Các Bài Toán Về Tính Tổng Có Quy Luật Đặc Biệt

Dạng toán "tính tổng có quy luật đặc biệt"

Đây là nhóm bài toán mà các số hạng hoặc các phân số trong tổng không xuất hiện ngẫu nhiên, mà được sắp xếp theo một quy luật nhất định. Quy luật đó có thể là cộng thêm cùng một số, nhân với cùng một số, hoặc được tạo ra theo một công thức đặc biệt.

Tính tổng một dãy số cho trước.
Tìm số hạng chưa biết để tổng bằng một giá trị đã cho.
So sánh tổng của hai dãy số.
Tính nhanh giá trị của biểu thức có nhiều hạng tử.

Quy trình chung để giải một bài toán tính tổng có quy luật

Đọc kỹ đề, xác định rõ dãy số hoặc biểu thức có bao nhiêu hạng tử, số đầu, số cuối và quy luật giữa các hạng tử.
Phân tích xem bài phù hợp với cách nào: cộng trực tiếp, ghép cặp, viết theo thứ tự ngược, nhân rồi trừ, hay tách từng phân số thành hiệu.
Trình bày lời giải theo từng bước rõ ràng.
Kiểm tra lại kết quả bằng ước lượng hoặc thay ngược vào bài.

Một số dấu hiệu nhận dạng trong đề

Các số hơn kém nhau một khoảng cố định → Dãy số cách đều → Tìm số hạng, ghép cặp hoặc dùng công thức của dãy số cách đều
Mỗi số gấp q lần số trước → Dãy có quy luật nhân → Nhân cả tổng với q rồi lấy hiệu
Tổng kiểu 1x2 + 2x3 + 3x4 + ... → Dãy số có quy luật khác → BIến đổi từng hạng tử rồi triệt tiêu
Phân số có quy luật ở tử hoặc mẫu → Tổng phân số có quy luật nhân → Nhân cả tổng với q hoặc quy về cấp số nhân
Phân số có dạng \(\frac{1}{a \times b}\), \(\frac{2}{a \times b}\),... → Tổng phân số đặc biệt → Tách thành hiệu để rút gọn dần
Biểu thức nhiều tích, nhiều số thập phân đẹp → Tính nhanh giá trị biểu thức → Nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng tính chất

Dạng 1: Dãy số tự nhiên cách đều và dãy số có quy luật nhân (dãy số nhân)

Dãy số cách đều:

Dãy số cách đều là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nhiên d không đổi

Số không đổi đó gọi là công sai hoặc là khoảng cách.

✓ Các công thức cần nhớ:

Có thể giải nhanh bằng cách áp dụng công thức của dãy số cách đều như trên hoặc:

Tìm số số hạng của dãy → ghép cặp trực tiếp hoặc viết tổng theo thứ tự ngược rồi cộng hai tổng → tính tổng bằng cách lấy tổng của một cặp nhân với số cặp.

Nhớ nhanh: nhớ nhanh công thức của một số dãy tiêu biểu sau

1 + 2 + 3 + ... + n = n × (n + 1) : 2.
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n × (n + 1).
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n × n.

Dãy số có quy luật nhân:

Dãy số nhân là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên q không đổi hay Tỉ số giữa hai số liên tiếp trong dãy số luôn bằng một số không đổi.

Số không đổi đó được gọi là công bội

Ví dụ: 2, 6, 18, 54, 162 → Là dãy số nhân với công bội = 3.

✓ Công thức cần nhớ:

Có thể giải nhanh bằng cách áp dụng công thức của dãy số nhân như trên hoặc cách giải chi tiết với bài toán tự luận để tránh bị trừ điểm vì quá vắn tắt, bằng cách thực hiện như sau:

Bước 1: Đặt tổng cần tìm là A
Bước 2: Nhân cả hai vế với q để tạo ra một tổng mới có nhiều hạng tử giống tổng ban đầu nhưng lệch đi một bước.
Bước 3: Lấy tổng mới trừ tổng cũ để khử bớt phần giữa
Bước 4: Sau khi rút gọn, tìm được giá trị A.

