HomeStudyTrước khi bắt đầu
Mua càng nhiều vở thì trả càng nhiều tiền; đi càng lâu (với vận tốc không đổi) thì quãng đường càng dài. Bài này gọi tên chính xác cho kiểu "gấp bao nhiêu lần thì cùng gấp bấy nhiêu lần" đó: hai đại lượng tỉ lệ thuận. Học xong bài này, em làm được:
- Nhận ra hai đại lượng có tỉ lệ thuận hay không, từ công thức hoặc từ bảng giá trị.
- Tìm hệ số tỉ lệ, viết công thức liên hệ và tính giá trị tương ứng.
- Dùng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận để lập tỉ lệ thức.
- Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ thuận và bài toán chia một số thành các phần tỉ lệ thuận (luyện kĩ ở bài Các dạng bài và ví dụ).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Tỉ lệ thức Lớp 7 · Bài 20
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(a \cdot d = b \cdot c\). Biết ba số, tìm được số còn lại: \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{5}{3}\) thì \(x = \dfrac{6 \cdot 5}{3} = 10\).
2. Dãy tỉ số bằng nhau Lớp 7 · Bài 21
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{a - c}{b - d}\) (các mẫu khác 0). Ví dụ \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}\) và \(x + y = 20\) thì tỉ số chung là \(\dfrac{20}{5} = 4\), nên \(x = 8\), \(y = 12\).
3. Bài toán "rút về đơn vị" Lớp 5
Mua 4 cái bút hết 28 nghìn đồng. Một cái bút giá \(28 : 4 = 7\) nghìn đồng, nên 9 cái bút giá \(7 \cdot 9 = 63\) nghìn đồng. Số "7 nghìn đồng một cái" chính là thứ mà bài này gọi là hệ số tỉ lệ.
1Đại lượng tỉ lệ thuận Lớp 7
Định nghĩa
Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = ax\) thì ta nói \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).
- Điều kiện: \(a\) là một hằng số khác 0 (một số cố định, không đổi khi \(x\) thay đổi).
- Hệ số tỉ lệ có thể là số nguyên, phân số, số thập phân, cả số âm: \(y = -2x\), \(y = \dfrac{3}{4}x\) đều là tỉ lệ thuận.
- Cách nhận ra: \(y\) bằng một số cố định nhân với \(x\), không cộng thêm, không trừ bớt gì.
\(y = ax \quad (a \ne 0)\)
Đọc: y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a. Một số sách và đề cương viết hệ số tỉ lệ là k.
Tỉ lệ thuận: hiểu bảng giá vở từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Mỗi quyển vở giá 5 nghìn đồng.
Gọi \(x\) là số quyển vở, \(y\) là số tiền phải trả (nghìn đồng).
- Bước 2
Lập bảng. Mua 1, 2, 3, 4 quyển thì trả 5, 10, 15, 20 nghìn đồng: cột nào cũng lấy số quyển nhân với 5 (Hình 1).
- Bước 3
Viết thành công thức. \(y = 5x\).
Số 5 không đổi dù mua bao nhiêu quyển, nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ 5.
- Bước 4
Thử lại bằng tỉ số. \(5 : 1 = 10 : 2 = 15 : 3 = 20 : 4 = 5\).
Tỉ số \(y : x\) ở mọi cột đều bằng hệ số tỉ lệ ✓.
Chú ý: tỉ lệ thuận là quan hệ hai chiều
Nếu \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì \(x\) cũng tỉ lệ thuận với \(y\), theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{a}\). Vì thế ta nói gọn: "hai đại lượng \(x\) và \(y\) tỉ lệ thuận với nhau".
Vì sao?
Từ \(y = ax\) với \(a \ne 0\), chia hai vế cho \(a\) được \(x = \dfrac{1}{a} \cdot y\). Đây lại là công thức "một số cố định nhân với \(y\)". Điều kiện \(a \ne 0\) cần ở đúng chỗ này: không chia được cho 0.
- Ví dụ: \(y = 5x\) thì \(x = \dfrac{1}{5}y\). Số tiền tỉ lệ thuận với số quyển vở theo hệ số 5; số quyển vở tỉ lệ thuận với số tiền theo hệ số \(\dfrac{1}{5}\).
- Khi đọc đề: luôn hỏi "hệ số tỉ lệ của đại lượng nào đối với đại lượng nào?".
Ví dụ 1 (tự kiểm tra)
Một vòi nước chảy đều, mỗi phút được 12 lít. Gọi \(V\) (lít) là lượng nước chảy được sau \(t\) phút.
a) \(V\) có tỉ lệ thuận với \(t\) không? Hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
b) Sau 2,5 phút vòi chảy được bao nhiêu lít?
