HomeStudyTrước khi bắt đầu
Đây là bài mở đầu Chương II (Số thực). Em đã biết mọi số hữu tỉ viết được dưới dạng phân số; bài này cho em thấy khi viết phân số thành số thập phân thì có hai khả năng: phép chia dừng lại, hoặc các chữ số lặp lại mãi. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Viết một phân số thành số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, chỉ ra chu kỳ.
- Biết trước một phân số cho số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn mà không cần chia.
- So sánh các số thập phân, kể cả số vô hạn tuần hoàn, với nhau và với phân số.
- Làm tròn một số với độ chính xác cho trước (0,5; 0,05; 5; 50…).
- Giải các bài nâng cao: chữ số thứ \(n\) sau dấu phẩy, đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Phân số là phép chia Lớp 6
\(\dfrac{a}{b} = a : b\). Muốn viết phân số thành số thập phân thì chia tử cho mẫu: \(\dfrac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75\).
2. Làm tròn số thập phân đến một hàng Lớp 6
Nhìn chữ số đầu tiên bị bỏ đi: nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên hàng làm tròn; từ 5 trở lên thì cộng thêm 1 vào hàng làm tròn. Ví dụ làm tròn 7,386 đến hàng phần mười: chữ số bỏ đi đầu tiên là 8, nên \(7{,}386 \approx 7{,}4\).
3. Phân tích ra thừa số nguyên tố Lớp 6
\(20 = 2^2 \cdot 5\); \(12 = 2^2 \cdot 3\). Dùng ở phần Mở rộng.
1Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn Lớp 7
Khái niệm
Viết phân số \(\dfrac{a}{b}\) thành số thập phân bằng cách chia \(a\) cho \(b\).
Số thập phân hữu hạn
Phép chia dừng lại sau một số bước: \(\dfrac{7}{4} = 1{,}75\); \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\).
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Phép chia không bao giờ dừng, và trong thương có một nhóm chữ số lặp lại mãi. Nhóm đó gọi là chu kỳ, viết trong dấu ngoặc tròn:
\(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\), chu kỳ 3; \(\dfrac{7}{6} = 1{,}1666\ldots = 1{,}1(6)\), chu kỳ 6 (chữ số 1 ngay sau dấu phẩy không lặp).
Chú ý
Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Vì sao các chữ số phải lặp lại: hiểu \(\dfrac{7}{11}\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \(\dfrac{7}{11} = 7 : 11\).
Vì \(7 < 11\) nên viết "0," rồi chia tiếp: mỗi bước lấy số dư, viết thêm chữ số 0, chia cho 11.
- Bước 2
Chia từng bước. Dư 7, thêm 0: \(70 : 11 = 6\) dư 4.
Dư 4, thêm 0: \(40 : 11 = 3\) dư 7.
- Bước 3
Nhìn số dư. Số dư 7 xuất hiện lại, nên từ đây phép chia lặp lại y hệt: lại được 6, rồi 3, rồi 6, 3… Vì sao chắc chắn có lúc lặp? Chia cho 11 thì số dư chỉ có thể là 1, 2, …, 10.
Nếu chưa gặp dư 0 thì sau nhiều nhất 10 bước, một số dư phải xuất hiện lần thứ hai.
- Bước 4
Kết luận và thử lại. \(\dfrac{7}{11} = 0{,}636363\ldots = 0{,}(63)\).
Thử: \(11 \cdot 0{,}6363 = 6{,}9993\)
Rất gần 7 ✓.
Ví dụ tự kiểm tra: \(\dfrac{2}{9}\). \(20 : 9 = 2\) dư 2, số dư 2 lặp lại ngay, nên \(\dfrac{2}{9} = 0{,}(2)\).
Phân biệt cách viết chu kỳ: \(0{,}(3) = 0{,}333\ldots\) (lặp từ ngay sau dấu phẩy); \(1{,}1(6) = 1{,}1666\ldots\) (chữ số 1 đứng một mình, chỉ 6 lặp); \(0{,}(16) = 0{,}161616\ldots\) (cả cặp 16 lặp). Muốn tìm chu kỳ, viết đủ dài để thấy rõ nhóm nào lặp, bắt đầu từ đâu.
