Các Bài Toán Về Dãy Số

Dãy số

Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một quy luật nhất định. Học về dãy số giúp học sinh củng cố kiến thức về số và phép tính, rèn kĩ năng suy luận, phát hiện quy luật và trình bày lời giải có logic

Các quy luật thường gặp:

Cộng hoặc trừ đều d
- Hiệu giữa hai số liên tiếp không đổi
- Vd: 5; 8; 11; 14; ...
Nhân hoặc chia đều q
- Tỉ số giữa hai số liên tiếp không đổi
- Ví dụ: 3; 6; 12; 24; ...
Số sau bằng tổng hai số trước
- Thường từ số hạng thứ ba
- Ví dụ: 1; 2; 3; 5; 8; ...
Số sau bằng tổng ba số trước
- Thường từ số hạng thứ tư
- Ví dụ: 1; 2; 3; 6; 12; ...
Số sau = số trước + số thứ tự + d
- Hiệu tăng dần đều
- Ví dụ: 2; 7; 13; 20; ...
Số sau = tích của hai số đứng liền trước
- Các số sau có xu hướng tăng rất nhanh.
- Ví dụ: 2; 3; 6; 18; 108; ...
Số sau = số trước x số thứ tự
- Các số sau tăng nhanh, có liên quan tới vị trí
- Ví dụ: 1; 2; 6; 24; ...
Số hạng thứ n = n x (n + 1)
- Gắn trực tiếp với số thứ tự
- Ví dụ: 2; 6; 12; 20; ...

Các dạng toán chính:

Xác định số hạng nào đó của dãy số
Kiểm tra một số có thuộc dãy số đã cho hay không?
Tìm số số hạng của dãy số
Tìm số chữ số của dãy số
Tìm tổng các số hạng của dãy số
Tìm tổng các chữ số của dãy số

Các bước giải tổng quát:

Bước 1: Đọc kĩ đề, xác định bài toán hỏi gì: viết tiếp, tìm số hạng, kiểm tra thuộc dãy, đếm số hạng, tính tổng hay đếm chữ số.
Bước 2: Quan sát các số đầu tiên để tìm quy luật: cộng đều, trừ đều, nhân đều, chia đều, tổng của hai số trước, tổng của ba số trước, gắn với số thứ tự, ...
Bước 3: Kiểm tra lại quy luật bằng ít nhất 2 đến 3 bước liên tiếp, tránh đoán vội.
Bước 4: Dùng quy luật đó để lập phép tính và trình bày lời giải

Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

Muốn giải dạng này, việc đầu tiên là phải phát hiện đúng quy luật của dãy số.

Ngoại trừ các số liền trước, liền sau của dãy số, ta cần chú ý thêm vào:

Chỉ số thứ tự của số hạng: số hạng trước x số thứ tự, 5 x số thứ tự, số thứ tự x 3 + 7,...
Các số liền sau tăng nhanh: thường gán với các phép nhân

Nếu dãy cách đều thì số hạng thứ n thường có dạng: a_n = a₁ + (n - 1) × d

Ví dụ 1:

Viết tiếp ba số hạng của dãy số sau:
a) 1; 2; 3; 5; 8; ...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...
c) 2; 7; 13; 20; ...
d) 1; 2; 6; 24; ...
e) 1; 2; 2; 4; 8; ...
f) 2; 6; 12; ...

Lời giải:

a) 1; 2; 3; 5; 8; ...

Từ dãy số trên ta thấy

3 = 1 + 2
5 = 2 + 3
8 = 3 + 5

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể thừ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34

Khi đó dãy mới là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;...

b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...

Từ dãy số trên ta thấy

6 = 0 + 2 + 4
12 = 2 + 4 + 6
22 = 4 + 6 + 12

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể thừ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

6 + 12 + 22 = 40
12 + 22 + 40 = 74
22 + 40 + 74 = 136

Khi đó dãy mới sẽ là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;...

c) 2; 7; 13; 20; ...

Từ dãy số trên ta thấy:

7 = 2 + 2 + 3
13 = 7 + 3 + 3
20 = 13 + 4 + 3

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể thừ số thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước cộng với chỉ số thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

20 + 5 + 3 = 28
28 + 6 + 3 = 37
37 + 7 + 3 = 47

Khi đó dãy mới sẽ là: 2; 7; 13; 20; 28; 37; 47; ...

d) 1; 2; 6; 24; ...

