EduLearnToán Đếm Hình
Đếm số hình theo yêu cầu trong một hình bất kỳ.
Cách giải tổng quát:
- Bước 1: đánh số thứ tự các hình đơn chứa trong hình lớn nhất.
- Bước 2: đếm số hình đơn là hình theo đề yêu cầu (tam giác, hình vuông, hình thang,...) → số hình theo yêu cầu từ 1 hình đơn.
- Bước 3: Ghép các cặp 2 hình đơn lại với nhau, đếm số hình theo yêu cầu có thể tạo được từ các cặp 2 hình đơn → số hình theo yêu cầu từ 2 hình đơn.
- Bước 4: thực hiện tương tự việc ghép các hình đơn nhỏ lại với nhau, theo thứ tự 3 hình đơn, 4 hình đơn,… cho đến tất cả số hình đơn ghép với nhau.
- Bước 5: Ghi nhận số hình theo yêu cầu có thể tạo ra tại các trường hợp đó → số hình theo yêu cầu từ 3 hình đơn, số hình theo yêu cầu từ 4 hình đơn,....
- Bước 6: Tổng tất cả số hình theo yêu cầu trong tất cả các trường hợp từ hình đơn tới hình ghép ta được số hình theo yêu cầu cần tìm
Ví dụ:
Đếm số hình tam giác có trong hình sau:
Lời giải:
Bước 1: đánh số thứ tự các hình đơn chứa trong hình lớn nhất.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Bước 2: đếm số hình đơn là hình theo đề yêu cầu (tam giác, hình vuông, hình thang,...) → số hình theo yêu cầu từ 1 hình đơn.
Đề yêu cầu đếm số hình tam giác, từ các hình đơn như trên ta có
Hình tam giác từ các hình đơn là: 1; 2; 3; 4; 5 → có 5 hình tam giác
Bước 3: Ghép các cặp 2 hình đơn lại với nhau, đếm số hình theo yêu cầu có thể tạo được từ các cặp 2 hình đơn → số hình theo yêu cầu từ 2 hình đơn.
Hình tam giác được tạo bởi 2 hình đơn là: (1-3); (2-4); (3-5); (4-5) → có 4 hình tam giác
Bước 4&5:
Hình tam giác được tạo bởi 3 hình đơn là: (1-2-3); (1-2-4) → có 2 hình tam giác
Không có hình tam giác được tạo bởi 4 hình đơn → có 0 hình tam giác
Hình tam giác được tạo bởi 5 hình đơn là: (1-2-3-4-5) → có 1 hình tam giác
Vậy có tổng cộng: 5 + 4 + 2 + 0 + 1 = 12 (hình tam giác)
Đáp số: có 12 hình tam giác
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CÓ THỂ ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐỂ ĐẾM HÌNH
Đếm số hình tam giác có trong hình tam giác lớn, các tam giác nhỏ có chung đỉnh với nhau.
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Đánh số thứ tự các hình đơn, theo thứ tự từ trái qua phải, và lặp lại theo từng hàng riêng biệt
Bước 2: Tính tổng các số thứ thự của mỗi hàng
Bước 3: Tính tổng chung của tất cả các hàng ta được số hình tam giác cần tìm.
Ví dụ 1:
Đếm số hình tam giác có trong hình sau:
Lời giải:
Bước 1: Đánh số thứ tự các hình đơn, theo thứ tự từ trái qua phải, và lặp lại theo từng hàng riêng biệt
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Bước 2: Tính tổng các số thứ thự của mỗi hàng
Ta có tổng số thứ tự của hàng trong hình trên là: 1 + 2 + 3 = 6.
Bước 3: Tính tổng chung của tất cả các hàng ta được số hình tam giác cần tìm.
Ta có tổng tất cả số thứ tự là 6, vậy hình trên có 6 hình tam giác.
