HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 27 đã nhân đa thức. Bài này học phép tính ngược lại: chia đa thức. Cách làm rất giống phép chia hai số tự nhiên mà em đã đặt tính từ tiểu học: chia, nhân lại, trừ, rồi lặp lại. Học xong bài này, em làm được:
- Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức.
- Đặt tính chia đa thức cho đa thức (đã sắp xếp), kể cả khi đa thức bị chia khuyết một bậc.
- Nhận ra phép chia hết, phép chia có dư và viết được \(A = B \cdot Q + R\).
- Tìm một đa thức chưa biết trong phép chia; tìm hệ số để phép chia hết (luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 5 và Dạng 6).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Chia hai lũy thừa cùng cơ số Lớp 7 · Bài 3
Giữ nguyên cơ số, trừ số mũ: \(x^5 : x^2 = x^3\) (với \(x \ne 0\)). Số mũ bằng nhau thì thương bằng 1: \(x^3 : x^3 = 1\).
2. Phép chia có dư của số tự nhiên Lớp 6
\(17\) chia \(5\) được \(3\), dư \(2\). Viết lại: \(17 = 5 \cdot 3 + 2\), và số dư \(2\) nhỏ hơn số chia \(5\).
3. Nhân đơn thức với đa thức Lớp 7 · Bài 27
Nhân đơn thức với từng hạng tử: \(2x \cdot (x + 4) = 2x^2 + 8x\).
4. Trừ đa thức Lớp 7 · Bài 26
Trừ một đa thức là đổi dấu mọi hạng tử của nó rồi cộng: \((5x - 12) - (8x) = -3x - 12\).
1Phép chia hết. Chia đơn thức cho đơn thức Lớp 7
Phép chia hết
Cho hai đa thức \(A\) và \(B\), với \(B\) khác đa thức không. Nếu có đa thức \(Q\) sao cho \(A = B \cdot Q\) thì ta nói \(A\) chia hết cho \(B\).
- Tên gọi: \(A\) là đa thức bị chia, \(B\) là đa thức chia, \(Q\) là đa thức thương.
- Kí hiệu: \(A : B = Q\) hoặc \(\dfrac{A}{B} = Q\).
- Thử lại: lấy thương nhân với đa thức chia, phải ra đa thức bị chia.
Chia đơn thức cho đơn thức
Chia hệ số cho hệ số, chia lũy thừa cho lũy thừa (trừ số mũ). Phép chia này chỉ chia hết khi số mũ của đơn thức bị chia không nhỏ hơn số mũ của đơn thức chia.
\(ax^m : bx^n = \dfrac{a}{b}\,x^{m - n}\)
(\(b \ne 0\), \(m \ge n\)). Chia hệ số, trừ số mũ.
Vì sao?
Thử lại bằng phép nhân: \(\dfrac{a}{b}\,x^{m - n} \cdot bx^n = ax^m\), vì nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: \((m - n) + n = m\).
- \(10x^6 : 2x^2 = 5x^4\) (vì \(10 : 2 = 5\) và \(6 - 2 = 4\)) ✓
- \(-6x^4 : 4x^4 = -\dfrac{3}{2}\) (số mũ bằng nhau, phần biến chia nhau được 1) ✓
- \(5x^2 : x^3\) không chia hết: không có đơn thức nào nhân với \(x^3\) lại ra bậc 2.
\(10x^6 : 2x^2 = 5x^3\) (lấy số mũ chia cho nhau).
Chia hai lũy thừa thì trừ số mũ: \(10x^6 : 2x^2 = 5x^4\). Thử lại: \(5x^4 \cdot 2x^2 = 10x^6\).
Ghi nhớ
CHIA HỆ SỐ · TRỪ SỐ MŨ
2Chia đa thức cho đơn thức Lớp 7
Quy tắc
Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó rồi cộng các thương với nhau.
- Chia đủ: đa thức có bao nhiêu hạng tử thì có bấy nhiêu thương.
- Dấu: mỗi hạng tử mang theo dấu đứng trước nó; chia cho đơn thức có hệ số âm thì mọi hạng tử đổi dấu.
- Điều kiện chia hết: mọi hạng tử đều có bậc không nhỏ hơn bậc của đơn thức chia.
\((A + B) : C = A : C + B : C\)
Tổng chia cho một đơn thức: chia từng số hạng.
Vì sao?
Thử lại bằng phép nhân của Bài 27: \((A : C + B : C) \cdot C = A + B\) (tính chất phân phối).
Ví dụ 1
Tính \((6x^4 - 9x^3 + 3x^2) : 3x^2\).
Lời giải:
Chia từng hạng tử cho \(3x^2\) (Hình 1): \(6x^4 : 3x^2 = 2x^2\)
\(-9x^3 : 3x^2 = -3x\)
\(3x^2 : 3x^2 = 1\).
Cộng các thương: \(2x^2 - 3x + 1\).
Kiểm tra lại (nhân thương với \(3x^2\): \(6x^4 - 9x^3 + 3x^2\) ✓).
