HomeStudyTrước khi bắt đầu
Tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc bằng nhau (góc vuông), nên chỉ cần ít dữ kiện hơn để kết luận hai tam giác vuông bằng nhau. Bài này hệ thống bốn trường hợp của tam giác vuông và ứng dụng quan trọng nhất: điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Gọi đúng tên các cạnh của tam giác vuông: cạnh góc vuông, cạnh huyền.
- Nhận biết và dùng đủ bốn trường hợp: hai cạnh góc vuông; cạnh góc vuông – góc nhọn kề; cạnh huyền – góc nhọn; cạnh huyền – cạnh góc vuông.
- Bổ sung điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.
- Chứng minh điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh; các đường cao bằng nhau.
- Giải bài tam giác vuông cân có đường thẳng đi qua đỉnh góc vuông.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
Các điều dùng trong bài Lớp 7 · Bài 12–14
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau; ba trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g; hai góc cùng phụ với một góc thì bằng nhau.
1Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Lớp 7
Tên các cạnh
\(\triangle ABC\) vuông tại A: AB, AC là hai cạnh góc vuông; BC (đối diện góc vuông) là cạnh huyền, dài nhất trong ba cạnh.
Hai tam giác vuông bằng nhau nếu có
1. Hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau (đây là c.g.c, góc vuông xen giữa).
2. Một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy tương ứng bằng nhau (đây là g.c.g).
3. Cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
4. Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
Vì sao hai trường hợp có cạnh huyền là đủ: hiểu từng bước
- Bước 1
Cạnh huyền – góc nhọn. Biết \(\widehat{B}\) thì biết luôn \(\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B}\).
Cạnh huyền BC kề cả \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\), nên đây chính là g.c.g.
- Bước 2
Cạnh huyền – cạnh góc vuông: dựng hình. Vẽ cạnh góc vuông AB.
Góc A vuông nên C nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại A.
- Bước 3
Cung tròn chọn ra C. BC bằng cạnh huyền cho trước nên C nằm trên cung tròn tâm B.
Đường vuông góc và cung tròn gặp nhau tại C (phía trên) và C' (phía dưới, đối xứng, trùng khít) (Hình 2).
- Bước 4
Phân biệt với tam giác thường. Ở tam giác thường, "hai cạnh và góc không xen giữa" không đủ (Bài 14).
Ở đây góc đã cho là góc vuông, đối diện cạnh lớn nhất, nên không có vị trí thứ hai.
Hai tam giác vuông có hai góc nhọn tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Cần ít nhất một cặp cạnh. Tam giác vuông cạnh 3, 4 và tam giác vuông cạnh 6, 8 có cùng các góc nhưng không bằng nhau.
\(\triangle ABC\) vuông tại A, \(\triangle DEF\) vuông tại D có \(BC = DE\), \(AC = DF\) nên bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
DE là cạnh góc vuông, không phải cạnh huyền của \(\triangle DEF\) (cạnh huyền là EF). Phải so cạnh huyền với cạnh huyền.
Ghi nhớ
GÓC VUÔNG CÓ SẴN → CHỈ CẦN HAI YẾU TỐ · CÓ ÍT NHẤT MỘT CẶP CẠNH · HUYỀN SO VỚI HUYỀN
2Điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc Lớp 7
Tính chất
Điểm M nằm trên tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), \(MH \perp Ox\), \(MK \perp Oy\) thì \(MH = MK\).
Vì sao: \(\triangle OHM\) và \(\triangle OKM\) vuông tại H, K có cạnh huyền OM chung và \(\widehat{HOM} = \widehat{KOM}\), nên bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn) (Hình 3).
Chiều ngược lại Nâng cao
Điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh (\(MH = MK\)) thì M nằm trên tia phân giác: \(\triangle OHM = \triangle OKM\) (cạnh huyền OM chung, cạnh góc vuông \(MH = MK\)) nên \(\widehat{HOM} = \widehat{KOM}\).
Ngoài ra còn được \(OH = OK\) và \(\widehat{OMH} = \widehat{OMK}\): tia MO là tia phân giác của \(\widehat{HMK}\).
"Khoảng cách từ M đến Ox" là độ dài MA với A là điểm bất kì trên Ox.
Khoảng cách từ M đến Ox là độ dài đoạn vuông góc MH (H ∈ Ox, \(MH \perp Ox\)).
Ghi nhớ
TRÊN TIA PHÂN GIÁC ⇒ CÁCH ĐỀU HAI CẠNH · KHOẢNG CÁCH = ĐOẠN VUÔNG GÓC
🎯 Đề cương trường chuyên Trần Đại Nghĩa
TĐN dạy đủ bốn trường hợp và hay ra: điểm trên tia phân giác (Bài 19, 21), tam giác vuông cân với đường thẳng qua đỉnh góc vuông, \(DE = BD + CE\) (Bài 20), đường cao và tia đối xứng (Bài 22, 23). Khi viết lý do, ghi rõ tên trường hợp: "(cạnh huyền – góc nhọn)", "(cạnh huyền – cạnh góc vuông)".
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Cạnh huyền đối diện góc vuông và dài nhất.
- Bốn trường hợp: hai cạnh góc vuông; cạnh góc vuông – góc nhọn kề; cạnh huyền – góc nhọn; cạnh huyền – cạnh góc vuông.
- Luôn cần ít nhất một cặp cạnh; cạnh huyền phải so với cạnh huyền.
- Điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc (và ngược lại).
- Hai góc nhọn cùng phụ với một góc thì bằng nhau: nguồn "góc nhọn bằng nhau" hay dùng.
Trường hợp "cạnh góc vuông và góc nhọn đối diện" có dùng được không?
Được, sau một bước: biết góc nhọn đối diện thì tính được góc nhọn kề (hai góc nhọn phụ nhau), rồi dùng trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề. Phải viết bước tính góc này ra.
Làm sao biết bài cần trường hợp nào?
Có cạnh chung là cạnh huyền (như OM ở Hình 3): nghĩ tới cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông. Có hai đoạn vuông góc bằng nhau cùng đường cao: thường là cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Có cần viết "hai tam giác vuông" trước khi xét không?
Nên viết: "Xét \(\triangle OHM\) vuông tại H và \(\triangle OKM\) vuông tại K có: …". Câu này cho người chấm biết em dùng trường hợp của tam giác vuông.