HomeStudyTrước khi bắt đầu
Cùng một công việc, càng đông người làm thì càng xong sớm; cùng một quãng đường, đi càng nhanh thì càng mất ít thời gian. Bài này gọi tên chính xác cho kiểu "đại lượng này gấp lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần": hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Học xong bài này, em làm được:
- Nhận ra hai đại lượng có tỉ lệ nghịch hay không, từ công thức hoặc từ bảng giá trị.
- Tìm hệ số tỉ lệ, viết công thức liên hệ và tính giá trị tương ứng.
- Dùng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch để lập đẳng thức, tỉ lệ thức.
- Giải bài toán thực tế về hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bài toán chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch (luyện kĩ ở bài Các dạng bài và ví dụ).
- Phân biệt tỉ lệ thuận với tỉ lệ nghịch.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Đại lượng tỉ lệ thuận Lớp 7 · Bài 22
\(y = ax\) (\(a \ne 0\)): tỉ số \(y : x\) không đổi. Ví dụ \(y = 3x\): khi \(x = 2\) thì \(y = 6\); \(x\) gấp lên bao nhiêu lần thì \(y\) gấp lên bấy nhiêu lần.
2. Dãy tỉ số bằng nhau Lớp 7 · Bài 21
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}\) và \(x + y = 20\) thì tỉ số chung là \(\dfrac{20}{5} = 4\), nên \(x = 8\), \(y = 12\).
3. Số nghịch đảo Lớp 6
Hai số có tích bằng 1 là hai số nghịch đảo của nhau: số nghịch đảo của 4 là \(\dfrac{1}{4}\); của \(\dfrac{2}{3}\) là \(\dfrac{3}{2}\). Số càng lớn thì số nghịch đảo càng nhỏ.
1Đại lượng tỉ lệ nghịch Lớp 7
Định nghĩa
Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).
- Điều kiện: \(a\) là một hằng số khác 0.
- Viết cách khác: \(y = \dfrac{a}{x}\) cũng chính là \(x \cdot y = a\): tích hai giá trị tương ứng không đổi.
- Hệ số tỉ lệ có thể âm: \(xy = -8\) vẫn là tỉ lệ nghịch.
\(y = \dfrac{a}{x} \quad \text{hay} \quad x \cdot y = a \quad (a \ne 0)\)
Đọc: y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
Tỉ lệ nghịch: hiểu bài toán chia bánh từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Có 12 cái bánh chia đều cho các bạn.
Gọi \(x\) là số bạn, \(y\) là số bánh mỗi bạn nhận.
- Bước 2
Lập bảng. Có 1, 2, 3, 4, 6 bạn thì mỗi bạn nhận 12, 6, 4, 3, 2 cái: số bạn càng nhiều, phần mỗi bạn càng ít (Hình 1).
- Bước 3
Viết thành công thức. \(y = \dfrac{12}{x}\).
Số 12 không đổi, nên \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ 12.
- Bước 4
Thử lại bằng tích. \(1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2 = 12\).
Tích \(x \cdot y\) ở mọi cột đều bằng hệ số tỉ lệ ✓.
Chú ý: hệ số tỉ lệ giữ nguyên ở chiều ngược lại
Nếu \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì \(x\) cũng tỉ lệ nghịch với \(y\), theo cùng hệ số tỉ lệ \(a\). Ta nói gọn: "hai đại lượng \(x\) và \(y\) tỉ lệ nghịch với nhau".
Vì sao?
Từ \(y = \dfrac{a}{x}\) suy ra \(x \cdot y = a\), rồi \(x = \dfrac{a}{y}\). Vai trò của \(x\) và \(y\) trong tích \(x \cdot y = a\) như nhau.
- Ví dụ: \(y = \dfrac{12}{x}\) thì \(x = \dfrac{12}{y}\): cả hai chiều đều có hệ số tỉ lệ 12.