Đáp số: 6 hình tam giác
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Đánh số thứ tự các hình đơn:
Số hình tam giác từ các hình đơn là: 1 ; 2; 3 → có 3 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo từ 2 hình đơn là: (1-2); (2-3) → có 2 hình tam giác
Số hình tam giác tạo từ 3 hình đơn là: (1-2-3) → có 1 hình tam giác
Vậy có tổng cộng: 3 + 2 + 1 = 6 (hình tam giác)
Ví dụ 2:
Đếm số hình tam giác có trong hình sau:
Lời giải:
Đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Ta có tổng các số thứ tự của tất cả các hàng là: (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3) = 6 + 6 = 12.
Vậy hình trên có 12 hình tam giác.
Đáp số: 12 hình tam giác
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình tam giác từ các hình đơn là: 1; 2; 3 → có 3 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 2 hình đơn là: (1-2); (2-3); (1-4); (2-5); (3-6) → có 5 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 3 hình đơn là: (1-2-3) → có 1 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 4 hình đơn là: (1-2-4-5); (2-3-5-6) → có 2 hình tam giác.
Không có hình tam giác tạo bởi 5 hình đơn → có 0 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 6 hình đơn là: (1-2-3-4-5-6) → có 1 hình tam giác.
Vậy tổng cộng có: 3 + 5 + 1 + 2 + 0 + 1 = 12 (hình tam giác)
Đáp số: 12 hình tam giác
Ví dụ 3: (trường hợp đặc biệt của ví dụ 2, khi đường thằng cắt ngang đi qua 1 đỉnh của cạnh đáy)
Đếm số hình tam giác có trong hình sau:
Lời giải:
Đối với trường hợp này, đầu tiên ta vẫn tính số hình tam giác theo công thức của trường hợp đường cắt ngang không cắt cạnh đáy, ta đánh số thứ tự như sau
Ta có tổng các số thứ tự của tất cả các hàng là: (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3) = 6 + 6 = 12.
Tuy nhiên với trường hợp này, do đường cắt ngang đi qua 1 đỉnh nên sẽ tạo thêm 3 tam giác (xanh lá, đỏ, vàng) như hình sau:
Tổng sô hình tam giác của hình trên sẽ là: 12 + 3 = 15 (hình tam giác)
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình tam giác từ các hình đơn là: 1; 2; 3; 4 → có 4 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 2 hình đơn là: (1-2); (2-3); (1-4); (2-5); (3-6); (4-5) → có 6 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 3 hình đơn là: (1-2-3); (4-5-6) → có 2 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 4 hình đơn là: (1-2-4-5); (2-3-5-6) → có 2 hình tam giác.
Không có hình tam giác tạo bởi 5 hình đơn → có 0 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 6 hình đơn là: (1-2-3-4-5-6) → có 1 hình tam giác.
Vậy tổng cộng có: 4 + 6 + 2 + 2 + 0 + 1 = 15 (hình tam giác)
Đáp số: 15 hình tam giác
Ví dụ 4:
Đếm số hình tam giác có trong hình sau:
Lời giải:
Đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Ta có tổng các số thứ tự của tất cả các hàng là: (1 + 2) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 3 + 3 + 6 = 12.
Vậy hình trên có 12 hình tam giác.
Đáp số: 12 hình tam giác
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình tam giác từ các hình đơn là: 1; 2; 4 → có 3 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 2 hình đơn là: (1-2); (1-5); (2-3); (4-7) → có 4 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 3 hình đơn là: (2-3-4); (2-3-6) → có 2 hình tam giác.
Không có hình tam giác tạo bởi 4 hình đơn → có 0 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 5 hình đơn là: (1-2-3-5-6); (2-3-4-6-7) → có 2 hình tam giác.
Không có hình tam giác tạo bởi 6 hình đơn → có 0 hình tam giác.
Số hình tam giác tạo bởi 7 hình đơn là: (1-2-3-4-5-6-7) → có 1 hình tam giác.
Vậy tổng cộng có: 3 + 4 + 2 + 0 + 2 + 0 + 1 = 12 (hình tam giác)
Đáp số: 12 hình tam giác
Đếm số hình tam giác có lưới tam giác đều.