Lời giải:
a) Viết công thức: mỗi phút 12 lít nên \(V = 12t\).
Đây là dạng \(y = ax\) với \(a = 12\), nên \(V\) tỉ lệ thuận với \(t\) theo hệ số tỉ lệ 12.
b) Thay số: \(V = 12 \cdot 2{,}5 = 30\) (lít).
Đáp số: a) có, hệ số tỉ lệ 12; b) 30 lít
Phân biệt với "cùng tăng"
Hai đại lượng cùng tăng chưa chắc tỉ lệ thuận. Phải kiểm tra tỉ số hai giá trị tương ứng có không đổi hay không (Hình 2).
"\(y = x + 5\): \(x\) tăng thì \(y\) tăng, nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\)."
\(x = 1\) thì \(y = 6\), \(x = 2\) thì \(y = 7\): tỉ số \(6 : 1 = 6\) khác \(7 : 2 = 3{,}5\). Tỉ số thay đổi nên \(y\) không tỉ lệ thuận với \(x\).
"\(y = -2x\): \(x\) tăng thì \(y\) giảm, nên không phải tỉ lệ thuận."
\(y = -2x\) có dạng \(y = ax\) với \(a = -2 \ne 0\): \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(-2\). Với \(x = 1; 2; 3\) thì \(y = -2; -4; -6\), tỉ số \(y : x\) luôn bằng \(-2\).
Ghi nhớ
TỈ LỆ THUẬN ⇔ y = a · x ⇔ TỈ SỐ y : x KHÔNG ĐỔI
2Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận Lớp 7
Gọi \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) là các giá trị khác 0 của \(x\) và \(y_1, y_2, y_3, \ldots\) là các giá trị tương ứng của \(y\) (\(y_1\) là giá trị của \(y\) khi \(x = x_1\)).
Tính chất
Nếu hai đại lượng \(y\) và \(x\) tỉ lệ thuận với nhau thì:
- Tính chất 1: tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
- Tính chất 2: tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.
\(\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_3}{x_3} = \ldots = a\)
Tính chất 1: tỉ số trong mỗi cặp tương ứng đều bằng hệ số tỉ lệ.
\(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\)
Tính chất 2: chỉ số nào đi với chỉ số ấy, 1 ở trên thì 1 cũng ở trên.
Vì sao?
Từ \(y_1 = a x_1\) suy ra \(\dfrac{y_1}{x_1} = a\); tương tự \(\dfrac{y_2}{x_2} = a\). Hai tỉ số cùng bằng \(a\) nên bằng nhau: đó là tính chất 1. Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}\), đổi chỗ hai trung tỉ (Bài 20) được \(\dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{x_1}{x_2}\): đó là tính chất 2.
Nói bằng lời
\(x\) gấp lên bao nhiêu lần thì \(y\) cũng gấp lên bấy nhiêu lần (Hình 3).
Ví dụ 2
Cho \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi \(x_1 = 4\) thì \(y_1 = -6\). Tính \(y_2\) khi \(x_2 = -10\).
Lời giải:
Cách 1 – Tìm hệ số tỉ lệ: \(a = \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}\).
Khi đó \(y_2 = a \cdot x_2 = -\dfrac{3}{2} \cdot (-10) = 15\).
Cách 2 – Lập tỉ lệ thức (tính chất 2): \(\dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{x_2}{x_1}\).
Thay số: \(\dfrac{y_2}{-6} = \dfrac{-10}{4}\).
Suy ra \(y_2 = \dfrac{(-6) \cdot (-10)}{4} = 15\).
Kiểm tra lại: \(\dfrac{-6}{4} = \dfrac{15}{-10} = -\dfrac{3}{2}\) ✓.
Đáp số: \(y_2 = 15\)
Lập tỉ lệ thức "chéo": \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\), tức \(\dfrac{4}{-10} = \dfrac{y_2}{-6}\), ra \(y_2 = \dfrac{12}{5}\).
\(x_1\) ở tử thì \(y_1\) cũng ở tử: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\), ra \(y_2 = 15\). (Tỉ lệ thức "chéo" là của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, học ở Bài 23.)
Ghi nhớ
GIÁ TRỊ TƯƠNG ỨNG ĐI CÙNG NHAU: 1 TRÊN THÌ 1 TRÊN, 2 DƯỚI THÌ 2 DƯỚI
3Bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận Lớp 7
Hai loại bài toán
- Loại 1 – Hai đại lượng tỉ lệ thuận: biết một cặp giá trị tương ứng, tìm giá trị còn thiếu của cặp khác. Dấu hiệu: đề có ý "cùng loại", "đều", "không đổi" (cùng giá, cùng vận tốc, cùng chất liệu), nên đại lượng này gấp lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia gấp lên bấy nhiêu lần.