Dãy số có số sau tăng nhanh → quy luật liên quan tới phép nhân

Từ dãy số trên ta thấy:

2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
24 = 6 x 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể thừ số thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

24 x 5 = 120
120 x 6 = 720
720 x 7 = 5040

Khi đó dãy mới sẽ là: 1; 2; 6; 24;120; 720; 5040 ...

e) 1; 2; 2; 4; 8; ...

Từ dãy số trên ta thấy:

2 = 1 x 2
4 = 2 x 2
8 = 2 x 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể thừ số thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

8 x 4 = 32
32 x 8 = 256
256 x 32 = 8192

Khi đó dãy mới sẽ là: 1; 2; 2; 4; 8; 32; 256; 8192; ...

f) 2; 6; 12; ...

Từ dãy số trên ta thấy:

2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng tích của số chỉ thứ tự số hạng đó với số liền sau của số thứ tự đó.

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

4 x 5 = 20
5 x 6 = 30
6 x 7 = 42

Khi đó dãy mới sẽ là: 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...

Ví dụ 2:

Tìm số hạng ddaafu tiên của dãy số sau:

a) ...; 24; 27; 30

b) ...; 47; 57; 57

Biết rằng mỗi dãy số đều có 10 số hạng

Lời giải:

a) ...; 24; 27; 30

Từ dãy số trên ta thấy:

24 = 8 x 3
27 = 9 x 3
30 = 10 x 3

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3

Áp dụng quy luật này ta có số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 x 3 = 3.

b) ...; 47; 52; 57

Từ dãy số trên ta thấy:

47 = 8 x 5 + 7
52 = 9 x 5 + 7
57 = 10 x 5 + 7

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 5 rồi cộng với 7

Áp dụng quy luật này ta có số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 x 5 + 7 = 12

Ví dụ 3:

Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau: 1; 4; 7; 10; ...

Lời giải:

Từ dãy số trên ta thấy:

4 = 1 + 3 x (2 - 1)
7 = 1+ 3 x (3 - 1)
10 = 1 + 3 x (4 - 1)

Vậy quy luật của dãy số trên là: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 3 nhân với chỉ số thứ tự của số hạng liền trước.

Áp dụng quy luật trên, ta có số hạng thứ 50 của dãy số là: 1 x 3 x (50 - 1) = 148.

Đáp số: 148.

Ví dụ 4:

Điền số thích hợp vào ô trống sao cho tổng của các số ở ba ô liên tiếp đều bằng 2026.

Lời giải:

Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau:

Theo đề bài ta có:

496 + C7 + C8 = C7 + C8 + C9 = 2026 → C9 = 496 (trừ C7 + C8 ở cả 2 vế)

C7 + C8 + C9 = C8 + C9 + 996 = 2026 → C7 = 996. (trừ C8 + C9 ở cả 2 vế)

C7 + C8 + C9 = 2026 → C8 = 2026 - C7 - C9 = 2026 - 996 - 496 = 534.

Từ đó ta có:

C1 = C4 = C7 = 996
C2 = C5 = C8 = 534
C3 = C6 = C9 = 496

Ta có bảng điền đầy đủ như sau:

Dạng 2: Xác định một số có thuộc dãy số đã cho hay không

Để giải được loại toán này, ta thường làm như sau:

Xác định đặc điểm quy luật của các số hạng trong dãy số
Kiểm tra số cần xác định có thỏa mãn đặc điểm quy luật đó hay không.

Ví dụ 1:

Hãy cho biết

a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy số: 90; 95; 100; ... hay không?

b) Số 2026 có thuộc dãy số : 2; 5; 8; 11; ... hay không?

c) Số nào trong các số: 666; 1000 và 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; ...?

Lời giải:

a) 90; 95; 100; ...

Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:

Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50
Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 không chia hết cho 5

b) 2; 5; 8; 11;...

Quy luật của dãy trên là kể từ số hạng thứ 2, số sau bằng số trước cộng 3 → số đầu là 2 nên các số sau sẽ chia hết cho 3 dư 2.

Số 2026 : 3 = 675 dư 1 không thỏa mãn với quy luật trên

Vậy số 1996 không thuộc dãy số đã cho.

c) 3; 6; 12; 24; ...

Quy luật của dãy trên là: từ số hạng thứ 2, số hạng sau bằng số hạng trước x 2 → số hạng đầu là 3 nên các số hạng sau phải là số chẵn và chia hết cho 3.

