EduLearnTìm 2 số khi biết 2 Tỉ số
“Tìm hai số khi biết hai tỉ số” là kiểu bài có hai thời điểm hoặc hai tình huống khác nhau. Ở mỗi thời điểm hoặc tình huống, hai đại lượng lại có một tỉ số mới. Nhiệm vụ của học sinh là dựa vào sự thay đổi đó để tìm ra từng số.
Ví dụ: Lúc đầu số bi của An và Bình có tỉ số là 2 : 5. Sau khi An được thêm 6 viên bi thì tỉ số số bi của An và Bình là 4 : 7. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
→ Đây là dạng “tìm hai số khi biết hai tỉ số”:
- Thời điểm 1: số bi An : số bi Bình = 2 : 5
- Thời điểm 2: sau khi An được thêm 6 viên, tỉ số mới là 4 : 7
Tức là cùng là hai đại lượng đó, nhưng ở hai tình huống khác nhau thì lại có hai tỉ số khác nhau.
Muốn giải được dạng này, học sinh phải trả lời 3 câu hỏi:
- Cái gì không thay đổi ?
- Cái gì thay đổi?
- Lượng thay đổi đó ứng với bao nhiêu phần ?
Ở ví dụ trên ta thấy:
- Số bi của Bình không thay đổi
- Số bi của An thay đổi tăng thêm 6 viên bi
- Ta cần so sánh số bi của An so với số bi của Bình
Dạng toán này có liên hệ chặt với kiến thức phân số: tìm phân số của một số, tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó, đổi tỉ số sang phân số và so sánh hai phân số trên cùng một mốc.
- Tìm phân số của một số: Muốn tìm phân số của một số, ta lấy số đó nhân với phân số.
- Ví dụ: \(\frac{3}{5}\) của 20 là: \(\frac{3}{5} \times 20 = 12\)
- Tìm một số khi biết giá trị một phân số của nó: lấy giá trị của một phân số đã biết chia cho phân số tương ứng
- Ví dụ: Tìm một số biết \(\frac{2}{5}\) của số đó bằng 20 → Số cần tìm là: \( 20 \div \frac{2}{5} = 20 \times \frac{5}{2} = 50\)
- Đổi tỉ số ra phân số: Nếu A : B = m : n thì \( A = \frac{m}{n} \times B\) hoặc \( A = \frac{m}{m + n} \times (A + B)\)
- Ví dụ: A : B : 4 : 5 → \( A = \frac{4}{5} \times B\) hoặc \( A = \frac{4}{4 + 5} \times (A + B) = \frac{4}{9} \times (A + B)\)
Cách giải tổng quát:
- Bước 1: Đọc đề và chỉ ra đại lượng nào không thay đổi, đại lượng nào thay đổi.
- Bước 2: Đổi tỉ số ở mỗi thời điểm về dạng phân số của cùng một mốc so sánh.
- Bước 3: Tìm xem lượng thay đổi thật ứng với bao nhiêu phần của mốc so sánh.
- Bước 4: Từ mốc so sánh suy ra hai số ban đầu hoặc hai số cần tìm.
Ví dụ:
Lúc đầu số bi của An và Bình có tỉ số là 2 : 5. Sau khi An được thêm 6 viên bi thì tỉ số số bi của An và Bình là 4 : 7. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Lời giải:
Bước 1: Đọc đề và chỉ ra đại lượng nào không thay đổi, đại lượng nào thay đổi.
- Số bi của Bình không thay đổi.
- Số bi của An thay đổi vì An được thêm 6 viên.
→ Vậy ta chọn số bi của Bình làm mốc so sánh.
Bước 2: Đổi tỉ số ở mỗi thời điểm về dạng phân số của cùng một mốc so sánh.
Ta đổi về “số bi của An bằng bao nhiêu phần số bi của Bình”.
Lúc đầu: Số bi của An : số bi của Bình = 2 : 5 nên số bi của An = \(\frac{2}{5}\) số bi của Bình
Sau khi thêm 6 viên cho An: số bi của An : số bi của Bình = 4 : 7 nên số bi của An = \(\frac{4}{7}\) số bi của Bình
Bước 3: Tìm xem lượng thay đổi thật ứng với bao nhiêu phần của mốc so sánh.
số bi của An tăng thêm 6 viên, nên phần chênh lệch giữa hai thời điểm chính là:
\(\frac{4}{7} - \frac{2}{5} = \frac{ 4 \times 5 - 2 \times 7}{7 \times 5} = \frac{6}{35}\) (số bi của Bình)
\(\frac{6}{35}\) số bi của Bình là 6 viên bi tăng thêm, vậy số bi của Bình là:
\( 6 \div \frac{6}{35} = 6 \times \frac{35}{6} = 35\) (viên bi)
Bước 4: Từ mốc so sánh suy ra hai số ban đầu hoặc hai số cần tìm.
