HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán về biến cố. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Cuối bài có bảng "Thấy gì, dùng gì" để ôn nhanh.
Dạng 1. Xếp loại biến cố Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hỏi biến cố nào là chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên.
- Biến cố có từ "hoặc": chỉ cần một trong hai điều đúng.
- Biến cố nói về thứ không có trong túi, trong hộp (bi đỏ khi túi chỉ có bi xanh).
Hướng làm
- Bước 1
Liệt kê hết các kết quả có thể.
- Bước 2
Với mỗi biến cố, tìm các kết quả làm cho nó xảy ra.
- Bước 3
Mọi kết quả: chắc chắn.
Không kết quả nào: không thể.
Còn lại: ngẫu nhiên.
Ví dụ 1
Một hộp có 8 thẻ ghi các số từ 1 đến 8. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Xếp loại các biến cố:
\(A\): "Số trên thẻ nhỏ hơn 9".
\(B\): "Số trên thẻ chia hết cho 9".
\(C\): "Số trên thẻ là số nguyên tố".
\(D\): "Số trên thẻ là ước của 8".
\(E\): "Số trên thẻ là số chẵn hoặc số lẻ".
Lời giải:
Các kết quả có thể. Số trên thẻ thuộc tập hợp \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\).
Biến cố A. Cả tám số đều nhỏ hơn 9: biến cố chắc chắn.
Biến cố B. Không số nào từ 1 đến 8 chia hết cho 9: biến cố không thể.
Biến cố C. Xảy ra với \(2; 3; 5; 7\), không xảy ra với các số còn lại: biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố D. Xảy ra với \(1; 2; 4; 8\), không xảy ra với các số còn lại: biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố E. Số tự nhiên nào cũng là số chẵn hoặc số lẻ, nên cả tám số đều làm \(E\) xảy ra: biến cố chắc chắn.
Đáp số: \(A\) và \(E\) chắc chắn; \(B\) không thể; \(C\) và \(D\) ngẫu nhiên
"\(C\) xảy ra với bốn số, không xảy ra với bốn số, nên chưa xếp loại được."
Lúc xảy ra, lúc không chính là dấu hiệu của biến cố ngẫu nhiên; không cần đếm bên nào nhiều hơn.
Dạng 2. Liệt kê và đếm kết quả Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hỏi "có bao nhiêu kết quả có thể".
- Hỏi các kết quả làm cho biến cố xảy ra (viết tập hợp, hoặc đếm).
- Biến cố dùng từ của số học: số nguyên tố, ước, bội, số chính phương.
Hướng làm
- Bước 1
Viết các kết quả có thể theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
- Bước 2
Đi qua từng kết quả, giữ lại những kết quả đúng với điều biến cố nói.
- Bước 3
Đếm.
Soát lại hai đầu: số 1 và số lớn nhất hay bị sót hoặc lấy nhầm.
Ví dụ 2
Một hộp có 12 thẻ ghi các số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Viết tập hợp các kết quả làm cho mỗi biến cố sau xảy ra:
\(A\): "Số trên thẻ là bội của 4".
\(B\): "Số trên thẻ là số nguyên tố".
\(C\): "Số trên thẻ là số chính phương".
Lời giải:
Biến cố A. Các bội của 4 từ 1 đến 12 là \(\{4; 8; 12\}\): có 3 kết quả.
Biến cố B. Các số nguyên tố từ 1 đến 12 là \(\{2; 3; 5; 7; 11\}\): có 5 kết quả.
Biến cố C. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
Từ 1 đến 12 có \(\{1; 4; 9\}\): có 3 kết quả.
Đáp số: \(A\): 3 kết quả; \(B\): 5 kết quả; \(C\): 3 kết quả
Tính 1 là số nguyên tố, hoặc tính 9 là số nguyên tố "vì là số lẻ": đếm \(B\) thành 6 hay 7 kết quả.
1 không phải số nguyên tố; \(9 = 3 \cdot 3\) là hợp số. \(B\) có đúng 5 kết quả: \(2; 3; 5; 7; 11\).
Dạng 3. Biến cố xảy ra hay không xảy ra Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề cho sẵn kết quả ("gieo được mặt 4 chấm", "quay được số 6").
- Hỏi biến cố nào xảy ra, biến cố nào không xảy ra.
- Biến cố có "lớn hơn", "nhỏ hơn": không tính trường hợp bằng.
Hướng làm
- Bước 1
Ghi lại kết quả đề cho.
- Bước 2
Thay kết quả đó vào câu của từng biến cố: câu đúng thì biến cố xảy ra, câu sai thì không xảy ra.
Ví dụ 3
Một vòng quay chia thành 8 ô bằng nhau ghi các số từ 1 đến 8. Bạn Bình quay và kim chỉ vào số 6. Biến cố nào sau đây xảy ra?
\(A\): "Kim chỉ vào số chẵn".
\(B\): "Kim chỉ vào số nguyên tố".
