Phân Số

Phân Số

Phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) (với a, b là các số tự nhiên và b \(\neq\) 0)

• Tử số (a): Số tự nhiên viết trên gạch ngang, chỉ số phần được lấy ra.
• Mẫu số (b): Số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang, chỉ tổng số phần bằng nhau được chia ra từ một đơn vị.

Hiểu phân số

So sánh phân số

1. Cùng mẫu số

So sánh tử số:

• Tử số lớn hơn thì phân số lớn hơn
• Tử số nhỏ hơn thì phân số nhỏ hơn

Ví dụ: \(\frac{4}{6}\) < \(\frac{5}{6}\) vì 4 < 5

2. Khác mẫu số

• Cùng tử số:
  • Mẫu số lớn hơn thì phân số nhỏ hơn
  • Mẫu số nhỏ hơn thì phân số lớn hơn
    • Ví dụ: \(\frac{2}{3}\) > \(\frac{2}{6}\) vì 3 < 6

• Khác tử số: Trước hết ta quy đồng mẫu số, đưa về dạng cùng mẫu số rồi so sánh

Quy đồng mẫu số là biến đổi các phân số khác mẫu thành các phân số mới có cùng mẫu số (mẫu chung) nhưng vẫn giữ nguyên giá trị ban đầu. Mục đích là để cộng, trừ hoặc so sánh các phân số dễ dàng hơn. Quy trình bao gồm việc tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu và nhân tử/mẫu với thừa số phụ tương ứng.

Các bước quy đồng mẫu số: (ví dụ:  \(\frac{2}{3}\) và  \(\frac{3}{4}\))

• Tìm mẫu số chung (MSC): Thường là bội chung nhỏ nhất của các mẫu. Ví dụ: 3 x 4 = 12
• Tìm thừa số phụ: Lấy MSC chia cho từng mẫu số.
  • Thừa số phụ thứ nhất: 12 : 3 = 4
  • Thừa số phụ thứ hai: 12 : 4 = 3
• Nhân tử và mẫu: Nhân cả tử và mẫu với thừa số phụ tương ứng.
  • Phân số thứ nhất: \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\)
  • Phân số thứ hai: \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\)
• Kết quả: \(\frac{8}{12}\) và \(\frac{9}{12}\)

3. So sánh với 1

• Nếu tử số < mẫu số thì phân số < 1
• Nếu tử số = mẫu số thì phân số = 1
• Nếu tử số > Mẫu số thì phân số > 1

4. So sánh với tính chất bắc cầu

\(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\) và  \(\frac{c}{d} < \frac{m}{n}\) → Thì  \(\frac{a}{b} > \frac{m}{n}\)

5. So sánh bằng "phần bù" với 1

Áp dụng khi các phân số đều nhỏ hơn 1.

Phân số nào còn thiếu ít hơn để tới 1 thì phân số đó lớn hơn → "phần bù" ít hơn thì lớn hơn

6. So sánh bằng "phần hơn" với 1

Áp dụng khi các phân số đều lớn hơn 1

Phân số nào hơn 1 nhiều hơn thì phân số đó lớn hơn.

Rút gọn phân số

Rút gọn phân số là chia cả tử và mẫu cho cùng một số tự nhiên khác 0 để được phân số mới nhỏ hơn nhưng bằng phân số cũ.

Cách làm cơ bản là tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử và mẫu rồi chia cả hai cho ƯCLN.

Phân số tối giản: Là phân số mà tử số và mẫu số chỉ có ước chung là 1, không thể rút gọn được nữa.

Mẹo rút gọn nhanh: nếu chưa tìm được ƯCLN ngay thì thực hiện các trường hợp sau:

• Chia tử và mẫu lần lượt cho các số nhỏ (2, 3, 4, 5...) cho đến khi tử và mẫu không còn cùng chia hết cho số nào khác, các trường hợp cả tử và mẫu sẽ chia được nếu cả tử và mẫu thỏa các điều kiện sau:
  • Chia cho 2: Nếu tử và mẫu là số chẵn (vd: 156; 382; 240)
  • Chia cho 3: Nếu tổng các chữ số chia hết cho 3 (vd: 126; 345; 219)
  • Chia cho 4: Nếu 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 (vd: 216; 324; 432)
  • Chia cho 5: Nếu tận cùng là 0 hoặc 5 (vd: 15; 30; 45)
  • Chia cho 6: Nếu là số chẵn chia hết cho 3. (vd: 24; 264; 348)
  • Chia cho 8: Nếu 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 (vd: 160; 368; 1248)
  • Chia cho 9: Nếu tổng các chữ số chia hết cho 9 (vd: 126; 846; 1044)
• Tách thừa số chung (Triệt tiêu): Viết tử và mẫu dưới dạng tích các thừa số, sau đó gạch bỏ các số giống nhau ở cả hai.
  • \(\frac{12}{18} = \frac{6 \times 2}{6 \times 3} = \frac{2}{3}\) (triệt tiêu 6 ở cả tử và mẫu)
• Tận cùng là 0: Nếu cả tử và mẫu đều có tận cùng là 0, hãy chia cho 10, 100, ... (bỏ chữ số 0).
  • \(\frac{120}{150} = \frac{12}{15} = \frac{4}{3}\) (bỏ số 0 ở tử và mẫu rồi chia 3)

Hỗn số

Hỗn số là một số gồm hai phần: phần nguyên và phần phân số nhỏ hơn 1.

Cách chuyển đổi hỗn số:

• Hỗn số sang phân số
  • Công thức: \(a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c}\)
  • Quy tắc: Tử số mới = (Phần nguyên x Mẫu số) + Tử số cũ, Mẫu số giữ nguyên
  • Ví dụ: \(2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}\)
• Phân số sang hỗn số (phân số lớn hơn 1)
  • Chia Tử số cho Mẫu số được Thương và Số dư
    • Phần Nguyên: là Thương tìm được
    • Tử số của phần phân số: là Số dư tìm được
    • Mẫu số của phần phân số: là Mẫu số ban đầu
  • Ví dụ: \(\frac{10}{3}\); 10 : 3 = 3 dư 1 vậy  \(\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)

Các phép tính với phân số

1. Cộng trừ phân số có cùng mẫu số

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số:

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}\)

2. Cộng trừ phân số khác mẫu số

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, trước hết ta phải quy đồng mẫu số trước, sau đó thực hiện như cộng trừ phân số có cùng mẫu số

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

3. Phép nhân

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c }{b \times d}\)

4. Phép chia

Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược (nghịch đảo)

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}= \frac{a \times d }{b \times c}\)

5. Các tính chất của phân số

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số mới bằng phân số đã cho

\(\frac{a \times n }{b \times n} = \frac{a}{b} \) (n \(\neq\) 0)

Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 (gọi là rút gọn phân số) thì được một phân số mới bằng phân số đã cho

\(\frac{a \div n }{b \div n} = \frac{a}{b} \) (n \(\neq\) 0)

Phân số có mẫu số bằng 10; 100; 1000;... gọi là phân số thập phân

Nếu ta trừ (cộng) cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số đó không thay đổi.

Tính chất giao hoán:

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}\)

Tính chất kết hợp:

\((\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{m}{n} =\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{m}{n})\)

\((\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}) \times \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} \times \frac{m}{n})\)

Tính chất phân phối:

\(\frac{a}{b} \times ( \frac{c}{d} + \frac{m}{n}) =\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \times \frac{m}{n}\)