- Loại 2 – Chia một số thành các phần tỉ lệ thuận: chia số \(S\) thành ba phần \(x, y, z\) tỉ lệ thuận với \(a, b, c\) nghĩa là \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\) và \(x + y + z = S\). Giải bằng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (Bài 21).
- Trình bày: luôn viết câu "Vì … và … là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên …" trước khi lập tỉ lệ thức.
Ví dụ 3
Mua 3 kg táo hết 105 nghìn đồng. Hỏi mua 7 kg táo cùng loại hết bao nhiêu tiền?
Lời giải:
Gọi \(y\) (nghìn đồng) là số tiền mua 7 kg táo.
Vì táo cùng loại nên số tiền và khối lượng táo là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Cách 1 – Tìm hệ số tỉ lệ: giá 1 kg táo là \(105 : 3 = 35\) (nghìn đồng).
Mua 7 kg hết \(35 \cdot 7 = 245\) (nghìn đồng).
Cách 2 – Lập tỉ lệ thức: \(\dfrac{y}{105} = \dfrac{7}{3}\).
Suy ra \(y = \dfrac{105 \cdot 7}{3} = 245\).
Đáp số: 245 nghìn đồng
Ví dụ 4
Chia số 240 thành ba phần tỉ lệ thuận với 3; 4; 5.
Lời giải:
Gọi ba phần là \(x, y, z\).
Theo đề: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) và \(x + y + z = 240\).
Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{x + y + z}{3 + 4 + 5} = \dfrac{240}{12} = 20\).
Tìm từng phần: \(x = 3 \cdot 20 = 60\)
\(y = 4 \cdot 20 = 80\)
\(z = 5 \cdot 20 = 100\).
Kiểm tra lại: \(60 + 80 + 100 = 240\) ✓.
Đáp số: 60; 80; 100
Lấy tổng chia cho từng số tỉ lệ: phần thứ nhất \(= 240 : 3 = 80\).
Tổng 240 ứng với cả \(3 + 4 + 5 = 12\) phần bằng nhau. Một phần là \(240 : 12 = 20\), phần thứ nhất \(= 3 \cdot 20 = 60\).
Ghi nhớ
CHIA TỈ LỆ: TỔNG : TỔNG SỐ PHẦN → MỘT PHẦN → NHÂN LẠI
🔗 Liên hệ
"Hệ số tỉ lệ" chính là "giá trị một đơn vị" trong bài toán rút về đơn vị ở lớp 5; "chia tỉ lệ" chính là bài toán tổng – tỉ. Bài 23 sẽ học quan hệ ngược lại: đại lượng này gấp lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần (tỉ lệ nghịch). Đề kiểm tra học kì II thường có một bài toán thực tế về chia tỉ lệ.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) khi \(y = ax\), với \(a\) là hằng số khác 0 (có thể âm).
- Quan hệ hai chiều: khi đó \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{a}\).
- Tính chất 1: tỉ số hai giá trị tương ứng không đổi, \(\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = a\).
- Tính chất 2: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\) (chỉ số nào đi với chỉ số ấy).
- Cùng tăng chưa chắc tỉ lệ thuận: phải có tỉ số không đổi.
- Chia \(S\) thành các phần tỉ lệ thuận với \(a, b, c\): \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{S}{a + b + c}\).
Hệ số tỉ lệ có thể là số âm không?
Có. Định nghĩa chỉ cần \(a \ne 0\). Với \(y = -2x\), khi \(x\) tăng thì \(y\) giảm, nhưng tỉ số \(y : x\) vẫn luôn bằng \(-2\), nên \(y\) vẫn tỉ lệ thuận với \(x\). Trong bài toán thực tế (tiền, khối lượng, quãng đường) hệ số tỉ lệ thường dương.
Vì sao hệ số tỉ lệ phải khác 0?
Nếu \(a = 0\) thì \(y = 0 \cdot x = 0\) với mọi \(x\): \(y\) không còn phụ thuộc vào \(x\), và cũng không viết ngược lại được \(x = \dfrac{1}{a} y\) vì không chia được cho 0.
Tuổi của bố và tuổi của con cùng tăng mỗi năm, vậy có tỉ lệ thuận không?
Không. Giả sử bố hơn con 28 tuổi: con 2 tuổi thì bố 30 tuổi (tỉ số 15), con 4 tuổi thì bố 32 tuổi (tỉ số 8). Tỉ số thay đổi, nên hai đại lượng không tỉ lệ thuận. Tuổi bố bằng tuổi con cộng 28, không phải tuổi con nhân với một số cố định.