\(C\): "Kim chỉ vào bội của 3".
\(D\): "Kim chỉ vào số lớn hơn 6".
Lời giải:
Biến cố A. 6 là số chẵn: xảy ra.
Biến cố B. \(6 = 2 \cdot 3\) không phải số nguyên tố: không xảy ra.
Biến cố C. 6 chia hết cho 3: xảy ra.
Biến cố D. 6 không lớn hơn 6: không xảy ra.
Đáp số: \(A\) và \(C\) xảy ra; \(B\) và \(D\) không xảy ra
"Quay được 6 nên biến cố 'số lớn hơn 6' xảy ra."
"Lớn hơn 6" là 7 hoặc 8. Số 6 chỉ làm xảy ra biến cố "số không nhỏ hơn 6" (tức là 6, 7 hoặc 8).
Dạng 4. Biến cố khi có hai lần chọn Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai con xúc xắc, hai đồng xu, hai hộp thẻ, hoặc rút hai lần.
- Biến cố nói về tổng, tích, hiệu của hai số.
- Có cụm "ít nhất một".
Hướng làm
- Bước 1
Lập bảng: hàng là lựa chọn thứ nhất, cột là lựa chọn thứ hai.
Mỗi ô là một kết quả.
- Bước 2
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tổng (hoặc tích).
Biến cố đòi giá trị nằm ngoài khoảng đó là biến cố không thể.
- Bước 3
Biến cố đúng ở mọi ô là chắc chắn
Đúng ở một số ô là ngẫu nhiên.
Ví dụ 4
a) Có hai hộp, mỗi hộp đựng bốn thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4. Rút ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi hộp. Xếp loại các biến cố: \(A\): "Tổng hai số lớn hơn 1"; \(B\): "Tổng hai số bằng 5"; \(C\): "Tổng hai số bằng 9".
b) Tung hai đồng xu. Xếp loại các biến cố: \(M\): "Hai đồng xu ra cùng một mặt"; \(N\): "Số mặt sấp nhỏ hơn 3"; \(P\): "Có ít nhất một mặt ngửa".
Lời giải:
a) Lập bảng (Hình 3).
Có \(4 \cdot 4 = 16\) kết quả.
Tổng nhỏ nhất là \(1 + 1 = 2\)
Tổng lớn nhất là \(4 + 4 = 8\).
Biến cố A. Mọi tổng đều từ 2 trở lên nên đều lớn hơn 1: biến cố chắc chắn.
Biến cố B. Tổng bằng 5 ở bốn ô (1 và 4, 2 và 3, 3 và 2, 4 và 1), các ô khác thì không: biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố C. Tổng lớn nhất chỉ là 8, không thể bằng 9: biến cố không thể.
b) Liệt kê. Kí hiệu S là sấp, N là ngửa.
Bốn kết quả có thể là SS, SN, NS, NN.
Biến cố M. Xảy ra ở SS và NN, không xảy ra ở SN và NS: biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố N. Số mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, luôn nhỏ hơn 3: biến cố chắc chắn.
Biến cố P. Xảy ra ở SN, NS, NN (có một hoặc hai mặt ngửa), chỉ không xảy ra ở SS: biến cố ngẫu nhiên.
Đáp số: a) \(A\) chắc chắn, \(B\) ngẫu nhiên, \(C\) không thể; b) \(M\), \(P\) ngẫu nhiên, \(N\) chắc chắn
Câu b: "Tung hai đồng xu chỉ có 3 kết quả: hai sấp, hai ngửa, một sấp một ngửa."
Hai đồng xu là hai vật khác nhau: SN (đồng thứ nhất sấp) và NS (đồng thứ hai sấp) là hai kết quả. Tất cả có 4 kết quả.
Dạng 5. Tìm điều kiện để biến cố là chắc chắn, không thể Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hỏi "lấy ít nhất bao nhiêu" để một biến cố là chắc chắn.
- Trong đề có một số chưa biết (số thẻ \(n\), số bi lấy ra), hỏi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nó.
Hướng làm
- Bước 1
Nghĩ tới trường hợp xấu nhất: kết quả "đen đủi" nhất, cố tình né điều mình muốn.
- Bước 2
Biến cố là chắc chắn khi ngay cả trường hợp xấu nhất nó vẫn xảy ra.
- Bước 3
Kiểm tra số nhỏ hơn một đơn vị: phải chỉ ra được một kết quả mà biến cố không xảy ra.
Ví dụ 5
a) Một hộp có 4 bi đỏ và 2 bi xanh cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc một số viên bi. Phải lấy ít nhất bao nhiêu viên để biến cố "Có ít nhất một bi đỏ" là biến cố chắc chắn?
b) Cũng hộp đó, phải lấy ít nhất bao nhiêu viên để "Có ít nhất một bi xanh" là biến cố chắc chắn?
c) Một hộp có \(n\) thẻ ghi các số từ 1 đến \(n\). Rút ngẫu nhiên một thẻ. Tìm \(n\) lớn nhất để "Số trên thẻ nhỏ hơn 10" là biến cố chắc chắn.