Đáp số: \(2x^2 - 3x + 1\)
\(3x^2 : 3x^2 = 0\), nên thương chỉ còn \(2x^2 - 3x\).
Một số (khác 0) chia cho chính nó được 1: \(3x^2 : 3x^2 = 1\). Thương là \(2x^2 - 3x + 1\), đủ ba hạng tử.
Ghi nhớ
CHIA TỪNG HẠNG TỬ, KHÔNG BỎ SÓT HẠNG TỬ NÀO
3Chia đa thức cho đa thức: đặt tính Lớp 7
Quy tắc đặt tính chia
Sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm của biến rồi đặt tính như chia hai số tự nhiên. Mỗi lượt chia gồm ba việc:
- Chia: lấy hạng tử bậc cao nhất của phần đang chia, chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được một hạng tử của thương.
- Nhân: nhân hạng tử vừa tìm với cả đa thức chia, viết tích xuống dưới, cùng bậc thẳng cột.
- Trừ: lấy phần đang chia trừ đi tích đó, được phần còn lại.
Lặp lại với phần còn lại, cho tới khi phần còn lại bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
Chú ý
Đa thức bị chia khuyết bậc nào thì để trống cột của bậc đó (như viết chữ số 0 giữ chỗ trong số 205).
Đặt tính chia: hiểu \((2x^2 + 5x - 12) : (x + 4)\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Chia là đi tìm đa thức \(Q\) sao cho \((x + 4) \cdot Q = 2x^2 + 5x - 12\)
Giống như \(156 : 12\) là đi tìm số nhân với 12 ra 156.
- Bước 2
Lượt 1. Muốn có \(2x^2\) thì phải nhân \(x\) với \(2x\)
\(2x^2 : x = 2x\).
Nhân lại: \(2x \cdot (x + 4) = 2x^2 + 8x\).
Trừ cả hàng: \(5x - 8x = -3x\), hạ \(-12\) xuống. Phần còn lại là \(-3x - 12\).
- Bước 3
Lượt 2. Chia tiếp phần còn lại: \(-3x : x = -3\).
Nhân lại: \(-3 \cdot (x + 4) = -3x - 12\).
Trừ: \((-3x - 12) - (-3x - 12) = 0\).
- Bước 4
Thử lại bằng phép nhân. \((x + 4)(2x - 3)\)
\(= 2x^2 - 3x + 8x - 12\)
\(= 2x^2 + 5x - 12\) ✓. Vậy thương là \(2x - 3\), dư 0.
Vì sao mỗi lượt chỉ chia hạng tử bậc cao nhất? Vì sau khi trừ, hạng tử bậc cao nhất mất đi, phần còn lại có bậc thấp hơn. Bậc giảm dần nên phép chia chắc chắn dừng lại.
Ví dụ 2 (tự kiểm tra)
Tính \((2x^3 - 5x^2 + 3) : (x - 1)\).
Lời giải:
Đặt tính (Hình 3).
Đa thức bị chia không có hạng tử bậc 1 nên để trống cột \(x\).
Lượt 1: \(2x^3 : x = 2x^2\)
\(2x^2(x - 1) = 2x^3 - 2x^2\)
Trừ đi còn \(-3x^2 + 3\).
Lượt 2: \(-3x^2 : x = -3x\)
\(-3x(x - 1) = -3x^2 + 3x\)
Trừ đi còn \(-3x + 3\).
Lượt 3: \(-3x : x = -3\)
\(-3(x - 1) = -3x + 3\)
Trừ đi còn \(0\).
Kiểm tra lại (thay \(x = 2\): \(16 - 20 + 3 = -1\) và \(1 \cdot (8 - 6 - 3) = -1\) ✓).
Đáp số: \(2x^2 - 3x - 3\)
Ở lượt 2, trừ \(3 - 3x\) rồi viết phần còn lại là \(3x + 3\) (quên đổi dấu khi trừ).
Trừ cả hàng: \((-3x^2 + 3) - (-3x^2 + 3x) = -3x + 3\). Cột \(x\) đang trống (là 0), nên \(0 - 3x = -3x\).
Ghi nhớ
CHIA → NHÂN LẠI → TRỪ → LẶP LẠI
4Phép chia có dư Lớp 7
Phép chia có dư
Khi đặt tính chia \(A\) cho \(B\), nếu phần còn lại khác 0 mà có bậc nhỏ hơn bậc của \(B\) thì không chia tiếp được nữa. Phần còn lại đó là đa thức dư \(R\).
- Dừng khi nào: khi phần còn lại bằng 0 (chia hết), hoặc bậc của nó nhỏ hơn bậc của đa thức chia (chia có dư).
- Viết kết quả: đa thức bị chia = đa thức chia · thương + dư.
- Chia cho đa thức bậc nhất (như \(x - 2\)): dư luôn là một số.
\(A = B \cdot Q + R\)
\(R = 0\) hoặc bậc của \(R\) nhỏ hơn bậc của \(B\).