\(\dfrac{7}{6} = 1{,}1666\ldots = 1{,}(16)\) (đưa cả chữ số 1 không lặp vào chu kỳ).
Chỉ chữ số 6 lặp: \(1{,}1(6)\). Số \(1{,}(16) = 1{,}161616\ldots\) là một số khác.
\(\dfrac{5}{9} = 0{,}56\) (bấm máy, thấy 0,5555… rồi ghi dấu "=" với số đã làm tròn).
\(\dfrac{5}{9} = 0{,}(5)\); còn \(0{,}56\) chỉ là giá trị gần đúng: \(\dfrac{5}{9} \approx 0{,}56\). Số đã làm tròn thì dùng dấu "≈".
Mở rộng: biết trước mà không cần chia Nâng cao
Với phân số tối giản, mẫu dương:
- Mẫu chỉ có ước nguyên tố 2 và 5 → số thập phân hữu hạn.
- Mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 (3, 7, 11…) → số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vì sao?
Mẫu chỉ gồm thừa số 2 và 5 thì nhân thêm cho đủ cặp, mẫu thành 10, 100, 1000…: \(\dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{2^2 \cdot 5} = \dfrac{3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^2} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15\). Ngược lại \(\dfrac{4}{15}\) có \(15 = 3 \cdot 5\); không nhân thế nào cho mẫu thành 10, 100… được (các số này chỉ có ước nguyên tố 2, 5), nên phép chia không dừng: \(\dfrac{4}{15} = 0{,}2(6)\).
\(\dfrac{6}{15}\): mẫu \(15 = 3 \cdot 5\) có ước 3, vậy là số vô hạn tuần hoàn.
Phải rút gọn trước: \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\), số thập phân hữu hạn.
Ghi nhớ
RÚT GỌN TRƯỚC → MẪU CHỈ CÓ ƯỚC NGUYÊN TỐ 2, 5: HỮU HẠN · CÓ ƯỚC KHÁC: VÔ HẠN TUẦN HOÀN · CHU KỲ CHỈ GỒM CÁC CHỮ SỐ LẶP LẠI
2Làm tròn số căn cứ vào độ chính xác cho trước Lớp 7
Độ chính xác
Khi làm tròn một số đến một hàng nào đó, số làm tròn lệch với số ban đầu không quá nửa đơn vị của hàng làm tròn. Nửa đơn vị đó gọi là độ chính xác của kết quả.
Ví dụ: làm tròn đến hàng phần mười thì sai lệch không quá \(0{,}1 : 2 = 0{,}05\); làm tròn đến hàng trăm thì sai lệch không quá \(100 : 2 = 50\).
Quy tắc
Muốn làm tròn với độ chính xác cho trước, chọn hàng làm tròn theo bảng dưới. Nói gọn: chữ số của độ chính xác nằm ở hàng nào thì làm tròn đến hàng liền trước (lớn hơn) hàng đó.
📏 Độ chính xác → hàng làm tròn
| Độ chính xác | Hàng làm tròn | Vì sao |
|---|---|---|
| 50 | trăm | nửa của 100 |
| 5 | chục | nửa của 10 |
| 0,5 | đơn vị | nửa của 1 |
| 0,05 | phần mười | nửa của 0,1 |
| 0,005 | phần trăm | nửa của 0,01 |
Em không cần học thuộc bảng: chỉ cần nhớ "độ chính xác = nửa đơn vị hàng làm tròn", rồi tự suy ra.
Làm tròn \(3{,}2718\) với độ chính xác \(0{,}05\): hiểu từng bước
- Bước 1
Chọn hàng. \(0{,}05\) là nửa đơn vị của hàng phần mười (\(0{,}1 : 2\)), nên làm tròn đến hàng phần mười.
- Bước 2
Tìm hai số tròn phần mười gần nhất. \(3{,}2718\) nằm giữa \(3{,}2\) và \(3{,}3\)
Điểm giữa là \(3{,}25\).
- Bước 3
Chọn số gần hơn. \(3{,}2718 > 3{,}25\) (cũng là: chữ số bỏ đi đầu tiên là 7, từ 5 trở lên), nên \(3{,}2718 \approx 3{,}3\).