Nhấn để xem thông tin chi tiết hơn tại chuyển đề Các Bài Toán Về Dãy Số

Ví dụ 1:

Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Lời giải:

Cách 1:

Ta viết A = 1 + 2 + 3 + ... + 100.

Viết ngược lại: A = 100 + 99 + 98 + ... + 1.

Khi cộng hai tổng, mỗi cặp đều bằng 101.

Có 100 cặp như vậy nên 2A = 101 × 100 = 10 100.

Suy ra A = 10 100 : 2 = 5 050.

Cách 2:

Dãy trên có n = 100 số hạng, vậy tổng của dãy trên là: n x (n + 1) : 2 = 100 x 101 : 2 = 5 050

Đáp số: 5 050

Ví dụ 2:

Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lớn nhất là 2027

Lời giải:

Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, nên đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 2

Số lớn nhất nhiều hơn số nhỏ nhất là: (50 - 1) x 2 = 98

Số đầu tiên của dãy 50 số lẻ là: 2027 - 98 = 1929

Tổng của dãy số là: (1929 + 2027) x 50 : 2 = 98 900

Đáp số: 98 900

Ví dụ 3:

Tìm x biết tổng: (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + ... + (x + 2022) + (x + 2024) + (x + 2026) = 1 034 273

Lời giải:

Ta có:

(x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + ... + (x + 2022) + (x + 2024) + (x + 2026) = 1 034 273

( x + x + x + ... + x + x ) + (2 + 4 + 6 + ... + 2024 + 2026) = 1 034 273

2; 4; 6; ...; 2024; 2026 là dãy số cách đều với khoảng cách là 2

Số số hạng của dãy là: (2026 - 2) : 2 + 1 = 1013 (số hạng)

Tổng của dãy là: (2026 + 2) x 1013 : 2 = 1 027 182

Tổng trên viết lại thành:

\( 1013 \times x + 1 027 182 = 1 034 273\)

\( 1013 \times x = 1 034 273 - 1 027 182\)

\( 1013 \times x = 7091\)

\( x = 7091 : 1013\)

\( x = 7\)

Đáp số: 7

Ví dụ 4:

Tính A = 2 + 6 + 18 + ... + 486.

Lời giải:

Mỗi số hạng sau gấp 3 lần số hạng trước nên đây là dãy số nhân với công bội là 3

Cách 1:

A = 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486

Nhân cả hai vế với 3 ta được:

3A = 3 x (2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486)

3A = 6 + 18 + 54 + ... + 486 + 1 458

Lấy 3A – A thì các số ở giữa bị triệt tiêu:

3A - A = 6 + 18 + 54 + ... + 486 + 1 458 - ( 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486)

2A = 1 458 – 2 = 1 456

A = 1 456 : 2 = 728

Cách 2:

Số đầu là: 2 Số cuối là: 486 Công bội là: 3

Áp dụng công thức tính tổng của công bội ta có:

A = (486 x 3 - 2) : (3 - 1) = 728

Đáp số: 728

Ví dụ 5:

Tính A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729}\)

Lời giải:

Đây cũng là tổng có quy luật nhân, nhưng các hạng tử là phân số. Mỗi số hạng sau bằng số trước nhân với \(\frac{1}{3}\)

Cách 1:

A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729}\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{3}\) ta được:

\( \frac{1}{3} \times A = \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729} + \frac{1}{2187}\)

Lấy A – \( \frac{1}{3} \times A\) vế theo vế thì các số ở giữa bị triệt tiêu:

\(A - \frac{1}{3} \times A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ... + \frac{1}{729} - (\frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ... + \frac{1}{729} + \frac{1}{2187})\)

\(\frac{2}{3} \times A = \frac{1}{3} - \frac{1}{2187}\)