666 : 2 = 333 → là số lẻ nên không thỏa mãn quy luật trên
1000 → không chia hết cho 3 nên không thỏa mãn quy luật trên
9999 → là số lẻ nên không thỏa mãn quy luật trên

Vậy cả ba số: 666; 1000 và 9999 đều không thuộc dãy số trên.

Dạng 3: Dãy số cách đều

Dãy số cách đều là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nhiên d

hay Dãy số cách đều là tập hợp các số hạng được sắp xếp theo thứ tự, trong đó hiệu của hai số hạng liền kề liên tiếp luôn là một số không đổi

Số không đổi đó gọi là công sai hoặc là khoảng cách.

Ví dụ: 2, 5, 8, 11, 14 → Là dãy số tăng đều với khoảng cách = 3.

✓ Các công thức cần nhớ:

Cách dạng toán với dãy số cách đều:

Tìm số số hạng của dãy số
- Sử dụng công thức: Số số hạng của dãy số = (số cuối - số đầu) : khoảng cách + 1
Tìm tổng các số hạng của dãy số
- Sử dụng công thức: Tổng các số hạng = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Tìm số chữ số của dãy số
- Dạng này cần nhóm các số hạng có 1 chữ số, 2 chữ số 3 chữ số,... rồi tính theo yêu cầu đề bài.
Tìm tổng các chữ số của dãy số
- Ghép cặp có tổng chữ số bằng nhau, đếm số lần xuất hiện của từng chữ số, hoặc chia dãy thành từng nhóm rồi tính theo nhóm
Tìm số lần chữ số a xuất hiện trong dãy
- Sử dụng công thức tính số số hạng của dãy số kết hợp với các tính chất của số để tính toán.

Ghi chú:

Khi giải dạng toán số lần xuất hiện của 1 số:

Trong dãy từ 00 đến 99: (chú ý, số 0 đứng ở vị trí nào cũng được, vd: 08)

Ở hàng đơn vị, cứ 10 số (vd: 30 - 39) thì các chữ số 0 đến 9 lặp lại 1 lần, có 10 nhóm 10 số nên mỗi chữ số xuất hiện 10 lần.
Ở hàng chục, trong mỗi nhóm 10 số (vd: 20 - 29), mỗi chữ số xuất hiện 1 lần , mà có 10 nhóm như vậy nên mỗi chữ số cũng xuất hiện 10 lần.

→ Mỗi chữ số xuất hiện: 10 + 10 = 20 (lần)

Trong dãy từ 000 đến 999: (chú ý, số 0 đứng ở vị trí nào cũng được, vd: 054)

Ở hàng đơn vị, cứ 10 số (vd: 030 - 039) thì các chữ số 0 đến 9 lặp lại 1 lần, có 100 nhóm 10 số nên mỗi chữ số xuất hiện 100 lần.
Ở hàng chục, trong mỗi nhóm 100 số (vd: 200 - 299), mỗi chữ số xuất hiện 10 lần , mà có 10 nhóm như vậy nên mỗi chữ số cũng xuất hiện 100 lần.
Ở hàng trăm, mỗi chữ số chiếm đúng một nhóm 100 số (vd: 600 - 699) nên mỗi chữ số cũng xuất hiện 100 lần.

→ Mỗi chữ số xuât hiện: 100 + 100 + 100 = 300 (lần)

Trường hợp xét đúng vị trí số 0 thì ta cần xét riêng, chỉ tính các vị trí hợp lệ, ví dụ 054 thì không tính.

Khi giải dạng toán tìm tổng các chữ số:

Với dãy số 0; 1; 2; ...; 1997; 1998; 19999 sẽ có tổng các chữ số của dãy bằng 28000

Xét số: \(\overline{abc}\) (a, b, c cho phép bằng 0) nên \(\overline{abc}\) có giá trị từ 000; 001 đến 998; 999.

Khi đó: 1999 - \(\overline{abc}\) = \(\overline{1(9-a)(9-b)(9-c)}\)

Tổng các chữ số của \(\overline{abc}\) và \(\overline{1(9-a)(9-b)(9-c)}\) sẽ là: a + b + c + 1 + 9 - a + 9 -b + 9 - c = 28.