Lúc đầu số bi của An bằng \(\frac{2}{5}\) số bi của Bình, nên số bi của An là:
\(\frac{2}{5} \times 35 = 14\) (viên bi)
Vậy lúc đầu:
- An có 14 viên bi
- Bình có 35 viên bi
Đáp số: An có 14 viên bi, Bình có 35 viên bi
Dạng 1: Tổng hai số không thay đổi
Dấu hiệu: Các bài toán có dạng như
- Chuyển từ A sang B cùng một lượng
- Thay một bạn nữ bằng một bạn nam
- Chuyển sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới
- Con vật từ bờ xuống ao, từ hộp này sang hộp kia...
Mốc so sánh: tổng của hai số. Tổng không đổi vì bớt ở số này bao nhiêu thì thêm vào số kia bấy nhiêu.
Cách giải: ở mỗi thời điểm, đổi tỉ số về “mỗi số chiếm bao nhiêu phần của cả tổng”, rồi lấy hiệu hai phân số ấy.
- Từ tỉ số ban đầu, tìm phân số của một số so với tổng.
- Từ tỉ số sau thay đổi, lại tìm phân số của chính số đó so với tổng.
- Lượng chênh lệch giữa hai phân số chính là số đơn vị được chuyển.
- Từ đó tìm tổng, rồi tìm từng số.
Ví dụ 1:
Một đàn vịt có số vịt dưới ao gấp 5 lần số vịt trên bờ. Sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao, số vịt dưới ao gấp 8 lần số vịt trên bờ. Hỏi cả đàn có bao nhiêu con vịt?
Lời giải:
Phân tích: 3 con vịt được chuyển từ trên bờ xuống ao nên tổng số vịt không đổi. Ta so sánh số vịt trên bờ với cả đàn ở hai thời điểm.
Lúc đầu, số vịt trên bờ bằng \(1 : (1 + 5) = \frac{1}{6}\) số vịt cả đàn
Sau khi thay đổi, số vịt trên bờ bằng \(1 : (1 + 8) = \frac{1}{9}\) số vịt cả đàn.
Vậy 3 con vịt ứng với: \(\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}\) số vịt cả đàn.
Số vịt cả đàn là: \(3 : \frac{1}{18} = 54\) (con).
Đáp số: 54 con vịt
Ví dụ 2:
Một đội tuyển có số bạn nữ bằng \(\frac{1}{4}\) số bạn nam. Sau đó thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số bạn nữ bằng \(\frac{1}{5}\) số bạn nam. Hỏi đội tuyển có bao nhiêu bạn?
Lời giải:
Phân tích: Thay 1 nữ bằng 1 nam làm số nữ và số nam thay đổi, nhưng tổng số học sinh của đội tuyển không đổi.
Ban đầu số bạn nữ chiếm 1 : (1 + 4) = \(\frac{1}{5}\) số học sinh cả đội.
Sau khi thay đổi, số bạn nữ chiếm 1 : (1 + 5) = \(\frac{1}{6}\) số học sinh cả đội.
1 bạn ứng với: \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}\) số học sinh cả đội.
Số học sinh của đội tuyển là: \(1 : \frac{1}{30} = 30\) (bạn).
Đáp số: 30 bạn
Dạng 2: Chỉ một số thay đổi, số kia không đổi
Dấu hiệu: các dạng toán như
- Thêm/bớt vào A, còn B giữ nguyên
- Một số bạn nam nghỉ, số nữ không đổi
- Thêm sách vào ngăn trên, ngăn dưới không đổi.
Mốc so sánh: số không đổi.
Cách giải: đổi số thay đổi ở hai thời điểm về phân số của số không đổi; phần chênh lệch ứng với lượng tăng hoặc giảm thực tế
Ví dụ 1:
Ban đầu số bạn nam bằng 2/3 số bạn nữ. Sau đó 1 bạn nam không tham gia nên số bạn nam bằng 1/2 số bạn nữ. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ?
Lời giải:
Phân tích: Số bạn nữ không đổi, nên lấy số bạn nữ làm mốc so sánh.
Lúc đầu số bạn nam bằng \(\frac{2}{3}\) số bạn nữ.
Sau đó số bạn nam bằng \(\frac{1}{2}\) số bạn nữ.
1 bạn nam ứng với: \( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) số bạn nữ.
Số bạn nữ là: \(1 : \frac{1}{6} = 6\) (bạn).
Số bạn nam lúc đầu là: \(6 \times \frac{1}{6} = 4\) (bạn).
Đáp số: 4 bạn nam và 6 bạn nữ
Ví dụ 2:
Một giá sách có hai ngăn. Số sách ngăn dưới bằng \(\frac{6}{5}\) số sách ngăn trên. Nếu xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dưới bằng \(\frac{12}{11}\) số sách ngăn trên. Tìm số sách lúc đầu ở mỗi ngăn.
Lời giải:
Phân tích: Ngăn dưới không đổi, còn ngăn trên tăng thêm 15 quyển. Vậy lấy ngăn dưới làm mốc so sánh.
Ban đầu tổng số sách so với ngăn dưới là: \(1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} \)(ngăn dưới).
