HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 25 đã dạy thu gọn và sắp xếp một đa thức. Bài này làm việc với hai đa thức cùng lúc: cộng chúng lại, hoặc lấy đa thức này trừ đa thức kia. Về bản chất vẫn là "gom các hạng tử cùng bậc rồi cộng hệ số", chỉ thêm một điều phải cẩn thận: dấu trừ đứng trước cả một đa thức. Học xong bài này, em làm được:
- Cộng hai đa thức một biến theo hàng ngang và theo cột dọc.
- Trừ hai đa thức một biến, đổi dấu đúng mọi hạng tử của đa thức trừ.
- Dùng tính chất của phép cộng để tính nhanh và để tìm một đa thức chưa biết.
- Tính giá trị, tìm bậc, tìm nghiệm của tổng và hiệu (luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 5 và Dạng 6).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Thu gọn và sắp xếp đa thức Lớp 7 · Bài 25
Gom các hạng tử cùng bậc, cộng hệ số, viết theo lũy thừa giảm của biến: \(2x - x^2 + 3x + 4x^2 = 3x^2 + 5x\).
2. Quy tắc dấu ngoặc Lớp 7 · Bài 2
Trước ngoặc là dấu cộng: bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu các số hạng. Trước ngoặc là dấu trừ: bỏ ngoặc, đổi dấu mọi số hạng: \(-(a - b + c) = -a + b - c\).
3. Tìm số hạng, số bị trừ, số trừ Lớp 7 · Bài 2
Số hạng chưa biết bằng tổng trừ số hạng kia. Số bị trừ bằng hiệu cộng số trừ. Số trừ bằng số bị trừ trừ hiệu.
1Cộng hai đa thức một biến Lớp 7
Quy tắc
Muốn cộng hai đa thức một biến, ta cộng các hạng tử cùng bậc của hai đa thức với nhau. Có hai cách trình bày:
- Cách 1 – Hàng ngang: viết hai đa thức trong hai ngoặc nối bằng dấu cộng, bỏ ngoặc (giữ nguyên dấu), gom các hạng tử cùng bậc rồi cộng hệ số.
- Cách 2 – Cột dọc: sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm, đặt đa thức này dưới đa thức kia sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột, rồi cộng theo từng cột.
- Bậc bị khuyết: đa thức thiếu hạng tử bậc nào thì để trống cột đó, không dồn các hạng tử lại.
Vì sao cộng được theo từng bậc?
Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp nên các hạng tử đổi chỗ, nhóm lại tùy ý được. Hai hạng tử cùng bậc thì cộng được hệ số (Bài 25); hai hạng tử khác bậc thì để nguyên.
Ví dụ 1
Cho \(P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4\) và \(Q(x) = -3x^3 + x^2 + 6x - 1\). Tính \(P(x) + Q(x)\) bằng hai cách.
Lời giải:
Cách 1 – Hàng ngang: \(P(x) + Q(x)\)
\(= (5x^3 - 2x^2 + 4) + (-3x^3 + x^2 + 6x - 1)\)
\(= 5x^3 - 2x^2 + 4 - 3x^3 + x^2 + 6x - 1\)
\(= (5x^3 - 3x^3) + (-2x^2 + x^2) + 6x + (4 - 1)\)
\(= 2x^3 - x^2 + 6x + 3\).
Cách 2 – Cột dọc (Hình 1): cộng từng cột được \(5 - 3 = 2\)
\(-2 + 1 = -1\)
\(0 + 6 = 6\)
\(4 - 1 = 3\).
Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(P(1) = 7\), \(Q(1) = 3\), tổng bằng 10; kết quả cho \(2 - 1 + 6 + 3 = 10\) ✓).
Đáp số: \(P(x) + Q(x)\) \(= 2x^3 - x^2 + 6x + 3\)
Ghi nhớ
CỘNG ĐA THỨC = CỘNG HỆ SỐ CỦA CÁC HẠNG TỬ CÙNG BẬC
2Trừ hai đa thức một biến Lớp 7
Quy tắc
Muốn trừ đa thức \(Q(x)\) khỏi đa thức \(P(x)\), ta trừ các hạng tử cùng bậc: lấy hệ số của \(P(x)\) trừ hệ số tương ứng của \(Q(x)\).
- Cách 1 – Hàng ngang: viết \(P(x) - (Q(x))\), bỏ ngoặc và đổi dấu mọi hạng tử của \(Q(x)\), rồi gom cùng bậc.
- Cách 2 – Cột dọc: đặt tính như phép cộng, trừ theo từng cột. Cột nào \(P(x)\) để trống thì coi hệ số là 0.
- Cách nghĩ khác: trừ \(Q(x)\) chính là cộng với đa thức đối của \(Q(x)\), tức là đa thức có mọi hệ số đổi dấu.
\(P(x) - Q(x) = P(x) + \left(-Q(x)\right)\)
Trừ một đa thức là cộng với đa thức đối của nó.
Ví dụ 2
Cho \(P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4\) và \(Q(x) = -3x^3 + x^2 + 6x - 1\). Tính \(P(x) - Q(x)\) bằng hai cách.
Lời giải:
Cách 1 – Hàng ngang: \(P(x) - Q(x)\)
\(= (5x^3 - 2x^2 + 4) - (-3x^3 + x^2 + 6x - 1)\)
\(= 5x^3 - 2x^2 + 4 + 3x^3 - x^2 - 6x + 1\)
\(= (5x^3 + 3x^3) + (-2x^2 - x^2) - 6x + (4 + 1)\)
\(= 8x^3 - 3x^2 - 6x + 5\).