- Khác với tỉ lệ thuận: ở tỉ lệ thuận, chiều ngược lại có hệ số \(\dfrac{1}{a}\); ở tỉ lệ nghịch, hệ số vẫn là \(a\).
Ví dụ 1 (tự kiểm tra)
Một người đi quãng đường dài 120 km với vận tốc không đổi \(v\) (km/h) hết \(t\) giờ.
a) \(t\) có tỉ lệ nghịch với \(v\) không? Hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
b) Đi với vận tốc 40 km/h thì hết bao nhiêu giờ?
Lời giải:
a) Viết công thức: quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian nên \(v \cdot t = 120\)
Hay \(t = \dfrac{120}{v}\).
Đây là dạng \(y = \dfrac{a}{x}\) với \(a = 120\), nên \(t\) tỉ lệ nghịch với \(v\) theo hệ số tỉ lệ 120.
b) Thay số: \(t = \dfrac{120}{40} = 3\) (giờ).
Đáp số: a) có, hệ số tỉ lệ 120; b) 3 giờ
Phân biệt với "một tăng, một giảm"
Đại lượng này tăng mà đại lượng kia giảm chưa chắc là tỉ lệ nghịch. Phải kiểm tra tích hai giá trị tương ứng có không đổi hay không (Hình 2).
"\(y = 10 - x\): \(x\) tăng thì \(y\) giảm, nên \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\)."
\(x = 1\) thì \(y = 9\), \(x = 2\) thì \(y = 8\): tích \(1 \cdot 9 = 9\) khác \(2 \cdot 8 = 16\). Tích thay đổi nên \(y\) không tỉ lệ nghịch với \(x\) (ở đây tổng \(x + y\) mới không đổi).
"\(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số 12 thì \(x\) tỉ lệ nghịch với \(y\) theo hệ số \(\dfrac{1}{12}\)" (làm như tỉ lệ thuận).
\(x \cdot y = 12\) nên \(x = \dfrac{12}{y}\): hệ số tỉ lệ vẫn là 12. Thử: \(y = 4\) thì \(x = \dfrac{12}{4} = 3\).
Ghi nhớ
TỈ LỆ NGHỊCH ⇔ y = a : x ⇔ TÍCH x · y KHÔNG ĐỔI
2Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch Lớp 7
Gọi \(x_1, x_2, x_3, \ldots\) là các giá trị khác 0 của \(x\) và \(y_1, y_2, y_3, \ldots\) là các giá trị tương ứng của \(y\).
Tính chất
Nếu hai đại lượng \(y\) và \(x\) tỉ lệ nghịch với nhau thì:
- Tính chất 1: tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
- Tính chất 2: tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.
\(x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = \ldots = a\)
Tính chất 1: tích trong mỗi cặp tương ứng đều bằng hệ số tỉ lệ.
\(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\)
Tính chất 2: chỉ số đảo chỗ, bên trái 1 ở trên thì bên phải 1 ở dưới.
Vì sao?
Từ \(y_1 = \dfrac{a}{x_1}\) suy ra \(x_1 y_1 = a\); tương tự \(x_2 y_2 = a\). Hai tích cùng bằng \(a\) nên bằng nhau: đó là tính chất 1. Từ đẳng thức \(x_1 y_1 = x_2 y_2\), lập tỉ lệ thức (Bài 20) được \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\): đó là tính chất 2.
Nói bằng lời
\(x\) gấp lên bao nhiêu lần thì \(y\) giảm đi bấy nhiêu lần (Hình 3).
Ví dụ 2
Cho \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi \(x_1 = 4\) thì \(y_1 = 9\). Tính \(y_2\) khi \(x_2 = -6\).
Lời giải:
Cách 1 – Tìm hệ số tỉ lệ: \(a = x_1 y_1 = 4 \cdot 9 = 36\).
Khi đó \(y_2 = \dfrac{a}{x_2} = \dfrac{36}{-6} = -6\).