Ví dụ 3
Tìm thương và dư của phép chia \((x^3 + 2x^2 - 3x + 4) : (x^2 - 1)\).
Lời giải:
Lượt 1 (Hình 4): \(x^3 : x^2 = x\)
\(x(x^2 - 1) = x^3 - x\)
Trừ đi còn \(2x^2 - 2x + 4\).
Lượt 2: \(2x^2 : x^2 = 2\)
\(2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2\)
Trừ đi còn \(-2x + 6\).
Dừng lại: \(-2x + 6\) có bậc 1, nhỏ hơn bậc 2 của đa thức chia.
Viết kết quả: \(x^3 + 2x^2 - 3x + 4\)
\(= (x^2 - 1)(x + 2) - 2x + 6\).
Kiểm tra lại (thay \(x = 2\): \(8 + 8 - 6 + 4 = 14\) và \(3 \cdot 4 - 4 + 6 = 14\) ✓).
Đáp số: thương \(x + 2\), dư \(-2x + 6\)
🔁 Chia số tự nhiên và chia đa thức
| Việc | Số tự nhiên | Đa thức |
|---|---|---|
| Viết kết quả | \(17 = 5 \cdot 3 + 2\) | \(A = B \cdot Q + R\) |
| Điều kiện của dư | số dư nhỏ hơn số chia | bậc của dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia |
| Chia hết | số dư bằng 0 | đa thức dư bằng 0 |
| Thử lại | số chia nhân thương, cộng số dư | đa thức chia nhân thương, cộng dư |
Ở Ví dụ 3, dừng ngay sau lượt 1 và kết luận dư là \(2x^2 - 2x + 4\).
\(2x^2 - 2x + 4\) có bậc 2, bằng bậc của \(x^2 - 1\) nên còn chia tiếp được một lượt. Dư đúng là \(-2x + 6\).
Dư khi chia cho x − a: thay số là ra Nâng cao
Chia \(A(x)\) cho \(x - a\) thì dư là một số \(r\): \(A(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r\). Đẳng thức đúng với mọi \(x\), nên thay \(x = a\) thì ngoặc \((x - a)\) bằng 0 và còn lại \(A(a) = r\).
- Dư của phép chia \(A(x)\) cho \(x - a\) bằng \(A(a)\).
- \(A(x)\) chia hết cho \(x - a\) đúng khi \(A(a) = 0\), tức là \(a\) là một nghiệm của \(A(x)\).
- Chia cho \(x + a\) thì thay \(x = -a\).
Ví dụ: chia \(x^2 + 3x + 1\) cho \(x - 2\) thì dư là \(2^2 + 3 \cdot 2 + 1 = 11\). Đặt tính để kiểm tra: \(x^2 + 3x + 1 = (x - 2)(x + 5) + 11\) ✓.
Ghi nhớ
BẬC CỦA DƯ NHỎ HƠN BẬC CỦA ĐA THỨC CHIA THÌ DỪNG
🔗 Liên hệ
Bài 28 khép lại Chương VII: em đã có đủ bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia với đa thức một biến. Lên lớp 8, phép chia đa thức dùng để phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn phân thức. Mẹo "dư bằng \(A(a)\)" ở trên chính là định lí Bézout, một công cụ quen thuộc của các đề thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 chuyên.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- \(A\) chia hết cho \(B\) khi có đa thức \(Q\) để \(A = B \cdot Q\); thử lại bằng phép nhân.
- Chia đơn thức cho đơn thức: chia hệ số, trừ số mũ; chia hết khi số mũ của đơn thức bị chia không nhỏ hơn.
- Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử rồi cộng các thương.
- Chia đa thức cho đa thức: sắp xếp, đặt tính; mỗi lượt là chia, nhân lại, trừ; bậc khuyết thì để trống cột.
- Dừng khi phần còn lại bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia; khi đó \(A = B \cdot Q + R\).
- Nâng cao: dư của phép chia \(A(x)\) cho \(x - a\) bằng \(A(a)\).
Vì sao phải để trống cột của bậc bị khuyết?
Vì các tích viết bên dưới phải thẳng cột theo bậc mới trừ được. Ở Ví dụ 2, lượt 2 sinh ra hạng tử \(3x\); nếu không chừa cột \(x\) thì \(3x\) sẽ bị viết nhầm xuống dưới số 3 và em trừ nhầm hai hạng tử khác bậc.
Dư có thể là một số không, hay luôn phải chứa x?
Có thể là một số. Một số khác 0 là đa thức bậc 0, nên khi chia cho đa thức bậc nhất (như \(x - 2\)) thì dư luôn là một số. Khi chia cho đa thức bậc hai, dư có thể là một số hoặc một đa thức bậc nhất.
Làm sao tự kiểm tra một phép chia đa thức?
Cách chắc nhất: lấy đa thức chia nhân với thương rồi cộng dư, phải ra đúng đa thức bị chia. Cách nhanh: thay một số dễ tính (như \(x = 2\)) vào hai vế của \(A = B \cdot Q + R\), hai giá trị phải bằng nhau.