Cách 2 – Cột dọc (Hình 2): trừ từng cột được \(5 - (-3) = 8\)
\(-2 - 1 = -3\)
\(0 - 6 = -6\)
\(4 - (-1) = 5\).
Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(P(1) - Q(1) = 7 - 3 = 4\); kết quả cho \(8 - 3 - 6 + 5 = 4\) ✓).
Đáp số: \(P(x) - Q(x)\) \(= 8x^3 - 3x^2 - 6x + 5\)
Bỏ ngoặc chỉ đổi dấu hạng tử đầu: \(-(-3x^3 + x^2 + 6x - 1) = 3x^3 + x^2 + 6x - 1\), ra kết quả \(8x^3 - x^2 + 6x + 3\).
Đổi dấu cả bốn hạng tử: \(-(-3x^3 + x^2 + 6x - 1) = 3x^3 - x^2 - 6x + 1\), ra kết quả \(8x^3 - 3x^2 - 6x + 5\).
Ghi nhớ
TRỪ ĐA THỨC: ĐỔI DẤU MỌI HẠNG TỬ CỦA ĐA THỨC TRỪ, RỒI CỘNG
3Tính chất và cách tìm đa thức chưa biết Lớp 7
Tính chất
Với các đa thức \(A\), \(B\), \(C\) của cùng một biến:
- Giao hoán: \(A + B = B + A\).
- Kết hợp: \((A + B) + C = A + (B + C)\). Nhờ đó cộng nhiều đa thức theo thứ tự nào cũng được.
- Phép trừ không giao hoán: \(A - B\) và \(B - A\) là hai đa thức đối nhau, tức là \(A - B = -(B - A)\).
- Liên hệ cộng – trừ: nếu \(Q + R = P\) thì \(R = P - Q\); nếu \(R = P - Q\) thì \(Q + R = P\).
Bậc của tổng, hiệu
Bậc của tổng (hoặc hiệu) không vượt quá bậc lớn hơn trong hai đa thức, và có thể thấp hơn khi các hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu. Ví dụ \((x^3 + 2x) + (-x^3 + 5) = 2x + 5\): hai đa thức bậc 3 có tổng bậc 1.
Ví dụ 3
Tìm đa thức \(R(x)\) biết \(R(x) + (x^2 - 2x + 3) = 4x^2 + x - 2\).
Lời giải:
Xác định vai trò: \(R(x)\) là một số hạng của tổng, nên bằng tổng trừ số hạng kia.
Trừ: \(R(x) = (4x^2 + x - 2) - (x^2 - 2x + 3)\)
\(= 4x^2 + x - 2 - x^2 + 2x - 3\)
\(= 3x^2 + 3x - 5\).
Kiểm tra lại: \((3x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 2x + 3)\)
\(= 4x^2 + x - 2\) ✓.
Đáp số: \(R(x) = 3x^2 + 3x - 5\)
"Hai đa thức bậc 3 cộng lại luôn được đa thức bậc 3."
\((x^3 + 2x) + (-x^3 + 5) = 2x + 5\) có bậc 1. Phải tính xong rồi mới đọc bậc.
Ghi nhớ
Q + R = P ⇔ R = P − Q · TÍNH XONG LUÔN THỬ LẠI BẰNG PHÉP CỘNG
🔗 Liên hệ
Cách đặt tính theo cột dọc giống hệt cộng, trừ số tự nhiên: hàng đơn vị thẳng hàng đơn vị, hàng chục thẳng hàng chục. Ở đa thức, "hàng" chính là bậc của biến. Bài 27 và Bài 28 (nhân, chia đa thức) vẫn dùng cách xếp theo bậc này, và phép chia đa thức cần trừ đa thức rất nhiều lần.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- Cộng hai đa thức: cộng hệ số của các hạng tử cùng bậc. Trình bày theo hàng ngang (bỏ ngoặc, gom cùng bậc) hoặc cột dọc (cùng bậc thẳng cột).
- Trừ hai đa thức: đổi dấu mọi hạng tử của đa thức trừ rồi cộng; \(P - Q = P + (-Q)\).
- Đặt tính cột dọc: sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm, bậc khuyết để trống.
- Phép cộng giao hoán, kết hợp; phép trừ thì không: \(A - B = -(B - A)\).
- \(Q + R = P\) thì \(R = P - Q\). Bậc của tổng, hiệu có thể thấp hơn bậc của từng đa thức.
Nên dùng hàng ngang hay cột dọc?
Hai cách cho cùng kết quả. Hàng ngang gọn khi đa thức ngắn. Cột dọc ít nhầm hơn khi đa thức dài hoặc có bậc khuyết, vì các hạng tử cùng bậc đã nằm sẵn trong một cột.
\(A - B\) có bằng \(B - A\) không?
Nói chung là không: hai kết quả đối nhau. Ví dụ \((2x + 1) - (x - 3) = x + 4\), còn \((x - 3) - (2x + 1) = -x - 4\). Vì thế phải đọc kĩ đề yêu cầu lấy đa thức nào trừ đa thức nào.
Hiệu của hai đa thức có thể bằng 0 không?
Có, khi hai đa thức giống hệt nhau: \((x^2 + 1) - (x^2 + 1) = 0\). Kết quả là đa thức không.