\(\frac{2}{3} \times A = \frac{728}{2187} \)

\(A = \frac{728}{2187} : \frac{2}{3} = \frac{728}{2187} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{729}\)

Vậy A = \(\frac{364}{729}\)

Cách 2:

Viết lại tổng trên thành: \(A = \frac{1}{729} + \frac{1}{243} + ... + \frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}\)

Dãy trên là dãy số nhân với công bội là 3, số đầu là \(\frac{1}{729}\) và số cuối là \(\frac{1}{3}\), ta có:

\(A = (\frac{1}{3} \times 3 - \frac{1}{729}) : (3 - 1) \)

\(A = \frac{729 - 1}{729} : 2 \)

\(A = \frac{364}{729} \)

Đáp số: \(\frac{364}{729}\)

Dạng 2: Dãy số có quy luật khác thường gặp

Đây là dạng thú vị hơn vì quy luật không chỉ là cộng đều hoặc nhân đều. Nhiều bài thuộc nhóm này có thể biến đổi từng hạng tử để xuất hiện phép triệt tiêu.

Ghi nhớ: Một số mẫu thường gặp:

\( 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 \ + ... +\ n \times (n+1)\) = n x (n + 1) x (n + 2) : 3
\( 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n\) = n x (n + 1) x (2n + 1) : 6
\( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \) = n x (n + 1) x (n + 5) : 3

→ Với các bài tính nhanh có thể áp dụng công thức kết quả bên cạnh, còn dạng bài tự luận thì cần chứng minh qua từng bước như trong các ví dụ bên dưới.

Hướng giải:

Tìm cách viết mỗi tích dưới dạng hiệu của hai tích lớn hơn để khi cộng lại, nhiều hạng tử triệt tiêu.
Hoặc biến đổi biểu thức thành tổng của hai dãy quen thuộc rồi dùng công thức đã biết.
Nếu quy luật chưa rõ, hãy viết 3 – 4 số đầu và tìm mối liên hệ giữa chúng.

Ví dụ 1:

Tính \(A = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 \ + ... +\ n \times (n+1)\)

Hướng giải:

Nhân cả tổng với 3 rồi viết từng tích k×(k+1) dưới dạng hiệu của hai tích liên tiếp

Ta có:

\(1 \times 2 \times 3 = 1 \times 2 \times (3 – 0) = 1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2\)
\(2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3 \times (4 - 1) = 2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3\)
\(3 \times 4 \times 3 = 3 \times 4 \times (5 - 2) = 3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4\)
\(4 \times 5 \times 3 = 4 \times 5 \times (6 - 3) = 4 \times 5 \times 6 - 3 \times 4 \times 5\)
...

Khi cộng các đẳng thức kiểu đó, nhiều hạng tử ở giữa triệt tiêu.

Lời giải:

Nhân 2 vế của của tổng cho 3 ta được:

\(3A = 3 \times (1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1))\)

\(3A = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 3 + 3 \times 4 \times 3 + .... + n \times (n + 1) \times 3\)

\(3A = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times (4 - 1) + 3 \times 4 \times (5 - 2) + ...\)

\(... + n \times (n + 1) \times [(n + 2) - (n - 1)]\)

\(3A = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3 + 3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4 + ...\)

\(... + n \times (n + 1) \times (n + 2) - (n - 1) \times n \times (n + 1)\)

\(3A = n \times (n + 1) \times (n + 2)\)

\(A = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3\)

Đáp số: n x (n + 1) x (n + 2) : 3

Ví dụ 2:

Tính \(A = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n\)

Hướng giải:

Viết tổng các tích các số giống nhau (bình phương) thành hiệu giữa tổng kiểu \( k \times (k + 1)\) và tổng 1 + 2 + 3 + ... + n.

\(1 \times 1 = 1 \times 2 - 1\)
\(2 \times 2 = 2 \times 3 - 2\)
\(3 \times 3 = 3 \times 4 - 3\)
...