Lời giải:
a) Trường hợp xấu nhất (Hình 4): lấy trúng cả 2 bi xanh trước.
Lấy 2 viên thì có thể toàn bi xanh, chưa chắc có bi đỏ.
Lấy 3 viên thì bi xanh chỉ có 2, nên phải có ít nhất một bi đỏ.
Cần lấy ít nhất 3 viên.
b) Trường hợp xấu nhất: lấy trúng cả 4 bi đỏ trước.
Lấy 4 viên có thể toàn đỏ.
Lấy 5 viên thì phải có bi xanh.
Cần lấy ít nhất 5 viên.
c) Thẻ lớn nhất quyết định: biến cố chắc chắn khi mọi thẻ đều ghi số nhỏ hơn 10, tức là thẻ lớn nhất \(n\) nhỏ hơn 10.
Vậy \(n\) lớn nhất là 9 (với \(n = 10\), rút trúng thẻ 10 thì biến cố không xảy ra).
Đáp số: a) 3 viên; b) 5 viên; c) \(n = 9\)
Câu a: "Bi đỏ có 4 viên nên phải lấy 4 viên mới chắc chắn có bi đỏ."
Số cần lấy phụ thuộc vào số bi không mong muốn: có 2 bi xanh nên lấy \(2 + 1 = 3\) viên là đủ.
Dạng 6. Biến cố gắn với số học Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Chọn một số trong một dãy số dài (các số có hai chữ số): không liệt kê hết được, phải đếm bằng quy luật.
- Biến cố nói về tổng các chữ số, số chính phương, chia hết.
- Hỏi "trong một nhóm, có hai người cùng …" là biến cố loại nào.
Hướng làm
- Bước 1
Đếm số kết quả có thể bằng quy luật (số các số có hai chữ số là \(99 - 9 = 90\)).
- Bước 2
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đại lượng trong biến cố để loại nhanh biến cố không thể, nhận ra biến cố chắc chắn.
- Bước 3
Bài "có hai … cùng …": đếm số loại.
Số vật nhiều hơn số loại thì chắc chắn có hai vật cùng loại.
Ví dụ 6
a) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xếp loại các biến cố: \(A\): "Số được chọn chia hết cho 101"; \(B\): "Tổng hai chữ số nhỏ hơn 19"; \(C\): "Số được chọn có hai chữ số giống nhau".
b) Chọn ngẫu nhiên 8 người. Biến cố "Có hai người sinh cùng một thứ trong tuần" là biến cố loại nào?
Lời giải:
a) Các kết quả có thể: các số từ 10 đến 99, có 90 số.
Biến cố A. Số chia hết cho 101 nhỏ nhất (khác 0) là 101, lớn hơn 99: biến cố không thể.
Biến cố B. Tổng hai chữ số lớn nhất là \(9 + 9 = 18\)
Luôn nhỏ hơn 19: biến cố chắc chắn.
Biến cố C. Xảy ra với 9 số \(11; 22; \ldots; 99\), không xảy ra với các số còn lại: biến cố ngẫu nhiên.
b) Đếm số loại: một tuần có 7 thứ.
Nếu 8 người sinh vào các thứ đôi một khác nhau thì phải có 8 thứ khác nhau, vô lí.
Vậy luôn có hai người sinh cùng một thứ: biến cố chắc chắn.
Đáp số: a) \(A\) không thể, \(B\) chắc chắn, \(C\) ngẫu nhiên; b) chắc chắn
Câu b với 7 người: "7 người, 7 thứ nên chắc chắn mỗi người sinh một thứ khác nhau."
Với 7 người, có thể mỗi người một thứ, cũng có thể trùng nhau: "có hai người cùng thứ" là biến cố ngẫu nhiên. Phải từ 8 người trở lên mới chắc chắn.
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Hỏi chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên (Dạng 1) | Liệt kê kết quả, xét biến cố ở từng kết quả | Coi "dễ xảy ra" là chắc chắn |
| Hỏi số kết quả, tập hợp kết quả (Dạng 2) | Liệt kê theo thứ tự rồi đếm | Tính 1 là số nguyên tố; sót số ở hai đầu |
| Đề cho sẵn kết quả (Dạng 3) | Thay kết quả vào từng biến cố | "Lớn hơn" mà tính cả bằng |
| Hai xúc xắc, hai đồng xu, hai hộp (Dạng 4) | Lập bảng; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất | Coi SN và NS là một kết quả |
| "Lấy ít nhất bao nhiêu để chắc chắn" (Dạng 5) | Xét trường hợp xấu nhất rồi cộng 1 | Lấy theo số vật mong muốn |
| Dãy số dài; "có hai người cùng …" (Dạng 6) | Đếm bằng quy luật; so số vật với số loại | Số vật bằng số loại đã vội kết luận |