Cách 2 – Dùng tính chất 1: \(x_2 y_2 = x_1 y_1\).
Thay số: \(-6 \cdot y_2 = 4 \cdot 9\).
Suy ra \(y_2 = \dfrac{36}{-6} = -6\).
Kiểm tra lại: \(4 \cdot 9 = 36\) và \(-6 \cdot (-6) = 36\) ✓.
Đáp số: \(y_2 = -6\)
Lập tỉ lệ thức như tỉ lệ thuận: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\), tức \(\dfrac{4}{-6} = \dfrac{9}{y_2}\), ra \(y_2 = -\dfrac{27}{2}\).
Tỉ lệ nghịch thì tỉ số đảo lại: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\), ra \(y_2 = -6\). Chắc nhất là viết tích: \(x_1 y_1 = x_2 y_2\).
Ghi nhớ
TỈ LỆ NGHỊCH: VIẾT TÍCH BẰNG TÍCH → x₁ · y₁ = x₂ · y₂
3Bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch Lớp 7
Hai loại bài toán
- Loại 1 – Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: có một đại lượng thứ ba không đổi và bằng tích của hai đại lượng kia. Cùng một công việc: số người × số ngày. Cùng một quãng đường: vận tốc × thời gian. Cùng một số tiền: giá × số lượng.
- Loại 2 – Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch: chia \(S\) thành \(x, y, z\) tỉ lệ nghịch với \(a, b, c\) nghĩa là \(ax = by = cz\) và \(x + y + z = S\).
- Cách đưa về dãy tỉ số: \(x, y, z\) tỉ lệ nghịch với \(a, b, c\) thì tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo \(\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}\).
- Trình bày: viết câu "Vì … và … là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên …" trước khi lập đẳng thức.
Vì sao lấy số nghịch đảo?
Chia cho \(\dfrac{1}{a}\) chính là nhân với \(a\), nên \(ax = by\) viết lại được thành \(x : \dfrac{1}{a} = y : \dfrac{1}{b}\). Tỉ số giữa mỗi phần và số nghịch đảo tương ứng bằng nhau: đó là tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo.
Ví dụ 3
Sáu người thợ (năng suất như nhau) làm xong một công việc trong 10 ngày. Hỏi 15 người thợ như thế làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày?
Lời giải:
Gọi \(x\) (ngày) là thời gian 15 người làm xong.
Cùng một công việc nên số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Tích bằng tích: \(15 \cdot x = 6 \cdot 10\).
Suy ra \(x = \dfrac{60}{15} = 4\).
Kiểm tra lại: số người gấp \(15 : 6 = 2{,}5\) lần thì số ngày giảm 2,5 lần: \(10 : 2{,}5 = 4\) ✓.
Đáp số: 4 ngày
Lập tỉ lệ thức như tỉ lệ thuận: \(\dfrac{x}{10} = \dfrac{15}{6}\), ra \(x = 25\) ngày (đông người hơn mà lại lâu hơn).
Tự hỏi trước: "thêm người thì số ngày tăng hay giảm?". Giảm, nên là tỉ lệ nghịch: \(15 \cdot x = 6 \cdot 10\), ra \(x = 4\) ngày.
Ví dụ 4
Chia số 310 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5.
Lời giải:
Gọi ba phần là \(x, y, z\).
Theo đề: \(2x = 3y = 5z\) và \(x + y + z = 310\).
Đổi về tỉ lệ thuận: ba phần tỉ lệ thuận với \(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{5}\).
Nhân cả ba số với 30 được \(15; 10; 6\).
Dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{z}{6} = \dfrac{x + y + z}{15 + 10 + 6} = \dfrac{310}{31} = 10\).
Tìm từng phần: \(x = 150\)
\(y = 100\)
\(z = 60\).
Kiểm tra lại: \(150 + 100 + 60 = 310\) ✓
\(2 \cdot 150 = 3 \cdot 100 = 5 \cdot 60 = 300\) ✓.