- Bước 4
Kiểm tra độ chính xác. Sai lệch \(3{,}3 - 3{,}2718 = 0{,}0282 \le 0{,}05\) ✓.
Ví dụ tự kiểm tra:
- Làm tròn 1 284,6 với độ chính xác 50: làm tròn đến hàng trăm, chữ số bỏ đi đầu tiên là 8, được 1 300.
- Làm tròn \(-0{,}4572\) với độ chính xác \(0{,}005\): làm tròn đến hàng phần trăm. Số âm: làm tròn số đối \(0{,}4572 \approx 0{,}46\) rồi thêm dấu trừ, được \(-0{,}46\).
Độ chính xác \(0{,}05\), chữ số 5 ở hàng phần trăm nên làm tròn đến hàng phần trăm: \(3{,}2718 \approx 3{,}27\).
Làm tròn đến hàng liền trước, hàng phần mười: \(3{,}2718 \approx 3{,}3\) (vì \(0{,}05\) là nửa của \(0{,}1\)).
Làm tròn \(-0{,}4572\) đến hàng phần trăm được \(-0{,}45\) (nghĩ số âm thì "làm tròn lên" là giảm trị tuyệt đối).
Làm tròn số đối \(0{,}4572 \approx 0{,}46\) rồi thêm dấu trừ: \(-0{,}46\).
Ghi nhớ
ĐỘ CHÍNH XÁC = NỬA ĐƠN VỊ HÀNG LÀM TRÒN: \(0{,}05\) → PHẦN MƯỜI · \(0{,}005\) → PHẦN TRĂM · SỐ ÂM: LÀM TRÒN SỐ ĐỐI RỒI THÊM DẤU TRỪ
🔗 Liên kết
Ý tưởng "số dư lặp lại thì kết quả lặp lại" chính là ý tưởng chu kỳ của chuyên đề CD1 (chữ số tận cùng của lũy thừa). Ở Bài 6, em sẽ gặp loại số thập phân vô hạn mà không tuần hoàn, như \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\): đó là số vô tỉ.
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Chia tử cho mẫu: dừng → số thập phân hữu hạn; lặp mãi → số thập phân vô hạn tuần hoàn.
- Chu kỳ là nhóm chữ số lặp lại, viết trong ngoặc: \(0{,}(3)\), \(1{,}1(6)\). Chữ số không lặp đứng ngoài ngoặc.
- Số đã làm tròn dùng dấu "≈", không dùng "=".
- Độ chính xác = nửa đơn vị hàng làm tròn: \(0{,}05\) → phần mười; 50 → trăm.
- Số âm: làm tròn số đối rồi thêm dấu trừ.
Độ chính xác là \(0{,}006\) hay \(0{,}0003\) thì làm tròn đến hàng nào?
Theo quy tắc "hàng liền trước": \(0{,}006\) (hàng phần nghìn) → hàng phần trăm. Đúng, vì nửa đơn vị hàng phần trăm là \(0{,}005 \le 0{,}006\).
Với \(0{,}0003\) (hàng phần chục nghìn) → hàng phần nghìn; nhưng nửa đơn vị hàng phần nghìn là \(0{,}0005\), lớn hơn \(0{,}0003\). Khi đó em làm tròn đến hàng phần nghìn rồi kiểm tra sai lệch thật: nếu sai lệch không quá \(0{,}0003\) thì đạt; nếu không, làm tròn thêm một hàng (phần chục nghìn) là chắc chắn đạt.
Làm sao biết đã chia "đủ dài" để thấy chu kỳ?
Theo dõi số dư, không theo dõi chữ số của thương. Khi một số dư xuất hiện lần thứ hai, chu kỳ bắt đầu từ chữ số ứng với lần đầu của số dư đó. Chia cho \(b\) thì chu kỳ dài không quá \(b - 1\) chữ số.
Số \(0{,}(9) = 0{,}999\ldots\) có phải nhỏ hơn 1 không?
Không, \(0{,}(9) = 1\). Ta có \(0{,}(1) = \dfrac{1}{9}\) (chia \(1 : 9\) là thấy), nên \(0{,}(9) = 9 \cdot \dfrac{1}{9} = 1\). Vì vậy khi chia tử cho mẫu em không bao giờ gặp chu kỳ 9.