Sau khi xếp thêm, tổng số sách so với ngăn dưới là: \(1 + \frac{11}{12} = \frac{23}{12}\) (ngăn dưới).
15 quyển ứng với: \( \frac{23}{12} - \frac{11}{6} = \frac{1}{12}\) số sách ngăn dưới.
Số sách ngăn dưới là: \(15 : \frac{1}{12} = 180\) (quyển).
Số sách ngăn trên lúc đầu là: \(180 \times \frac{5}{6} = 150\) (quyển).
Đáp số: Ngăn trên 150 quyển, ngăn dưới 180 quyển
Dạng 3: cùng thêm hoặc cùng bớt một lượng ở cả hai số
Dấu hiệu: thêm vào mỗi số một lượng như nhau; bớt ở mỗi số một lượng như nhau.
Mốc so sánh: hiệu hai số. Khi cùng thêm hoặc cùng bớt một lượng bằng nhau thì hiệu hai số không đổi.
Cách giải: đổi mỗi tỉ số về quan hệ với hiệu, rồi dùng lượng thêm hoặc bớt để tìm hiệu.
Ví dụ:
Hai số có tỉ số 2 : 5. Nếu cùng thêm vào mỗi số 12 đơn vị thì tỉ số mới là 4 : 7. Tìm hai số ban đầu.
Lời giải:
Phân tích: Cả hai số đều cùng tăng 12 nên hiệu không đổi. Ta lấy hiệu làm mốc so sánh.
Ban đầu hiệu số phần là: 5 - 2 = 3 (phần). Vậy số bé bằng \(\frac{2}{3}\) hiệu.
Sau khi thêm, hiệu số phần là: 7 - 4 = 3 (phần). Vậy số bé mới bằng \(\frac{4}{3}\) hiệu.
Phần chênh lệch giữa số bé mới và số bé ban đầu là: \(\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\) (hiệu)
Số bé tăng 12 đơn vị nên \(\frac{2}{3}\) hiệu sẽ bằng 12, vậy hiệu giữa 2 số sẽ là: \(12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = 18\)
Số bé ban đầu là: \(18 \times \frac{2}{3} = 12\)
Số lớn ban đầu là: 12 + 18 = 30.
Đáp số: 12 và 30
Dạng 4: Bài toán tính tuổi có hai tỉ số
Dấu hiệu: hiện nay, trước đây, sau này; bố - con, mẹ - con, anh - em; ở hai thời điểm tuổi có hai tỉ số khác nhau.
Mốc so sánh: hiệu số tuổi. Hiệu số tuổi luôn không đổi theo thời gian.
Cách giải: đổi tỉ số tuổi về phân số của hiệu số tuổi; phần chênh lệch giữa hai thời điểm ứng với số năm đã cho.
Ví dụ 1:
Hiện nay tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi bố gấp 13 lần tuổi con. Hỏi hiện nay bố và con bao nhiêu tuổi?
Lời giải:
Phân tích: Hiệu số tuổi của hai bố con không đổi nên lấy hiệu số tuổi làm mốc.
Hiện nay tuổi con bằng \(\frac{1}{4}\) tuổi bố nên con bằng 1 : (4 - 1) = \(\frac{1}{3}\) hiệu số tuổi.
Trước đây 6 năm tuổi con bằng \(\frac{1}{13}\) tuổi bố nên con khi đó bằng 1 : (13 - 1) = \(\frac{1}{12}\) hiệu số tuổi.
6 tuổi ứng với: \(\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\) hiệu số tuổi.
Hiệu số tuổi là: \(6 \div \frac{1}{4} = 24\) (tuổi).
Tuổi con hiện nay là: \(24 \times \frac{1}{3} = 8\) (tuổi).
Tuổi bố hiện nay là: 8 + 24 = 32 (tuổi).
Đáp số: Bố 32 tuổi, con 8 tuổi
Ví dụ 2:
Hiện nay tuổi con bằng \(\frac{1}{7}\) tuổi cha. Sau 15 năm, tuổi con bằng \(\frac{2}{5}\) tuổi cha. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?
Lời giải:
Phân tích: Hiệu số tuổi cha và con không đổi. Ta đổi tuổi con ở hai thời điểm về phân số của hiệu số tuổi
Hiện nay tuổi con bằng 1 : (7 - 1) = \(\frac{1}{6}\) hiệu số tuổi.
Sau 15 năm tuổi con bằng 2 : (5 - 2) = \(\frac{2}{3}\) hiệu số tuổi.
Ta có \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\).
Vậy tuổi con tăng từ \(\frac{1}{6}\) lên \(\frac{4}{6}\) của hiệu số tuổi, tức tăng \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \) hiệu số tuổi.
15 tuổi ứng với \(\frac{1}{2}\) hiệu số tuổi.
Hiệu số tuổi là: \(15 : \frac{1}{2} = 30\) (tuổi).
Tuổi con hiện nay là: \(30 \times \frac{1}{6} = 5\) (tuổi).
Đáp số: Con 5 tuổi