Dạng Toán Tỷ Lệ Thuận - Tỷ Lệ Nghịch

1. Tỷ lệ thuận

Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ thuận nếu đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần.

Dấu hiệu: Nếu đề bài có các cụm như “mỗi cái”, “mỗi bạn”, “mỗi giờ”, “giá không đổi”, “mức làm như nhau” thì thường nghĩ đến tỉ lệ thuận.

Các dạng toán phổ biến:

Số hàng hóa và số tiền khi giá mỗi sản phẩm là không đổi
Số người và số lượng công việc khi năng suất mỗi người như nhau
Thời gian và quảng đường đi được khi vận tốc là không đổi

Ví dụ:

Một người đi xe đạp, mỗi giờ đi được 12 km. Hỏi 4 giờ đi được bao nhiêu ki-lô-mét?

“mỗi giờ” đi được như nhau là 12km
Thời gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đường cũng gấp lên bấy nhiêu lần

→ đó là tỉ lệ thuận

2. Tỷ lệ nghịch

Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ nghịch nếu đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia lại giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.

Dấu hiệu: Nếu đề bài có các cụm như “cùng một công việc”, “cùng một quãng đường”, “cùng một số gạo”, “cùng một lượng việc”,... thì thường nghĩ đến tỉ lệ nghịch.

Ngoài ra, với các bài toán chuyển động có các từ “sớm hơn”, “muộn hơn”, “tăng vận tốc”, “giảm thời gian” → thường liên quan vận tốc - thời gian là tỉ lệ nghịch

Các dạng toán phổ biến:

Số người và số ngày làm xong một công việc
Số người ăn và số ngày ăn hết mội lượng gạo cố định
Vận tốc và thời gian đi hết cùng một quảng đường

Ví dụ 1: 4 người làm xong một công việc trong 6 ngày. Hỏi 8 người làm cùng một công việc đó trong mấy ngày, biết sức làm mỗi người như nhau?

"cùng một công việc" → vẫn là cùng một công việc trước đó
Càng nhiều người làm thì thời gian hoàn thành càng nhanh → số người tăng lên thì số ngày phải giảm đi

→ đây là tỉ lệ nghịch

Ví dụ 2: Một xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/giờ trong 3 giờ. Nhưng để đến sớm hơn, xe đi với vận tốc 60 km/giờ. Hỏi xe đến sớm hơn bao nhiêu thời gian?

Quãng đường từ A đến B là không đổi
Vận tốc của xe tăng thì thời gian đi hết quảng đường sẽ giảm

→ đây là tỉ lệ nghịch

3. Tỷ lệ kép

Nếu một đại lượng tăng làm kết quả tăng, nhưng một đại lượng khác tăng lại làm kết quả giảm, trường hợp một đại lượng cần tìm chịu tác động đồng thời của cả quan hệ tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Đây thường được gọi là dạng phối hợp nhiều đại lượng hoặc tỉ lệ kép.

Ví dụ: 3 máy bơm làm việc trong 2 giờ bơm được 1 200 lít nước. Hỏi 5 máy bơm như thế làm việc trong 6 giờ bơm được bao nhiêu lít nước?

Số máy bơm thay đổi từ 3 thành 5 máy
Số giờ thay đổi từ 2 thành 6 giờ
Số máy tăng, lượng nước bơm được sẽ tăng theo, thời gian bơm càng tăng lâu thì lượng nước cũng càng tăng theo →Lượng nước thay đổi theo cả hai yếu tố

→ đó là tỉ lệ kép

4. Phương pháp giải cơ bản

4.1. Quy trình 4 bước chung

Bước 1: Đọc kĩ đề, gạch chân những đại lượng thay đổi và đại lượng giữ nguyên
Bước 2: Xác định quan hệ: tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch hay tỉ lệ kép
Bước 3: Chọn cách giải phù hợp: rút về đơn vị, dùng tỉ số hoặc sử dụng quy tắc tam suất.
Bước 4: Trình bày lời giải rõ ràng, kiểm tra lại đơn vị và kết quả.

