HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Nhận biết nhanh:
- Hỏi "trường hợp nào": Dạng 1.
- Hỏi "cần thêm điều kiện gì": Dạng 2.
- Chứng minh rồi tính: Dạng 3.
- Có tia phân giác và đường vuông góc xuống hai cạnh: Dạng 4.
- Có đường cao trong tam giác có hai cạnh bằng nhau: Dạng 5.
- Tam giác vuông cân, đường thẳng qua đỉnh góc vuông: Dạng 6.
Dạng 1. Nhận biết trường hợp Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Cho hai tam giác vuông và vài cặp cạnh, góc bằng nhau.
- Hỏi có bằng nhau không, trường hợp nào.
Hướng làm
- Bước 1
Đánh dấu cạnh huyền của mỗi tam giác (đối diện góc vuông).
- Bước 2
Phân loại từng cặp: cạnh huyền, cạnh góc vuông, góc nhọn (kề hay đối)
Ghép với một trong bốn trường hợp.
Ví dụ 1
\(\triangle ABC\) vuông tại A và \(\triangle DEF\) vuông tại D có \(BC = EF\), \(AC = DF\). Hai tam giác có bằng nhau không?
Lời giải:
BC, EF là hai cạnh huyền (đối diện góc vuông A, D)
AC, DF là hai cạnh góc vuông.
Do đó \(\triangle ABC = \triangle DEF\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Kết luận: bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Ghi "(c.g.c)" vì có hai cạnh và góc vuông.
Góc vuông A không xen giữa BC và AC, nên không phải c.g.c; đây là trường hợp riêng của tam giác vuông.
Dạng 2. Bổ sung điều kiện Lớp 7
Nhận biết
Đề có dấu hiệu:
- "Cần thêm điều kiện gì để hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp …"
Hướng làm
- Bước 1
Viết khuôn của trường hợp đề hỏi, điền các cặp đã có.
- Bước 2
Ô trống là điều kiện cần thêm
Với "góc nhọn kề", chọn góc ở đầu mút của cạnh góc vuông đã có (không phải đỉnh góc vuông).
Ví dụ 2
\(\triangle ABC\) vuông tại A, \(\triangle DEF\) vuông tại D có \(AB = DE\). Cần thêm điều kiện gì để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp: a) hai cạnh góc vuông; b) cạnh góc vuông – góc nhọn kề; c) cạnh huyền – cạnh góc vuông?
Lời giải:
a) Cạnh góc vuông còn lại: \(AC = DF\).
b) Góc nhọn kề cạnh AB là \(\widehat{B}\) (A là đỉnh góc vuông): \(\widehat{B} = \widehat{E}\).
c) Cạnh huyền: \(BC = EF\).
Đáp số: a) \(AC = DF\); b) \(\widehat{B} = \widehat{E}\); c) \(BC = EF\)
Dạng 3. Chứng minh rồi tính Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Cho dữ kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.
- Hỏi một cạnh, góc khác.
Hướng làm
- Bước 1
Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, ghi tên trường hợp.
- Bước 2
Dùng cạnh, góc tương ứng và "hai góc nhọn phụ nhau".
Ví dụ 3
\(\triangle ABC\) vuông tại A, \(\triangle DEF\) vuông tại D có \(BC = EF\), \(\widehat{B} = \widehat{E} = 40^\circ\). Biết \(DF = 6\) cm. Tính AC và \(\widehat{C}\).
Lời giải:
\(\triangle ABC = \triangle DEF\) (cạnh huyền – góc nhọn).
\(AC = DF = 6\) cm (hai cạnh tương ứng).
\(\widehat{C} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\) (hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau).
Đáp số: \(AC = 6\) cm, \(\widehat{C} = 50^\circ\)
Dạng 4. Điểm trên tia phân giác Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Điểm nằm trên tia phân giác, kẻ đường vuông góc xuống hai cạnh.
- Hoặc điểm cách đều hai cạnh (chiều ngược).
Hướng làm
- Bước 1
Hai tam giác vuông có chung cạnh huyền (đoạn nối đỉnh góc với điểm).
- Bước 2
Biết hai góc ở đỉnh bằng nhau: cạnh huyền – góc nhọn.
Biết hai đoạn vuông góc bằng nhau: cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Ví dụ 4
Cho \(\widehat{xOy} = 70^\circ\), M nằm trên tia phân giác của góc. Kẻ \(MH \perp Ox\), \(MK \perp Oy\). Biết \(MH = 4\) cm. Tính MK và \(\widehat{OMH}\).
