HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Nhận biết nhanh:
- Hỏi cạnh, góc tương ứng; viết kí hiệu: Dạng 1.
- Cho \(\triangle ABC = \triangle DEF\) và số liệu, tính cạnh, góc: Dạng 2.
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau từ các đoạn thẳng bằng nhau: Dạng 3.
- Chứng minh tia phân giác, hai góc bằng nhau: Dạng 4.
- Chứng minh vuông góc: Dạng 5.
- Dựng hình bằng compa; thẳng hàng; song song: Dạng 6.
Dạng 1. Đỉnh, cạnh, góc tương ứng Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Cạnh tương ứng với …"
- "góc tương ứng với …"
- "viết kí hiệu"
- "khẳng định nào sai"
Hướng làm
- Bước 1
Viết hai dãy đỉnh thẳng cột: M N P trên, H I K dưới.
- Bước 2
Cạnh: lấy hai đỉnh ở cùng hai cột.
Góc: lấy đỉnh cùng cột.
Ví dụ 1
Cho \(\triangle MNP = \triangle HIK\). Tìm cạnh tương ứng với NP và góc tương ứng với \(\widehat{P}\).
Lời giải:
Ghép theo vị trí: M ↔ H, N ↔ I, P ↔ K.
NP gồm đỉnh vị trí 2 và 3, nên tương ứng với IK
\(\widehat{P}\) ở vị trí 3, tương ứng với \(\widehat{K}\).
Đáp số: \(NP = IK\), \(\widehat{P} = \widehat{K}\)
Nhìn hình thấy "giống" mà ghép đỉnh theo vị trí trên hình vẽ.
Ghép theo thứ tự trong kí hiệu. Hình có thể bị xoay, lật (Hình 1 của Lý thuyết).
Dạng 2. Tính cạnh, góc của hai tam giác bằng nhau Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề cho hai tam giác bằng nhau \(\triangle ABC = \triangle DEF\) và vài số đo.
- Hỏi số đo khác hoặc chu vi.
Hướng làm
- Bước 1
Chuyển mọi số đo về cùng một tam giác nhờ các cặp tương ứng.
- Bước 2
Dùng tổng ba góc, chu vi, tỉ lệ để tính
Chuyển kết quả sang tam giác cần hỏi.
Ví dụ 2
Cho \(\triangle ABC = \triangle DEF\), \(\widehat{A} = 40^\circ\), \(\widehat{E} = 75^\circ\). Tính \(\widehat{F}\).
Lời giải:
\(\widehat{B} = \widehat{E} = 75^\circ\) (hai góc tương ứng).
\(\widehat{C} = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ\) (tổng ba góc của \(\triangle ABC\)).
\(\widehat{F} = \widehat{C} = 65^\circ\) (hai góc tương ứng).
Đáp số: \(\widehat{F} = 65^\circ\)
Ví dụ 3
Cho \(\triangle ABC = \triangle DEF\), chu vi \(\triangle ABC\) bằng 20 cm, \(AB = 6\) cm, \(EF = 8\) cm. Tính DF.
Lời giải:
\(BC = EF = 8\) cm (hai cạnh tương ứng).
\(AC = 20 - 6 - 8 = 6\) cm.
\(DF = AC = 6\) cm (hai cạnh tương ứng).
Đáp số: \(DF = 6\) cm
Cộng lẫn số đo của hai tam giác: \(\widehat{F} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{E}\) mà không giải thích.
Kết quả trùng nhưng phải chuyển \(\widehat{E}\) thành \(\widehat{B}\) trước rồi mới dùng tổng ba góc của \(\triangle ABC\). Mỗi bước một lý do.
Dạng 3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau (c.c.c) Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề cho nhiều đoạn thẳng bằng nhau, hỏi hai tam giác bằng nhau.
- Cần một cặp góc mà chưa có công cụ khác.
Hướng làm
- Bước 1
Tìm ba cặp cạnh: hai cặp từ giả thiết, cặp thứ ba thường là cạnh chung hoặc tính được (cộng, trừ đoạn thẳng, trung điểm).
- Bước 2
Trình bày theo mẫu ở mục 2 của Lý thuyết: xét hai tam giác, liệt kê ba cặp cạnh kèm lý do, kết luận kèm "(c.c.c)", đỉnh tương ứng cùng thứ tự.
Ví dụ 4
Tứ giác ABCD có \(AB = CD\), \(AD = CB\). Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle CDB\) và \(\widehat{ABD} = \widehat{CDB}\).
Lời giải:
Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle CDB\) có:
\(AB = CD\) (giả thiết)
\(AD = CB\) (giả thiết)
BD là cạnh chung.
Do đó \(\triangle ABD = \triangle CDB\) (c.c.c).
Suy ra \(\widehat{ABD} = \widehat{CDB}\) (hai góc tương ứng).
Kết luận: \(\triangle ABD = \triangle CDB\) (c.c.c), \(\widehat{ABD} = \widehat{CDB}\)
Viết \(\triangle ABD = \triangle CBD\).
