Phép chia đa thức một biến — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) Chia hệ số, trừ số mũ: \(-18 : 6 = -3\)

\(6 - 4 = 2\).

Kết quả \(-3x^2\) (thử lại: \(-3x^2 \cdot 6x^4 = -18x^6\) ✓).

b) M là thương: \(M = 10x^5 : (-2x^3) = -5x^2\) (thử lại: \(-5x^2 \cdot (-2x^3) = 10x^5\) ✓).

c) Điều kiện chia hết: số mũ của đơn thức chia không vượt quá 5, tức là \(n \le 5\).

Vậy \(n\) nhận 6 giá trị từ 0 đến 5 (thử \(n = 5\): \(6x^5 : 4x^5 = \dfrac{3}{2}\) ✓).

Đáp số: a) \(-3x^2\); b) \(M = -5x^2\); c) \(n \le 5\)

Lời giải:

a) Ba thương: \(8x^5 : (-4x^3) = -2x^2\)

\(-12x^4 : (-4x^3) = 3x\)

\(4x^3 : (-4x^3) = -1\).

Kết quả \(-2x^2 + 3x - 1\).

b) Ba thương: \(4x^4 : 2x^2 = 2x^2\)

\(-3x^3 : 2x^2 = -\dfrac{3}{2}x\)

\(x^2 : 2x^2 = \dfrac{1}{2}\).

Kết quả \(2x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}\).

c) Chia trước: \((6x^3 - 4x^2) : 2x^2 = 3x - 2\).

Do đó \(3x - 2 = 7\)

\(3x = 9\)

\(x = 3\) (thử lại: \((162 - 36) : 18 = 7\) ✓).

Đáp số: a) \(-2x^2 + 3x - 1\); c) \(x = 3\); câu b xem kết quả ở trên.

Lời giải:

a) Lượt 1 (Hình 5): \(3x^3 : x = 3x^2\)

\(3x^2(x - 2) = 3x^3 - 6x^2\)

Trừ đi còn \(x^2 - 4x + 4\).

Lượt 2: \(x^2 : x = x\)

\(x(x - 2) = x^2 - 2x\)

Trừ đi còn \(-2x + 4\).

Lượt 3: \(-2x : x = -2\)

\(-2(x - 2) = -2x + 4\)

Trừ đi còn \(0\).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(3 - 5 - 4 + 4 = -2\) và \((-1) \cdot (3 + 1 - 2) = -2\) ✓).

b) Sắp xếp: đa thức bị chia là \(x^4 + x^3 - x^2 + 5x - 2\).

Lượt 1: \(x^4 : x^2 = x^2\)

Nhân lại được \(x^4 + 2x^3 - x^2\)

Trừ đi còn \(-x^3 + 5x - 2\).

Lượt 2: \(-x^3 : x^2 = -x\)

Nhân lại được \(-x^3 - 2x^2 + x\)

Trừ đi còn \(2x^2 + 4x - 2\).

Lượt 3: \(2x^2 : x^2 = 2\)

Nhân lại được \(2x^2 + 4x - 2\)

Trừ đi còn \(0\).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(1 + 1 - 1 + 5 - 2 = 4\) và \(2 \cdot (1 - 1 + 2) = 4\) ✓).

Đáp số: a) \(3x^2 + x - 2\); b) \(x^2 - x + 2\)

Lời giải:

a) Lượt 1 (Hình 6, cột \(x\) để trống): \(4x^3 : 2x = 2x^2\)

\(2x^2(2x - 1) = 4x^3 - 2x^2\)

Trừ đi còn \(-4x^2 + 3\).

Lượt 2: \(-4x^2 : 2x = -2x\)

\(-2x(2x - 1) = -4x^2 + 2x\)

Trừ đi còn \(-2x + 3\).

Lượt 3: \(-2x : 2x = -1\)

\(-1 \cdot (2x - 1) = -2x + 1\)

Trừ đi còn \(2\).