→ Tổng của \(1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... = [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... ] - (1 + 2 + 3 + ...)\) với tổng đầu là dạng k x (k+1) giống ví dụ 1.

Lời giải:

Ta có:

\(1 \times 1 = 1 \times 2 – 1\)
\(2 \times 2 = 2 \times 3 – 2\)
\(3 \times 3 = 3 \times 4 – 3\)
...
\(n \times n = n \times (n+1) – n\)

Cộng các đẳng thức trên, ta được:

\(A = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ...+ n \times n \)

\( = [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ...+ n \times (n + 1) ] - (1 + 2 + 3 + ...+ n)\)

Từ kết quả của ví dụ 1, ta có:

\( [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ...+ n \times (n + 1) ] = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3\)

\( 1 + 2 + 3 + ...+ n = n \times (n + 1) : 2\)

Thay vào tổng A ta được:

\( A = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3 - n \times (n + 1) : 2\)

Nhân 2 vế cho 6 ta được:

\(6 A = n \times (n + 1) \times (n + 2) \times 2 - n \times (n + 1) \times 3\)

\(6 A = n \times (n + 1) \times [(n + 2) \times 2 - 3]\)

\(6 A = n \times (n + 1) \times (2n + 4 - 3)\)

\(6 A = n \times (n + 1) \times (2n + 1)\)

\(A = n \times (n + 1) \times (2n + 1) : 6\)

Đáp số: n x (n + 1) x (2n + 1) : 6

Ví dụ 3:

Tính A = \( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \)

Lời giải:

Ta có:

A = \( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \)

= \( 1 \times (1 + 3) + 2 \times (2 + 3) + 3 \times (3 + 3) + ... + n \times (n + 3) \)

= \( 1 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 2 + 3 \times 3 + 3 \times 3 + ... + n \times n + 3 \times n \)

= \( (1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n ) + (3 \times 1+ 3 \times 2 + 3 \times 3 + ... + 3 \times n) \)

Theo kết quả của ví dụ 2 ta có:

\(1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n = n \times (n + 1) \times (2n + 1) : 6\)

\( 3 \times 1+ 3 \times 2 + 3 \times 3 + ... + 3 \times n\)

\(= 3 \times ( 1 + 2 + 3 + ... + n)\)

\(= 3 \times n \times (n + 1) : 2\)

Thay vào A ta được:

A = \( n \times (n + 1) \times (2n + 1) : 6 + 3 \times n \times (n + 1) : 2\)

Nhân 2 vế cho 6 ta được:

6A = \( n \times (n + 1) \times (2n + 1) + 9 \times n \times (n + 1)\)

6A = \( n \times (n + 1) \times [(2n + 1) + 9 ]\)

6A = \( n \times (n + 1) \times (2n + 10)\)

A = \( n \times (n + 1) \times 2 \times (n + 5) : 6\)

A = \( n \times (n + 1) \times (n + 5) : 3\)

Đáp số: n x (n + 1) x (n + 5) : 3

Dạng 3: Tính tổng các phân số dạng đặc biệt

Nhiều bài tổng phân số nhìn dài nhưng thực ra rất ngắn nếu biết cách tách. Đây là nhóm bài xuất hiện khá nhiều trong tài liệu gốc, đặc biệt ở phần quy luật nhân và phần tách thành hiệu để rút gọn dần.

