tích: \(m\) hạng tử nhân \(n\) hạng tử được \(m \cdot n\) tích.
- Bước 3
Gom cùng bậc, sắp xếp.
Thử lại bằng \(x = 1\).
Ví dụ 2
a) Tính \((x - 2)(x^2 + 3x - 1)\).
b) Tính \((x + 6)(x - 6)\).
c) Tính \((2x + 5)^2\).
d) Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài \((x + 5)\) cm và chiều rộng \((x + 2)\) cm. Viết đa thức biểu thị diện tích tấm bìa, rồi tính diện tích khi \(x = 3\).
Lời giải:
a) Tách theo \(x\) và \(-2\) (Hình 3): \(x(x^2 + 3x - 1) - 2(x^2 + 3x - 1)\)
\(= x^3 + 3x^2 - x - 2x^2 - 6x + 2\)
\(= x^3 + x^2 - 7x + 2\).
Thử lại câu a (thay \(x = 1\): \((-1) \cdot 3 = -3\) và \(1 + 1 - 7 + 2 = -3\) ✓).
b) Bốn tích: \(x^2 - 6x + 6x - 36 = x^2 - 36\).
Hai tích chéo đối nhau nên triệt tiêu.
c) Viết thành hai ngoặc: \((2x + 5)(2x + 5)\) \(= 4x^2 + 10x + 10x + 25\)
\(= 4x^2 + 20x + 25\).
d) Diện tích bằng dài nhân rộng: \((x + 5)(x + 2) = x^2 + 2x + 5x + 10\)
\(= x^2 + 7x + 10\) (\(\text{cm}^2\)).
Thay \(x = 3\): \(9 + 21 + 10 = 40\) (\(\text{cm}^2\)).
Thử lại bằng kích thước thật: dài 8 cm, rộng 5 cm, diện tích \(8 \cdot 5 = 40\) ✓.
Đáp số: a) \(x^3 + x^2 - 7x + 2\); b) \(x^2 - 36\); c) \(4x^2 + 20x + 25\); d) \(x^2 + 7x + 10\), bằng \(40\ \text{cm}^2\)
Câu c: \((2x + 5)^2 = 4x^2 + 25\) (bình phương từng hạng tử).
Còn hai tích chéo \(10x\) và \(10x\): \((2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\).
Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị, giá trị không phụ thuộc vào biến Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Biểu thức có nhiều tích nối bằng dấu cộng, trừ, yêu cầu "rút gọn".
- "Rút gọn rồi tính giá trị tại \(x = \ldots\)".
- "Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến".
- Có dấu trừ đứng trước một tích: cả tích bị trừ.
Hướng làm
- Bước 1
Nhân từng tích riêng.
Tích đứng sau dấu trừ: nhân xong vẫn để trong ngoặc.
- Bước 2
Bỏ ngoặc (đổi dấu nếu trước ngoặc là dấu trừ), gom cùng bậc.
- Bước 3
Kết quả là một số: giá trị không phụ thuộc vào biến.
Kết quả còn biến: thay số để tính giá trị.
Ví dụ 3
a) Chứng minh giá trị của \((x + 1)(x - 2) - x(x - 1) + 5\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Rút gọn \(B = x(2x - 3) - (2x + 1)(x - 4)\) rồi tính giá trị của \(B\) tại \(x = -\dfrac{1}{2}\).
Lời giải:
a) Nhân từng tích (Hình 4): \((x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\) và \(x(x - 1) = x^2 - x\).
Bỏ ngoặc và thu gọn: \((x^2 - x - 2) - (x^2 - x) + 5\)
\(= x^2 - x - 2 - x^2 + x + 5 = 3\).
Kết quả là số 3, không còn \(x\), nên giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Nhân từng tích: \(x(2x - 3) = 2x^2 - 3x\) và \((2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 7x - 4\).
Trừ: \(B = 2x^2 - 3x - (2x^2 - 7x - 4)\) \(= 4x + 4\).
Thay số: \(B = 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 4 = 2\).
Đáp số: a) biểu thức luôn bằng 3; b) \(B = 4x + 4\), giá trị bằng 2
Câu b: \(-(2x + 1)(x - 4)\) nhân ra thành \(-2x^2 - 7x - 4\) (chỉ đổi dấu hạng tử đầu), ra \(B = -10x - 4\).
Nhân trước, để trong ngoặc, rồi đổi dấu cả ba hạng tử: \(-(2x^2 - 7x - 4) = -2x^2 + 7x + 4\). Kết quả \(B = 4x + 4\).
Dạng 4. Tìm x Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Một đẳng thức chứa \(x\) có các tích cần nhân ra.
- Hai vế đều có \(x^2\) với cùng hệ số: sau khi nhân ra, các hạng tử bậc 2 triệt tiêu.
Hướng làm
- Bước 1
Nhân ra và thu gọn từng vế (Dạng 3).
- Bước 2
Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế, các số về vế kia (đổi dấu khi chuyển vế).
- Bước 3
Tìm \(x\) rồi thử lại bằng cách thay vào đẳng thức ban đầu.
Ví dụ 4
Tìm \(x\) biết:
a) \(2x(x - 5) - 2x^2 = 30\)
b) \((x + 3)(x - 1) - x(x + 4) = 1\)
Lời giải:
a) Nhân ra: \(2x^2 - 10x - 2x^2 = 30\) nên \(-10x = 30\)
Suy ra \(x = -3\) (thử lại: \(-6 \cdot (-8) - 18 = 30\) ✓).
b) Nhân từng tích: \((x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3\) và \(x(x + 4) = x^2 + 4x\).
Thu gọn vế trái: \(x^2 + 2x - 3 - x^2 - 4x = -2x - 3\).