Vi dụ 2 lưới tam giác đều như sau:
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Đếm xem cạnh của tam giác lớn nhất được tạo nên từ cạnh của bao nhiêu tam giác nhỏ
- Hình 1: cạnh tam giác lớn được tạo từ 3 tam giác nhỏ
- Hình 2: cạnh tam giác lớn được tạo từ 4 tam giác nhỏ
Bước 2: Áp dụng công thức tính, với n là số tam giác nhỏ tạo thành cạnh tam giác lớn nhất.
- Nếu n là số lẻ
- Số hình tam giác = 1/8 x [n x (n + 2) x (2n + 1) - 1]
- Nếu n là số chẵn
- Số hình tam giác = 1/8 x n x (n + 2) x (2n + 1)
Bước 3: Kết quả của phép tính là số tam giác có trong lưới tam giác đều đã cho.
Ví dụ 1:
Có bao nhiêu hình tam giác trong hình sau:
Lời giải:
Ta thấy hình trên là lưới tam giác đều, có cạnh hình tam giác lớn nhất được tạo thành từ 3 cạnh hình tam giác nhỏ.
Áp dụng công thức tính số tam giác trong lưới tam giác đều ta có:
Số hình tam giác = 1/8 x [3 x (3 + 2) x (2 x 3 + 1) - 1]
= 1/8 x 104
= 13 (hình tam giác)
Đáp số: 13 hình tam giác.
Ví dụ 2:
Có bao nhiêu hình tam giác trong hình sau:
Lời giải:
Đáp số: 39 hình tam giác.
Đếm số hình vuông trong lưới các hình vuông nhỏ không bị khuyết
(các hình vuông nhỏ ghép lại thành hình vuông lớn hoặc hình chữ nhật lớn)
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Đánh số thứ tự từ dưới lên vào các hình vuông nhỏ của cột đầu tiên bên trái
Bước 2: Đánh số thứ tự từ trái qua phải vào các hình vuông nhỏ của hàng cuối cùng bên dưới.
Bước 3: Thực hiện nhân tuần tự các cặp số từ lớn nhất tới nhỏ nhất của cột và hàng với nhau.
- Trường hợp 1: số thứ tự của cột và hàng bằng nhau, cặp nhân cuối sẽ là : 1 x 1.
- Trường hợp 2: số thứ tự của cột ít hơn hàng, cặp nhân cuối sẽ là: 1 x (số lớn nhất của hàng - số lớn nhất của cột + 1)
- Trường hợp 3: số thứ tự của cột lớn hơn hàng, cặp nhân cuối sẽ là: (số lớn nhất của cột - số lớn nhất của hàng + 1) x 1
Bước 4: Cộng các kết quả của các cặp nhân lại với nhau, ta được tổng là số hình vuông cần tìm.
Ví dụ 1:
Đếm số hình vuông trrong hình sau:
Lời giải:
Bước 1 & 2: Đánh số thứ tự từ dưới lên vào các hình vuông nhỏ của cột đầu tiên bên trái, Đánh số thứ tự từ trái qua phải vào các hình vuông nhỏ của hàng cuối cùng bên dưới.
Ta đánh số thứ tự như hình sau:
Bước 3: Thực hiện nhân tuần tự các cặp số từ lớn nhất tới nhỏ nhất của cột và hàng với nhau.
Số thứ tự hàng và cột bằng nhau, nên ta có các cặp nhân như sau: 3 x 3, 2 x 2, 1 x 1
Bước 4: Cộng các kết quả của các cặp nhân lại với nhau, ta được tổng là số hình vuông cần tìm.
Tổng của các cặp nhân là: (3 x 3) + (2 x 2) + (1 x 1) = 9 + 4 + 1 = 14
Vậy có tất cả 14 hình vuông trong hình trên.
Đáp số: 14 hình vuông
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình đơn là hình vuông là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 → có 9 hình vuông
Không có hình vuông tạo bởi 2 và 3 hình đơn → có 0 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 4 hình đơn là: (1-2-4-5); (2-3-5-6); (4-5-7-8); (5-6-8-9) → có 4 hình vuông
Không có hình vuông tạo bởi 5; 6; 7; 8 hình đơn → có 0 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 9 hình đơn là: (1-2-3-4-5-6-7-8-9) → có 1 hình vuông
Vậy có tất cả: 9 + 0 + 4 + 0 + 1 = 14 (hình vuông)
Đáp số: 14 hình vuông
Ghi chú: chỉ có số lượng hình đơn như: 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16,... mới có thể ghép lại thành hình vuông mới.