4.2. Phương pháp rút về đơn vị

Đây là cách phổ biến nhất, ta đưa bài toán về giá trị của 1 đơn vị, sau đó từ 1 đơn vị suy ra giá trị cần tìm.

Bước 1: Tìm giá trị ứng với 1 đơn vị.
Bước 2: Từ 1 đơn vị suy ra giá trị cần tìm.
Phương pháp này rất phù hợp với bài toán tỉ lệ thuận và cũng dùng được cho nhiều bài toán tỉ lệ nghịch khi quy về “1 người”, “1 ngày”, “1 giờ”.

4.3. Phương pháp dùng tỉ số

Khi một đại lượng gấp hoặc giảm theo số lần rõ ràng, ta có thể lập tỉ số rồi suy ra ngay kết quả. Cách này ngắn gọn hơn nhưng đòi hỏi học sinh phải nhận ra đúng mối quan hệ.

Chú ý: Để ghi nhớ cách tính có thể ghi nhớ câu sau: "thuận nhân, nghịch chia"

Tỉ lệ thuận: đại lượng thứ nhất gấp mấy lần thì đại lượng thứ hai cũng gấp mấy lần. → thuận nhân
Tỉ lệ nghịch: đại lượng thứ nhất gấp mấy lần thì đại lượng thứ hai giảm bấy nhiêu lần. → nghịch chia

4.4. Phương pháp dùng quy tắc tam suất

Quy tắc tam suất (Rule of Three) là phương pháp giải toán tìm giá trị thứ tư khi biết ba giá trị khác trong mối quan hệ tỉ lệ. Tam suất thuận (nhân chéo chia ngang) áp dụng khi hai đại lượng tỉ lệ thuận, còn tam suất nghịch (nhân ngang chia dọc) dùng cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Quy tắc Tam suất thuận (tỉ lệ thuận): Dùng khi hai đại lượng tỉ lệ thuận (cùng tăng hoặc cùng giảm).

Công thức: Nhân chéo, Chia ngang

Quy tắc Tam suất nghịch (tỉ lệ nghịch): Dùng khi hai đại lượng tỉ lệ nghịch (cái này tăng thì cái kia giảm).

Công thức: Nhân ngang, Chia dọc

Ví dụ 1: Tỷ lệ thuận

4 mét vải may được 8 bộ quần áo. Hỏi 12 mét vải may được bao nhiêu bộ quần áo như thế?

Lời giải:

Cách 1: Rút về đơn vị

1 mét vải may được số bộ quần áo là: 8 : 4 = 2 (bộ)

12 mét vải may được số bộ quần áo là: 12 x 2 = 24 (bộ)

Cách 2: Dùng tỉ số

Số mét vải tăng lên số lần là: 12 : 4 = 3 (lần)

Số mét vải tăng lên bao nhiêu lần thì số bộ quần áo tăng lên bấy nhiêu lần

Số bộ quần áo may được là: 8 × 3 = 24 (bộ) (thuận nhân)

Cách 3: Quy tắc tam suất thuận (nhân chéo, chia ngang)

12 mét vải may được số bộ quần áo là: 12 × 8 : 4 = 24 (bộ)

Đáp số: 24 bộ quần áo

Ví dụ 2: Tỷ lệ nghịch

4 người làm xong một công việc trong 6 ngày. Hỏi 12 người làm xong công việc đó trong mấy ngày, biết sức làm mỗi người như nhau?

Lời giải:

Cách 1: Rút về đơn vị

1 người làm xong công việc đó trong số ngày là: 6 × 4 = 24 (ngày)

12 người làm xong công việc đó trong số ngày là: 24 : 12 = 2 (ngày)

Cách 2: Dùng tỉ số

Số người tăng lên số lần là: 12 : 4 = 3 (lần)

Vì số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên số ngày giảm đi 3 lần.

