Đại lượng tỉ lệ thuận — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) So với dạng \(y = ax\): \(y = 3x\) (hệ số 3) và \(y = -\dfrac{x}{2} = -\dfrac{1}{2}x\) (hệ số \(-\dfrac{1}{2}\)) là tỉ lệ thuận.

Công thức \(y = \dfrac{3}{x}\) có \(x\) ở mẫu, \(y = x - 3\) có trừ bớt 3: không phải tỉ lệ thuận.

b) Tính tỉ số từng cột: \(\dfrac{6}{-2} = \dfrac{-3}{1} = \dfrac{-9}{3} = \dfrac{-12}{4} = -3\).

Mọi tỉ số bằng nhau nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\), và \(y = -3x\).

c) Tính tỉ số từng cột: \(\dfrac{4}{1} = 4\)

\(\dfrac{8}{2} = 4\)

\(\dfrac{10}{3}\) khác 4.

Có một cột khác nên hai đại lượng không tỉ lệ thuận.

d) Viết công thức: gọi \(s\) (km) là quãng đường đi trong \(t\) giờ thì \(s = 50t\).

Đây là dạng \(y = ax\) nên quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian, hệ số tỉ lệ 50.

Đáp số: a) \(y = 3x\) và \(y = -\dfrac{x}{2}\); b) có; c) không; d) có

Lời giải:

a) Hệ số tỉ lệ: \(a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).

Công thức: \(y = \dfrac{2}{3}x\).

b) Chiều ngược lại: \(x = \dfrac{3}{2}y\)

Nên hệ số tỉ lệ của \(x\) đối với \(y\) là \(\dfrac{3}{2}\) (số nghịch đảo của \(\dfrac{2}{3}\)).

c) Thay số: \(x = -9\) thì \(y = \dfrac{2}{3} \cdot (-9) = -6\).

Với \(y = 10\) thì \(x = 10 : \dfrac{2}{3} = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15\).

Kiểm tra lại: \(\dfrac{-6}{-9} = \dfrac{2}{3}\) ✓

\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\) ✓.

Đáp số: a) \(a = \dfrac{2}{3}\), \(y = \dfrac{2}{3}x\); b) \(\dfrac{3}{2}\); c) \(y = -6\); \(x = 15\)

Lời giải:

a) Tính chất 2: \(\dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{x_2}{x_1}\).

Thay số: \(\dfrac{y_2}{12} = \dfrac{5}{-3}\).

Suy ra \(y_2 = \dfrac{12 \cdot 5}{-3} = -20\).

Thử lại: \(\dfrac{12}{-3} = \dfrac{-20}{5} = -4\) ✓.

b) Tính chất 1: \(\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{4}{3}\).

Viết lại: \(\dfrac{x_1}{3} = \dfrac{y_1}{4}\).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x_1}{3} = \dfrac{y_1}{4} = \dfrac{x_1 + y_1}{3 + 4} = \dfrac{21}{7} = 3\).

Vậy \(x_1 = 9\)

\(y_1 = 12\).

Thử lại: \(9 + 12 = 21\) ✓

\(\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\) ✓.

c) Tính chất 2: \(\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}\)

Tức \(\dfrac{y_1}{2} = \dfrac{y_2}{7}\).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{y_1}{2} = \dfrac{y_2}{7} = \dfrac{y_2 - y_1}{7 - 2} = \dfrac{15}{5} = 3\).

Vậy \(y_1 = 6\)

\(y_2 = 21\).

Thử lại: \(21 - 6 = 15\) ✓.

d) Dãy tỉ số bằng nhau: \(a = \dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \dfrac{20}{5} = 4\).

Đáp số: a) \(y_2 = -20\); b) \(x_1 = 9\), \(y_1 = 12\); c) \(y_1 = 6\), \(y_2 = 21\); d) \(a = 4\)

Lời giải:

a) Lập tỉ lệ thức: gọi \(m\) (kg) là khối lượng của 18 lít dầu.

Dầu cùng loại nên khối lượng và thể tích là hai đại lượng tỉ lệ thuận: \(\dfrac{m}{4} = \dfrac{18}{5}\).

Suy ra \(m = \dfrac{4 \cdot 18}{5} = 14{,}4\) (kg).

Thử lại: \(4 : 5 = 0{,}8\) và \(14{,}4 : 18 = 0{,}8\) ✓.

b) Lập tỉ lệ thức: máy in đều nên số trang và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Gọi \(n\) là số trang in trong 14 phút: \(\dfrac{n}{180} = \dfrac{14}{8}\).