Tìm \(x\): \(-2x - 3 = 1\) nên \(-2x = 4\)
Suy ra \(x = -2\) (thử lại: \(1 \cdot (-3) - (-2) \cdot 2 = 1\) ✓).
Đáp số: a) \(x = -3\); b) \(x = -2\)
Câu b: \(-2x - 3 = 1\) suy ra \(-2x = -2\) (chuyển \(-3\) sang vế phải mà không đổi dấu).
Chuyển vế thì đổi dấu: \(-2x = 1 + 3 = 4\), nên \(x = -2\).
Dạng 5. Bậc và hệ số của tích Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hỏi bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một tích mà không yêu cầu nhân ra.
- Hỏi tổng các hệ số của tích.
Hướng làm
- Bước 1
Tìm hạng tử bậc cao nhất của từng đa thức: nhân hai hạng tử đó được hạng tử bậc cao nhất của tích.
- Bước 2
Hệ số tự do của tích: nhân hai hệ số tự do.
Tổng các hệ số của tích: nhân hai tổng hệ số (vì đó là giá trị tại \(x = 1\)).
Ví dụ 5
Không nhân ra, hãy tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của tích \((4x^2 - x + 3)(x^3 + 2x - 5)\).
Lời giải:
Hạng tử bậc cao nhất: \(4x^2 \cdot x^3 = 4x^5\).
Vậy tích có bậc 5, hệ số cao nhất là 4.
Hệ số tự do: \(3 \cdot (-5) = -15\).
Đáp số: bậc 5; hệ số cao nhất 4; hệ số tự do \(-15\)
Hệ số tự do của tích là \(3 + (-5) = -2\).
Hệ số tự do: nhân hai hệ số tự do, \(3 \cdot (-5) = -15\) (bậc: cộng hai bậc, xem Lý thuyết mục 3).
Dạng 6. Bài toán nâng cao về phép nhân Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai đa thức bằng nhau với mọi \(x\), cần tìm các hệ số chưa biết.
- Hỏi tổng các hệ số của một tích.
- Chứng minh một biểu thức chứa số tự nhiên \(n\) chia hết cho một số.
- Tích dạng \((x - 1)(x^2 + x + 1)\): các tích ở giữa triệt tiêu lần lượt.
Hướng làm
- Bước 1
Hai đa thức bằng nhau với mọi \(x\): nhân ra rồi cho các hệ số cùng bậc bằng nhau, bắt đầu từ hệ số tự do.
- Bước 2
Chia hết: nhân ra, thu gọn, rồi đặt thừa số chung.
Ví dụ 6
a) Tìm \(a\), \(b\) biết \((x + a)(x - 2) = x^2 + bx + 6\) với mọi \(x\).
b) Tính tổng các hệ số của tích \((2x - 3)(x^2 + x - 4)\).
c) Chứng tỏ \(n(n + 3) - (n - 1)(n + 2)\) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên \(n\).
d) Tính \((x - 1)(x^2 + x + 1)\) và \((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)\). Từ đó tính nhanh \(1 + 2 + 4 + 8\).
Lời giải:
a) Nhân vế trái: \((x + a)(x - 2) = x^2 + (a - 2)x - 2a\).
So hệ số: hệ số tự do \(-2a = 6\) nên \(a = -3\).
Hệ số của \(x\) là \(b = a - 2 = -5\).
b) Dùng giá trị tại \(x = 1\): tổng hệ số của tích bằng \((2 - 3) \cdot (1 + 1 - 4) = (-1) \cdot (-2) = 2\).
c) Nhân ra: \(n(n + 3) = n^2 + 3n\) và \((n - 1)(n + 2) = n^2 + n - 2\).
Trừ: \(n^2 + 3n - n^2 - n + 2\) \(= 2n + 2 = 2(n + 1)\)
Chia hết cho 2.
d) Nhân ra: \((x - 1)(x^2 + x + 1)\)
\(= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1\).
Tương tự: \((x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1\).
Thay \(x = 2\): \((2 - 1)(8 + 4 + 2 + 1) = 2^4 - 1\)
Nên \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\).
Đáp số: a) \(a = -3\), \(b = -5\); b) 2; c) bằng \(2(n + 1)\); d) \(x^3 - 1\); \(x^4 - 1\); 15
Câu a: so hệ số tự do thành \(a - 2 = 6\) (cộng thay vì nhân), ra \(a = 8\).
Hệ số tự do của tích là tích hai hệ số tự do: \(a \cdot (-2) = 6\) nên \(a = -3\).
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Đơn thức đứng trước ngoặc (Dạng 1) | Nhân với từng hạng tử: dấu, hệ số, số mũ | Bỏ sót hạng tử; âm nhân âm vẫn ghi âm |
| Hai ngoặc liền nhau, bình phương của tổng (Dạng 2) | Mỗi hạng tử nhân với mỗi hạng tử, gom cùng bậc | Chỉ nhân đầu với đầu, cuối với cuối |
| Nhiều tích cộng trừ; "không phụ thuộc vào biến" (Dạng 3) | Nhân từng tích, giữ ngoặc sau dấu trừ, thu gọn | Dấu trừ trước tích chỉ đổi dấu hạng tử đầu |
| Đẳng thức chứa \(x\) có tích (Dạng 4) | Nhân ra, thu gọn, chuyển vế, thử lại | Chuyển vế không đổi dấu |
| Hỏi bậc, hệ số của tích (Dạng 5) | Bậc: cộng. Hệ số cao nhất, tự do: nhân | Nhân hai bậc; cộng hai hệ số tự do |
| Bằng nhau với mọi \(x\); chia hết (Dạng 6) | So hệ số cùng bậc; đặt thừa số chung | So hệ số tự do bằng phép cộng |