Số ngày 12 người làm là: 6 : 3 = 2 (ngày) (nghịch chia)

Cách 3: Quy tắc tam suất nghịch (nhân ngang, chia dọc)

12 người làm xong công việc trong số ngày là: 6 × 4 : 12 = 2 (ngày)

Đáp số: 2 ngày

Ví dụ 3: Tỷ lệ thuận

Một đơn vị vận tải đã huy động 8 xe để chở 480 tấn hàng trong thời gian quy định. Sau khi chở được 160 tấn thì đơn vị được giao nhiệm vụ chở thêm 640 tấn hàng nữa.

Hỏi đơn vị đó phải huy động thêm bao nhiêu xe để chở xong lô hàng trong thời gian quy định ? Biết rằng sức chở của mỗi xe là như nhau.

Lời giải:

Cách 1: Rút về đơn vị

Số hàng còn lại là : 480 - 160 = 320 (tấn)

Số hàng 1 xe phải chở là: 320 : 8 = 40 (tấn)

Số xe phải huy động thêm là: 640 : 40 = 16 (xe)

Cách 2: Dùng tỉ số

Số hàng còn lại là: 480 - 160 = 320 (tấn)

Số tấn hàng phải chở thêm gấp số tấn hàng còn lại là: 640 : 320 = 2 (lần)

Số xe cần huy động thêm là : 8 x 2 = 16 (xe) (thuận nhân)

Cách 3: Quy tắc tam suất thuận (nhân chéo, chia ngang)

Số hàng còn lại là : 480 - 160 = 320 (tấn)

Số xe cần huy động thêm là : 640 x 8 : 320 = 16 (xe)

Đáp số: 16 xe.

Ví dụ 4: Tỷ lệ nghịch

Một đội công nhân gồm 8 người được giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm.

Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mương được giao trong bào nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.

Lời giải:

Cách 1: Rút về đơn vị

Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là : 20 - 5 = 15 (ngày)

Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là : 8 + 16 = 24 (người)

Thời gian để 1 người làm xong công việc còn lại là : 15 x 8 = 120 (ngày):

Thời gian để đội công nhân đó sau khi được bổ sung thêm người làm xong công việc còn lại là : 120 : 24 = 5 (ngày)

Thời gian để cả đội công nhân hoàn thành toàn bộ công việc được giao là : 5 + 5 = 10 (ngày)

Cách 2: Dùng tỉ số

Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là : 20 - 5 = 15 (ngày)

Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là : 8 + 16 = 24 (người)

Số người của đội đó sau khi được bổ sung gấp số người lúc đầu là : 24 : 8 = 3 (lần)

Thời gian để đội đó làm xong công việc còn lại là : 15 : 3 = 5 (ngày) (nghịch chia)

Thời gian để cả đội đó hoàn thành toàn bộ công việc được giao là : 5 + 5 = 10 (ngày)

Cách 3: Quy tắc tam suất nghịch (nhân ngang, chia dọc)

Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là: 20 - 5 = 15 (ngày)

Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là : 8 + 16 = 24 (người)

Thời gian để đội đó làm xong công việc còn lại là: 15 x 8 : 24 = 5 (ngày)

Thời gian để cả đội đó hoàn thành toàn bộ công việc được giao là : 5 + 5 =10 (ngày)

Đáp số : 10 ngày.

Ví dụ 5: Tỷ lệ kép (tỷ lệ thuận)

Một công ti thuê 24 xe vận chuyển than trên quãng đường 100km phải trả 64 000 000 đồng tiền cước phí vận chuyển.

Hỏi với cùng giá cước vận chuyển như trên, một đơn vị thuê 36 xe vận chuyển trên quãng đường dài 180km . thì phải trả bao nhiêu tiền cước phí vận chuyển?

Lời giải:

Ta có thể phân tích bài toán đã cho thành hai bài toán như sau :

Bài toán 1: 24 xe vận chuyển trên quãng đường 100km phải trả 64 000 000 đồng, 24 xe vận chuyển trên quãng đường 180km phải trả bao nhiêu đồng ?