Phân số có quy luật nhân

Nếu mẫu số giống nhau, chỉ cần tính quy luật ở tử số. → Cách giải như ví dụ 4 của Dạng 1 ở trên
Nếu tử số giống nhau, chỉ cần tính quy luật ở mẫu số. → Cách giải như ví dụ 4 của Dạng 1 ở trên
Nếu cả tử và mẫu cùng có quy luật nhân, có thể nhân cả tổng với cùng một tỉ số rồi trừ → Cách giải như ví dụ 5 của Dạng 1 ở trên

→ Đây là một trường hợp dãy số quy luật nhân của Dạng 1: Tổng của dãy số có quy luật ở trên, cách giải tổng quát là nhân cả 2 vế với công bội q, sau đó thực hiện hiệu để triệt tiêu và tính kết quả

Phân số có quy luật khác (tách thành hiệu)

Công thức tách cần nhớ:

\(\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)
\(\frac{m}{b \times (b + m)} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b + m}\)
\(\frac{2m}{b \times (b + m) \times (b + 2m)} = \frac{1}{b \times (b + m)} - \frac{1}{ (b + m) \times (b + 2m)}\)

Dạng rất thường gặp:

\(\frac{1}{1 \times 2}+ \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ...\) → \(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...\)
\(\frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + \frac{3}{10 \times 13} + ...\) → \(\frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + ...\)
\(\frac{4}{1 \times 3 \times 5} + \frac{4}{3 \times 5 \times 7} + ...\) → \(\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{5 \times 7} + ...\)

→ Mục tiêu là viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn để khi cộng lại sẽ triệt tiêu dần.

không phải bài toán nào ta cúng phát hiện được ngay quy luật mà phải qua một số phép biển đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số như nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lí tính chất phân phối của phép nhân đổi với phép cộng để biến đổi từ đúng bằng hiệu 2 thừa số dưới mẫu.

Ví dụ 1:

Tính \( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2026 \times 2027}\)

Lời giải:

Hướng giải: ta thấy phân số có dạng \(\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1\times (1 + 1)}\) → ta áp dụng công thức \(\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)

\( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2026 \times 2027}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2026} - \frac{1}{2027}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2027}\)

\( = \frac{2026}{2027}\)

Đáp số: \(\frac{2026}{2027}\)

Ví dụ 2:

Tính \(A =\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} +\frac{2}{5 \times 7} + ... + \frac{2}{997 \times 999}\)

Lời giải:

Hướng giải: ta thấy phân số có dạng \(\frac{2}{1 \times 3} = \frac{2}{1\times (1 + 2)}\) → ta áp dụng công thức \(\frac{m}{b \times (b + m)} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b + m}\)

\(A =\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} +\frac{2}{5 \times 7} + ... + \frac{2}{997 \times 999}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{997} - \frac{1}{999}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{999}\)

\( = \frac{998}{999}\)

Đáp số: \(\frac{998}{999}\)

Ví dụ 3:

Tính \(A =\frac{7}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{7}{4 \times 7 \times 10} +\frac{7}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{7}{1000 \times 1003 \times 1006}\)

Lời giải:

Hướng giải: ta thấy mẫu số là tích của 3 số có khoảng cách m = 3 → cần biến đổi để sử dụng công thức \(\frac{2m}{b \times (b + m) \times (b + 2m)} = \frac{1}{b \times (b + m)} - \frac{1}{ (b + m) \times (b + 2m)}\)

Mặt khác, tử số đang là 7, mà 2m = 2x3 = 6 nên ta cần biến đổi để tử số sẽ là 6 bằng cách nhân A với \(\frac{6}{7}\).

\(A =\frac{7}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{7}{4 \times 7 \times 10} +\frac{7}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{7}{1000 \times 1003 \times 1006}\)

\(A \times \frac{6}{7} =\frac{6}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} +\frac{6}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{6}{1000 \times 1003 \times 1006}\)

\(A \times \frac{6}{7} =\frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} +\frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + ... \)

\(... + \frac{1}{1000 \times 1003} - \frac{1}{1003 \times 1006} \)

\(A \times \frac{6}{7} =\frac{1}{1 \times 4 } - \frac{1}{10003 \times 1006}\)

\(A \times \frac{6}{7} =\frac{504507}{2018036}\)

\(A = \frac{1009015}{4036072 } \times \frac{7}{6}\)

\(A = \frac{7063105}{24216432}\)

Đáp số: \(\frac{7063105}{24216432}\)