Ví dụ 2:
Đếm số hình vuông trong hình sau:
Lời giải:
Ta đánh số thứ tự cho cột và hàng như sau:
Số thứ tự cột ít hơn hàng nên cặp nhân cuối sẽ là: 1 x (5 - 3 + 1) = 1 x 3
Tổng các cặp nhân là: (3 x 5) + (2 x 4) + (1 x 3) = 15 + 8 + 3 = 26
Vậy có tổng cộng 26 hình vuông trong hình trên
Đáp số: 26 hình vuông
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình đơn là hình vuông là: 1; 2; 3; 4; ...; 14; 15 → có 15 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 4 hình đơn là: (1-2-6-7); (2-3-7-8); (3-4-8-9); (4-5-9-10); (6-7-11-12); (7-8-12-13); (8-9-13-14); (9-10-14-15) → có 8 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 9 hình đơn là: (1-2-3-6-7-8-11-12-13); (2-3-4-7-8-9-12-13-14); (3-4-5-8-9-10-13-14-15) → có 3 hình vuông
Vậy có tất cả: 15 + 8 + 3 = 26 (hình vuông)
Đáp số: 26 hình vuông
Ví dụ 3:
Đếm số hình vuông trong hình sau:
Lời giải:
Ta đánh số thứ tự cột và hàng như sau:
Số thứ tự cột lớn hơn hàng, nên cặp nhân cuối sẽ là: (4 - 3 + 1) x 1 = 2 x 1
Tổng của các cặp nhân là: (4 x 3) + (3 x 2) + (2 x 1) = 12 + 6 + 2 = 20
Vậy có tổng cộng 20 hình vuông trong hình trên.
Đáp số: 20 hình vuông.
Kiểm tra: kiểm tra lại với cách giải tổng quát chung của toán đếm hình.
Ta đánh số thứ tự các hình đơn như sau:
Số hình đơn là hình vuông là: 1; 2; 3; 4; ...; 11; 12→ có 12 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 4 hình đơn là: (1-2-4-5); (2-3-5-6); (4-5-7-8); (5-6-8-9); (7-8-10-11); (8-9-11-12) → có 6 hình vuông
Số hình vuông tạo bởi 9 hình đơn là: (1-2-3-4-5-6-7-8-9); (4-5-6-7-8-9-10-11-12) → có 2 hình vuông
Vậy có tất cả: 12 + 6 + 2 = 20 (hình vuông)
Đáp số: 20 hình vuông
Đếm Hình Chữ Nhật
1. Đếm số hình chữ nhật trong lưới ô:
Với trường hợp lưới ô đầy đủ các hàng và cột, không khuyết ô nào thì ta có công thức tính số hình chữ nhật như sau:
Số hình chữ nhật = Tổng số thứ tự các hàng x Tổng số thứ tự các cột
2. Đếm số hình chữ nhật có chứa dấu *:
Để tạo thành một hình chữ nhật chứa dấu *, chúng ta phải chọn được 4 đường thẳng xung quanh dấu * (đường bên trái, đường bên phải, đường bên trên, đường bên dưới).
Công thức tính số hình chữ nhật chứa dấu * (trong trường hợp lưới ô đầy đủ, không khuyết ô nào):
Lần lượt đếm số đường thẳng 4 hướng xung quanh dấu * → sau đó nhân số lượng các đường thẳng với nhau.
Cách đếm:
Chú ý: Để tình các hình chữ nhật chứa 2, 3 dấu sao thì trước tiên ta cần xác định một hình chữ nhật nhỏ nhất có thể chứa đồng thời các dấu sao đó, sau đó áp dụng công thức tính số hình chữ nhật chứa hình chữ nhật nói trên.