→ quảng đường cao dài thì số tiền phải trả càng nhiều → đây là dạng toán Tỷ lệ thuận

→ giải ra ta được A đồng

Bài toán 2: 24 xe vận chuyển trên quãng đường 180km phải trả A đồng, 36 xe vận chuyển trên quãng đường 180km phải trả bao nhiêu đồng?

→ số xe càng nhiều thì số tiền phải trả càng nhiều → đây là dạng toán Tỷ lệ thuận

Từ phân tích trên, ta có thể giải bài toán áp dụng quy tắc tam suất thuận như sau:

Số tiền phải trả cho 24 xe vận chuyển trên quãng đường 180km là : 180 x 64 000 000 : 100 = 115 200 000 (đồng)

Số tiền phải trả cho 36 xe vận chuyển trên quãng đường 180km là : 36 x 115 200 000 : 24 = 172 800 000 (đồng).

Đáp số : 172 800 000 đồng.

Ví dụ 6: Ti lệ kép (tỷ lệ nghịch)

Một phân xưởng được giao kế hoạch sản xuất một lô hàng. Ban quản đốc phân xưởng tính rằng nếu huy động 12 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 50 sản phẩm thì sẽ hoàn thành kế hoạch trong 16 ngày.

Hỏi nếu huy động 15 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 80 sản phẩm thì phân xưởng đó sẽ hoàn thành kế hoạch được giao trong bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Ta có thể phân tích bài toán đã cho thành hai bài toán như sau :

Bài toán 1: 12 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 50 sản phẩm thì sẽ hoàn thành kế hoạch trong 16 ngày, 12 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 80 sản phẩm thì sẽ hoàn thành kế hoạch trong bao nhiêu ngày. ?

→ năng suất càng cao thì số ngày hoàn thành càng ít → đây là dạng toán Tỷ lệ nghịch

→ giải ra ta được A ngày

Bài toán 2: 12 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 80 sản phẩm thì sẽ hoàn thành kế hoạch trong A ngày, 15 công nhân, mỗi công nhân sản xuất một ngày được 80 sản phẩm thì sẽ hoàn thành kế hoạch trong bao nhiêu ngày?

→ số công nhân càng nhiều thì số ngày hoàn thành càng ít → đây là dạng toán Tỷ lệ nghịch

Từ phân tích trên, ta có thể giải bài toán áp dụng quy tắc tam suất nghịch như sau:

Nếu huy động 12 công nhân, mỗi ngày một người sản xuất được 80 sản phẩm thì phân xưởng đó hoàn thành kế hoạch trong thời gian là :16 x 50 : 80 = 10 (ngày)

Thời gian để 15 công nhân, mỗi người một ngày sản xuất được 80 sản phẩm làm xong lô hàng được giao là : 10 x 12 : 15 = 8 (ngày)

Đáp số: 8 ngày.

Ví dụ 7: Tỉ lệ kép (thuận - nghịch)

Một đơn vị bộ đội gồm 20 người được giao đắp một đoạn đường dài 800m trong 10 ngày. Trước khi khởi công, đơn vị được bổ sung thêm 30 người và được giao đắp thêm một đoạn đường dài 400m nữa.

Hỏi đơn vị đó sẽ hoàn thành kế hoạch trong bao nhiêu ngày ? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.

Lời giải:

Ta có thể phân tích bài toán đã cho thành hai bài toán như sau :

Số người sau khi bô sung thêm 30 người là: 20 + 30 = 50 (người)

Bài toán 1: 20 người được giao đắp một đoạn đường dài 800m trong 10 ngày, 50 người được giao đắp một đoạn đường dài 800m trong bao nhiêu ngày?

→ số người càng nhiều thì số ngày hoàn thành càng ít → đây là dạng toán Tỷ lệ nghịch

→ giải ra ta được A ngày

Chiều dài đoạn đường sau khi giao thêm 400m là: 800 + 400 = 1200 (m)

Bài toán 2: 50 người được giao đắp một đoạn đường dài 800m trong A ngày, 50 người được giao đắp một đoạn đường dài 1200m trong bao nhiêu ngày?