A ứng với C, nhưng B ứng với D (vì \(AB = CD\)) và D ứng với B: \(\triangle ABD = \triangle CDB\).
Dạng 4. Suy ra hai góc bằng nhau, tia phân giác Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Chứng minh AM là tia phân giác"
- "chứng minh \(\widehat{EAB} = \widehat{DAC}\)".
Hướng làm
- Bước 1
Chọn hai tam giác, mỗi tam giác chứa một trong hai góc cần chứng minh bằng nhau.
- Bước 2
Chứng minh hai tam giác bằng nhau (c.c.c), suy ra hai góc tương ứng.
Ví dụ 5
Cho \(\triangle ABC\) có \(AB = AC\), \(\widehat{BAC} = 70^\circ\). Điểm M nằm trong tam giác sao cho \(MB = MC\). Chứng minh AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) và tính \(\widehat{BAM}\).
Lời giải:
Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle AMC\) có:
\(AB = AC\) (giả thiết)
\(MB = MC\) (giả thiết)
AM là cạnh chung.
Do đó \(\triangle AMB = \triangle AMC\) (c.c.c), suy ra \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng).
Tia AM nằm giữa AB, AC nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
\(\widehat{BAM} = 70^\circ : 2 = 35^\circ\).
Đáp số: AM là tia phân giác, \(\widehat{BAM} = 35^\circ\)
Kết luận "AM là tia phân giác" chỉ từ \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) mà M nằm ngoài góc BAC.
Tia phân giác phải nằm giữa hai cạnh của góc. Đề cho M nằm trong tam giác nên tia AM nằm giữa AB, AC.
Dạng 5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- "Chứng minh \(AM \perp BC\)", "\(MN \perp BC\)".
- Thường có trung điểm và hai đoạn bằng nhau.
Hướng làm
- Bước 1
Tìm hai góc kề bù tại chân đường cần chứng minh (\(\widehat{AMB}\), \(\widehat{AMC}\)).
- Bước 2
Chứng minh chúng bằng nhau (qua hai tam giác bằng nhau)
Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc \(90^\circ\).
Ví dụ 6
Cho \(\triangle ABC\) có \(AB = AC\), M là trung điểm của BC. Chứng minh \(AM \perp BC\).
Lời giải:
Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle AMC\) có:
\(AB = AC\) (giả thiết)
\(MB = MC\) (M là trung điểm BC)
AM là cạnh chung.
Do đó \(\triangle AMB = \triangle AMC\) (c.c.c), suy ra \(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ\) (kề bù), nên \(\widehat{AMB} = 90^\circ\)
\(AM \perp BC\).
Kết luận: \(AM \perp BC\)
"\(\widehat{AMB} = \widehat{AMC}\) nên \(AM \perp BC\)."
Phải thêm ý "hai góc kề bù" để ra \(180^\circ : 2 = 90^\circ\). Thiếu ý này là thiếu lý do.
Dạng 6. Dựng tia phân giác; thẳng hàng; song song Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Đề có đường tròn, cung tròn cùng bán kính (compa).
- Hỏi ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song.
Hướng làm
- Bước 1
Đổi "cùng bán kính" thành các đoạn thẳng bằng nhau, rồi dùng c.c.c.
- Bước 2
Thẳng hàng: hai tia cùng là tia phân giác của một góc thì trùng nhau.
Song song: cặp góc tương ứng nằm ở vị trí so le trong.
Ví dụ 7
Cho góc xOy. Lấy A trên Ox, B trên Oy với \(OA = OB\). Vẽ hai cung tròn tâm A và tâm B cùng bán kính, cắt nhau tại M nằm trong góc. Chứng minh OM là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).
Lời giải:
Xét \(\triangle OMA\) và \(\triangle OMB\) có:
\(OA = OB\) (giả thiết)
\(MA = MB\) (cùng bằng bán kính)
OM là cạnh chung.
Do đó \(\triangle OMA = \triangle OMB\) (c.c.c), suy ra \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (hai góc tương ứng).
M nằm trong góc xOy nên OM là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).
Mở rộng: nếu hai cung còn cắt nhau tại N cũng nằm trong góc thì ON cũng là tia phân giác, nên OM và ON trùng nhau: O, M, N thẳng hàng (Bài 9 đề cương).
Kết luận: OM là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)
Ví dụ 4 có \(\widehat{ABD} = \widehat{CDB}\) rồi kết luận \(AD \parallel BC\).
\(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{CDB}\) là cặp so le trong của hai đường AB, CD (cát tuyến BD), nên \(AB \parallel CD\). Muốn \(AD \parallel BC\) cần cặp \(\widehat{ADB} = \widehat{CBD}\).
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Cần chứng minh | Cách làm |
|---|---|
| Hai tam giác bằng nhau | Đủ ba cặp cạnh (nhớ cạnh chung) |
| Hai góc bằng nhau, tia phân giác | Hai tam giác chứa hai góc đó bằng nhau |
| Vuông góc | Hai góc kề bù bằng nhau |
| Thẳng hàng | Hai tia cùng là tia phân giác của một góc |
| Song song | Góc tương ứng ở vị trí so le trong |