Dừng lại: số 2 có bậc 0, nhỏ hơn bậc 1 của \(2x - 1\).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(4 - 6 + 3 = 1\) và \(1 \cdot (2 - 2 - 1) + 2 = 1\) ✓).

b) Lượt 1: \(x^4 : x^2 = x^2\)

Nhân lại được \(x^4 + x^3\)

Trừ đi còn \(-x^3 - 2x^2 + 3x + 1\).

Lượt 2: \(-x^3 : x^2 = -x\)

Nhân lại được \(-x^3 - x^2\)

Trừ đi còn \(-x^2 + 3x + 1\).

Lượt 3: \(-x^2 : x^2 = -1\)

Nhân lại được \(-x^2 - x\)

Trừ đi còn \(4x + 1\).

Dừng lại: \(4x + 1\) có bậc 1, nhỏ hơn bậc 2 của \(x^2 + x\).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): \(1 - 2 + 3 + 1 = 3\) và \(2 \cdot (1 - 1 - 1) + 5 = 3\) ✓).

Đáp số: a) thương \(2x^2 - 2x - 1\), dư \(2\); b) thương \(x^2 - x - 1\), dư \(4x + 1\)

Lời giải:

a) Nhân rồi cộng dư: \(A = (x - 2)(2x^2 + 1) + 3\)

\(= 2x^3 - 4x^2 + x - 2 + 3\)

\(= 2x^3 - 4x^2 + x + 1\).

b) Chiều dài = diện tích : chiều rộng. Lượt 1: \(3x^2 : x = 3x\)

\(3x(x + 3) = 3x^2 + 9x\)

Trừ đi còn \(2x + 6\).

Lượt 2: \(2x : x = 2\)

\(2(x + 3) = 2x + 6\)

Trừ đi còn \(0\).

Chiều dài là \(3x + 2\) (cm).

Kiểm tra lại (thay \(x = 1\): diện tích \(3 + 11 + 6 = 20\) và \(4 \cdot 5 = 20\) ✓).

c) B là thương của phép chia khác: \(B = (x^3 - 8) : (x - 2)\).

Đặt tính, để trống cột \(x^2\) và cột \(x\).

Ba lượt chia cho thương \(x^2 + 2x + 4\) (phần còn lại sau từng lượt là \(2x^2 - 8\), rồi \(4x - 8\), rồi \(0\)).

Vậy \(B = x^2 + 2x + 4\).

Đáp số: a) \(2x^3 - 4x^2 + x + 1\); b) \(3x + 2\) (cm); c) \(x^2 + 2x + 4\)

Lời giải:

a) Đặt tính: ba lượt cho thương \(x^2 - x + (a - 3)\), dư \(6 + 3(a - 3) = 3a - 3\).

Chia hết khi \(3a - 3 = 0\), tức là \(a = 1\).

Cách khác: thay \(x = 3\) thì \(27 - 36 + 3a + 6 = 3a - 3\).

Cho bằng 0 cũng được \(a = 1\).

b) Thay \(x = -1\): \((-1)^{12} - 2 \cdot (-1)^5 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7\).

Dư là 7.

c) Chia trước: \(3x^2 - 4x + 5 = (x - 1)(3x - 1) + 4\).

Với \(x\) nguyên, \((x - 1)(3x - 1)\) luôn chia hết cho \(x - 1\), nên chỉ cần 4 chia hết cho \(x - 1\).

Các ước của 4 là \(\pm 1; \pm 2; \pm 4\).

Vậy \(x\) thuộc \(\{-3; -1; 0; 2; 3; 5\}\).

d) Gọi dư là \(ax + b\) (bậc phải nhỏ hơn 2).

Viết \(A(x) = (x - 2)(x + 1) \cdot Q(x) + ax + b\).

Thay \(x = 2\) được \(2a + b = 5\).

Thay \(x = -1\) được \(-a + b = -1\).

Trừ hai đẳng thức: \(3a = 6\)

Nên \(a = 2\) và \(b = 1\).

Dư là \(2x + 1\).

Đáp số: a) \(a = 1\); b) 7; c) 6 giá trị (xem trên); d) \(2x + 1\)