→ Đoạn đường càng dài thì số ngày hoàn thành càng nhiều → đây là dạng toán Tỷ lệ thuận

Từ phân tích trên, ta có thể giải bài toán áp dụng quy tắc tam suất nghịch và tam suất thuận như sau:

Tổng số người của đơn vị đó sau khi được bổ sung thêm là : 20 + 30 = 50 (người)

Chiều dài đoạn đường đơn vị đó được giao đắp là : 800 + 400 = 1200 (m)

Thời gian để 50 người đắp xong một đoạn đường dài 800m là : 10 x 20 : 50 = 4 (ngày)

Thời gian để 50 người đắp xong một đoạn đường dài 1200m là : 1200 x 4 : 800 = 6 (ngày)

Đáp số : 6 ngày.

Các bài toán chuyển động liên quan tới tỷ lệ

Trong bài toán chuyển động đều, khi quãng đường không đổi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, Từ đó, nhiều bài toán về tính quãng đường có thể chuyển về dạng “tìm hai số khi biết tổng và tỉ”, “hiệu và tỉ”, hoặc dựng sơ đồ để giải.

Trên cùng một quãng đường: vận tốc tăng bao nhiêu lần thì thời gian giảm bấy nhiêu lần.
Nếu đã biết chênh lệch thời gian, hãy chuyển tỉ số vận tốc sang tỉ số thời gian rồi dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Nếu bài toán có “sớm hơn”, “muộn hơn”, “tăng vận tốc”, “giảm thời gian”, hãy ưu tiên tìm mối quan hệ nghịch giữa vận tốc và thời gian.

Ví dụ 1: Dạng cùng một quãng đường, biết hai vận tốc và chênh lệch thời gian

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/giờ và đi từ B về A với vận tốc 60 km/giờ. Thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi 18 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Tỉ số vận tốc đi và về là: 50 : 60 = 5 : 6.

Vì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch nên tỉ số thời gian đi và về là: 6 : 5.

Hiệu số phần bằng nhau là: 6 - 5 = 1 (phần)

Giá trị 1 phần là: 18 : 1 = 18 (phút)

Thời gian lúc đi là: 18 × 6 = 108 (phút) = 1,8 giờ.

Quãng đường AB dài là: 50 × 1,8 = 90 (km).

Đáp số: 90 km

Ví dụ 2: Dạng biết thời gian dự định và thời gian thực tế

Bình thường anh Hùng đi xe máy từ A đến B mất 20 phút. Hôm nay cần đến sớm hơn 4 phút nên anh tăng vận tốc thêm 120 m mỗi phút. Tính quãng đường từ A đến B.

Lời giải:

Thời gian thực đi là: 20 – 4 = 16 (phút).

Tỉ số thời gian dự định và thời gian thực là: 20 : 16 = 5 : 4.

Vì quãng đường không đổi nên tỉ số vận tốc dự định và vận tốc thực là: 4 : 5.

Hiệu hai vận tốc là 120 m/phút ứng với 1 phần nên vận tốc dự định là: 120 × 4 = 480 (m/phút).

Quãng đường AB dài là: 480 × 20 = 9600 (m) = 9,6 km.

Đáp số: 9,6 km

Ví dụ 3: Dạng sớm hơn - muộn hơn so với thời gian dự định

Một người đi xe máy từ A đến B. Nếu đi với vận tốc 30 km/giờ thì đến sớm hơn 1 giờ so với dự định. Nếu đi với vận tốc 20 km/giờ thì đến muộn hơn 1 giờ. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Hai thời gian ứng với hai vận tốc chênh nhau: 1 + 1 = 2 (giờ).

Tỉ số vận tốc là: 30 : 20 = 3 : 2 nên tỉ số thời gian là: 2 : 3.

Hiệu số phần bằng nhau là 1 phần ứng với 2 giờ nên thời gian đi với vận tốc 30 km/giờ là: 2 × 2 = 4 (giờ).

Quãng đường AB dài là: 30 × 4 = 120 (km).

Đáp số: 120 km