Suy ra \(n = \dfrac{180 \cdot 14}{8} = 315\) (trang).

c) Chiều ngược lại: gọi \(t\) (phút) là thời gian in 450 trang: \(\dfrac{t}{8} = \dfrac{450}{180}\).

Suy ra \(t = \dfrac{8 \cdot 450}{180} = 20\) (phút).

Thử lại: mỗi phút máy in \(180 : 8 = 22{,}5\) trang

\(22{,}5 \cdot 20 = 450\) ✓.

Đáp số: a) 14,4 kg; b) 315 trang; c) 20 phút

Lời giải:

a) Dãy tỉ số bằng nhau: gọi hai phần là \(x, y\).

Ta có \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{x + y}{2 + 5} = \dfrac{84}{7} = 12\).

Vậy \(x = 24\)

\(y = 60\).

Thử lại: \(24 + 60 = 84\) ✓.

b) Đổi về số nguyên: mẫu chung của 2, 3, 4 là 12.

Nhân cả ba số tỉ lệ với 12: \(\dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\)

\(\dfrac{1}{3} \cdot 12 = 4\)

\(\dfrac{1}{4} \cdot 12 = 3\).

Ba phần tỉ lệ thuận với \(6; 4; 3\) (Hình 4).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{x + y + z}{6 + 4 + 3} = \dfrac{130}{13} = 10\).

Vậy \(x = 60\)

\(y = 40\)

\(z = 30\).

Thử lại: \(60 + 40 + 30 = 130\) ✓

\(60 : \dfrac{1}{2} = 40 : \dfrac{1}{3} = 30 : \dfrac{1}{4} = 120\) ✓.

c) Trừ tử, trừ mẫu: gọi số bé là \(x\), số lớn là \(y\).

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{y - x}{7 - 3} = \dfrac{24}{4} = 6\).

Vậy \(x = 18\)

\(y = 42\).

Thử lại: \(42 - 18 = 24\) ✓.

Đáp số: a) 24 và 60; b) 60; 40; 30; c) 18 và 42

Lời giải:

Mỗi chuyến chở được: đội A chở \(8 \cdot 4 = 32\) (tấn)

Đội B chở \(6 \cdot 6 = 36\) (tấn).

Gọi \(a, b\) (tấn) là khối lượng đội A, đội B chở.

Vì số chuyến như nhau nên khối lượng mỗi đội chở tỉ lệ thuận với khối lượng chở trong một chuyến (Hình 5).

Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{32} = \dfrac{b}{36} = \dfrac{a + b}{32 + 36} = \dfrac{340}{68} = 5\).

Vậy \(a = 32 \cdot 5 = 160\)

\(b = 36 \cdot 5 = 180\).

Thử lại: \(160 + 180 = 340\) ✓.

Tỉ số chung 5 chính là số chuyến mỗi xe đã chạy.

Đáp số: đội A 160 tấn, đội B 180 tấn

Lời giải:

Viết công thức: \(z = 6y\) và \(y = \dfrac{1}{4}x\).

Thay vào nhau: \(z = 6 \cdot \dfrac{1}{4}x = \dfrac{3}{2}x\).

Vậy \(z\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{3}{2}\) (tích của hai hệ số).

Thay số: \(x = 8\) thì \(z = \dfrac{3}{2} \cdot 8 = 12\).

Kiểm tra lại: \(x = 8\) thì \(y = 2\)

Rồi \(z = 6 \cdot 2 = 12\) ✓.

Đáp số: có, hệ số tỉ lệ \(\dfrac{3}{2}\); \(z = 12\)

Lời giải:

Viết các chữ số theo tỉ số chung: gọi ba chữ số là \(a, b, c\) thì \(\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = k\)

Nên \(a = k\)

\(b = 2k\)

\(c = 3k\).

Giới hạn của chữ số: \(c = 3k\) không quá 9 và \(a = k\) khác 0, nên \(k\) chỉ có thể là \(1; 2; 3\).

Các số tương ứng là \(123; 246; 369\).

Xét chia hết cho 9: tổng các chữ số lần lượt là \(6; 12; 18\).

Chỉ có 18 chia hết cho 9.

Kiểm tra lại: \(369 : 9 = 41\) ✓.

Đáp số: 369