Đáp số: 150; 100; 60
"Tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5 thì tỉ lệ thuận với 5; 3; 2" (đảo thứ tự). Ra 155; 93; 62, nhưng \(2 \cdot 155 = 310\) khác \(3 \cdot 93 = 279\).
Lấy số nghịch đảo của từng số: \(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{5}\), rồi nhân với 30 được 15; 10; 6. (Đảo thứ tự chỉ tình cờ đúng khi có hai số.)
Đặt cạnh nhau: tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch
| Nội dung | Tỉ lệ thuận | Tỉ lệ nghịch |
|---|---|---|
| Công thức | \(y = ax\) | \(y = \dfrac{a}{x}\) |
| Cái không đổi | Tỉ số \(\dfrac{y}{x} = a\) | Tích \(x \cdot y = a\) |
| Hai cặp giá trị | \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}\) | \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\) |
| Chiều ngược lại | Hệ số \(\dfrac{1}{a}\) | Vẫn hệ số \(a\) |
| Nói bằng lời | Cùng gấp lên số lần | Bên này gấp lên, bên kia giảm đi cùng số lần |
| Ví dụ thực tế | Số tiền và số hàng (cùng giá) | Số người và số ngày (cùng công việc) |
Ghi nhớ
CHIA TỈ LỆ NGHỊCH: LẤY SỐ NGHỊCH ĐẢO → ĐỔI VỀ SỐ NGUYÊN → CHIA TỈ LỆ THUẬN
🔗 Liên hệ
Bài 22 và Bài 23 là hai mặt của cùng một câu hỏi: "khi đại lượng này thay đổi, đại lượng kia thay đổi thế nào?". Trước khi lập đẳng thức cho một bài toán thực tế, hãy trả lời câu hỏi đó. Đề kiểm tra học kì II thường có một bài toán thực tế về tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch (năng suất, vận tốc, chia phần).
Tổng kết
Điều cần nhớ
- \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) khi \(y = \dfrac{a}{x}\), tức \(x \cdot y = a\), với \(a\) là hằng số khác 0.
- Chiều ngược lại: \(x\) tỉ lệ nghịch với \(y\) theo cùng hệ số \(a\).
- Tính chất 1: tích hai giá trị tương ứng không đổi, \(x_1 y_1 = x_2 y_2 = a\).
- Tính chất 2: \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}\) (tỉ số đảo lại).
- Một tăng, một giảm chưa chắc tỉ lệ nghịch: phải có tích không đổi.
- Bài toán thực tế: tìm đại lượng không đổi bằng tích của hai đại lượng kia (công việc, quãng đường, số tiền).
- Chia tỉ lệ nghịch với \(a, b, c\) là chia tỉ lệ thuận với \(\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}\).
Làm sao biết một bài toán thực tế là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch?
Thử gấp đôi một đại lượng và nghĩ xem đại lượng kia thay đổi thế nào. Gấp đôi số vở thì tiền gấp đôi: tỉ lệ thuận. Gấp đôi số người thì số ngày giảm một nửa: tỉ lệ nghịch. Nếu không gấp đôi cũng không giảm một nửa (như tuổi bố và tuổi con) thì không thuộc loại nào.
Vì sao chia tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5 không phải là chia tỉ lệ thuận với 5; 3; 2?
Tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5 nghĩa là \(2x = 3y = 5z\). Thử bộ 155; 93; 62 (chia 310 theo 5; 3; 2): \(2 \cdot 155 = 310\) nhưng \(3 \cdot 93 = 279\), không bằng nhau. Phải lấy số nghịch đảo \(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{5}\), tức tỉ lệ 15; 10; 6.
Bài "số người và số ngày" có luôn là tỉ lệ nghịch không?
Chỉ khi cùng một khối lượng công việc và năng suất mỗi người như nhau. Đề thường ghi rõ hai điều này trong ngoặc. Nếu khối lượng công việc thay đổi thì phải xét lại.