Lời giải:
Xét \(\triangle OHM\) vuông tại H và \(\triangle OKM\) vuông tại K có:
OM là cạnh huyền chung
\(\widehat{HOM} = \widehat{KOM}\) (OM là tia phân giác).
Do đó \(\triangle OHM = \triangle OKM\) (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra \(MK = MH = 4\) cm.
\(\widehat{HOM} = 70^\circ : 2 = 35^\circ\)
Nên \(\widehat{OMH} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
Đáp số: \(MK = 4\) cm, \(\widehat{OMH} = 55^\circ\)
\(\widehat{OMH} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).
Trong \(\triangle OHM\), góc tại O chỉ là một nửa \(\widehat{xOy}\), tức \(35^\circ\).
Dạng 5. Đường cao trong tam giác có hai cạnh bằng nhau Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai cạnh bằng nhau \(AB = AC\) và đường vuông góc AH ⊥ BC.
- Hoặc hai đường cao BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.
Hướng làm
- Bước 1
AH ⊥ BC: hai tam giác vuông ABH, ACH có cạnh huyền AB = AC và cạnh góc vuông AH chung.
- Bước 2
BH ⊥ AC, CK ⊥ AB: hai tam giác vuông ABH, ACK có cạnh huyền AB = AC và góc nhọn A chung.
Ví dụ 5
Cho \(\triangle ABC\) có \(AB = AC\), kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Chứng minh \(HB = HC\) và AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\).
Lời giải:
Xét \(\triangle AHB\) vuông tại H và \(\triangle AHC\) vuông tại H có:
\(AB = AC\) (giả thiết, cạnh huyền)
AH là cạnh góc vuông chung.
Do đó \(\triangle AHB = \triangle AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(HB = HC\) và \(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\): AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\).
Kết luận: \(HB = HC\), AH là tia phân giác
Dạng 6. Tam giác vuông cân và đường thẳng qua đỉnh góc vuông Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Tam giác vuông cân: \(\triangle ABC\) vuông tại A có \(AB = AC\).
- Đường thẳng xy đi qua A; BD, CE vuông góc với xy.
Hướng làm
- Bước 1
Tìm cặp góc nhọn bằng nhau nhờ "cùng phụ với một góc": \(\widehat{ABD} = \widehat{CAE}\) (cùng phụ \(\widehat{BAD}\)).
- Bước 2
\(\triangle BAD = \triangle ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn) cho \(AD = CE\)
\(AE = BD\)
Rồi cộng hoặc trừ đoạn thẳng.
Ví dụ 6
Cho \(\triangle ABC\) vuông tại A, \(AB = AC\). Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C cùng phía đối với xy). Kẻ BD ⊥ xy, CE ⊥ xy. Biết \(BD = 2\) cm, \(CE = 6\) cm. Tính DE.
Lời giải:
\(\widehat{ABD} + \widehat{BAD} = 90^\circ\) (\(\triangle ABD\) vuông tại D)
\(\widehat{CAE} + \widehat{BAD} = 90^\circ\) (vì \(\widehat{BAC} = 90^\circ\), ba góc tại A ghép thành góc bẹt), nên \(\widehat{ABD} = \widehat{CAE}\).
Xét \(\triangle BAD\) vuông tại D và \(\triangle ACE\) vuông tại E có:
\(AB = CA\) (cạnh huyền)
\(\widehat{ABD} = \widehat{CAE}\) (chứng minh trên).
Do đó \(\triangle BAD = \triangle ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra \(AD = CE = 6\) cm, \(AE = BD = 2\) cm.
\(DE = DA + AE = 6 + 2 = 8\) cm.
Mở rộng: nếu B, C khác phía đối với xy thì D, E cùng phía đối với A và \(DE = CE - BD\).
Đáp số: \(DE = 8\) cm
Ghép \(\triangle BAD = \triangle CAE\) và suy ra \(AD = AE\).
Góc \(\widehat{ABD}\) (đỉnh B) bằng \(\widehat{CAE}\) (đỉnh A), nên B ↔ A, A ↔ C, D ↔ E: \(\triangle BAD = \triangle ACE\), cho \(AD = CE\), \(BD = AE\).
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Trường hợp |
|---|---|
| Tia phân giác + đường vuông góc xuống hai cạnh | Cạnh huyền chung – góc nhọn |
| AB = AC + đường cao AH | Cạnh huyền – cạnh góc vuông chung |
| AB = AC + hai đường cao BH, CK | Cạnh huyền – góc nhọn chung A |
| Tam giác vuông cân + đường thẳng qua A | Cạnh huyền – góc nhọn (cùng phụ) |
| Cho hai cạnh góc vuông | Hai cạnh góc vuông (c.g.c) |