Như vậy cặp số: \(\overline{abc}\) và 1999 - \(\overline{abc}\) luôn có tổng các chữ số là 28

Khi tính tổng các chữ số trong dãy trên, ta có thể ghép các gặp với nhau là: (0; 1999), (1; 1998) ...(998; 1001) và (999; 1000)

Mỗi cặp trên đều có tổng các chữ số là: 28

Có 1000 cặp như vậy: (999 - 0) : 1 + 1 = 1000 (cặp)

Nên tổng các chữ số của dãy trên sẽ là: 28 x 1000 = 28000.

Ví dụ 1:

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện bao nhiêu lần?

Lời giải:

Ta xét riêng chữ số 0 và các chữ số 1; 2; ...; 9

Xét dãy: 00; 01; 02; ...; 98; 99 (cho phép số 0 ở mọi vị trí), ta có tất cả 100 số

Ở hàng đơn vị:

Các chữ số thay đổi theo thứ tự: 0; 1; 2; ...; 8; 9 rồi lại lặp lại

Ví dụ:

00 đến 09: hàng đơn vị là 0; 1; 2; ...; 8; 9
90 đến 99: hàng đơn vị là 0; 1; 2; ...; 8; 9

Cứ 10 số thì mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 1 lần ở hàng đơn vị.

Vì có 10 nhóm như vậy, nên ở hàng đơn vị, mỗi chữ số xuất hiện: 10 x 1 = 10 (lần)

Ở hàng chục:

00 đến 99: hàng chục là 0
10 đến 19: hàng chục là 1
...
90 đến 99: hàng chục là 9

Mỗi nhóm có 10 số, nên mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Vậy trong dãy từ 00 đến 99:

mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng đơn vị
mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Do đó, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện tổng cộng: 10 + 10 = 20 (lần)

Với chữ số 0:

Ở hàng đơn vị: chữ số 0 xuất hiện trong các số 10; 20; ...; 80; 90 nên có 9 lần
Ở hàng chục: không có chữ số 0

Vậy chữ số 0 xuất hiện 9 lần

Từ 1 đến 99:

Chữ số 0 xuất hiện 9 lần
Mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện 20 lần

Ví dụ 2:

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 999, mỡi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện bao nhiêu lần ?

Lời giải:

Ta xét dãy số từ 000 đến 999 (cho phép số 0 ở vị trí nào cũng được), ta có 1000 số

Bây giờ ta xét từng hàng

Ở hàng đơn vị:

Các chữ số ở hàng đơn vị thay đổi theo thứ tự: 0; 1; 2; ...; 8; 9 rồi lại lặp lại

Ví dụ:

000 đến 009: hàng đơn vị là 0; 1; 2;...; 8; 9
010 đến 019: hàng đơn vị là 0; 1; 2;...; 8; 9

Cứ 10 số thì mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 1 lần ở hàng đơn vị

Mà từ 000 đến 999 có: 1000 : 10 = 100 nhóm như vậy

Vì thế, ở hàng đơn vị, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều xuất hiện 100 lần.

Ở hàng chục:

Trong mỗi nhóm 10 số liên tiếp, hàng chục giữ nguyên

Ví dụ:

000 đến 009: hàng chục đều là 0

010 đến 019: hàng chục đều là 1

020 đến 029: hàng chục đều là 2

...

090 đến 099: hàng chục đều là 9

Như vậy trong dãy từ 000 đến 099, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Từ 000 đến 999 có 10 nhóm 100 số như vậy:

000 đến 099
100 đến 199
200 đến 299
...
900 đến 999

Vì trong mỗi nhóm 100 số, mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng chục, nên cả dãy từ 000 đến 999, mỗi chữ số xuất hiện: 10 x 10 = 100 (lần) ở hàng chục

Ở hàng trăm:

Ta chia dãy thành 10 nhóm:

000 đến 099: hàng trăm là 0
100 đến 199: hàng trăm là 1
200 đến 299: hàng trăm là 2
.....
900 đến 999: hàng trăm là 9

Mỗi nhóm có đúng 100 số, vì thế mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện đúng 100 lần ở hàng trăm

Vậy:

Ở hàng đơn vị: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần
Ở hàng chục: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần
Ở hàng trăm: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần

Do đó, trong dãy từ 000 đến 999, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện: 100 + 100 + 100 = 300 (lần)

Bây giờ xét chữ số 0:

Từ 1 đến 99, chữ số 0 xuất hiện 9 lần

Trong mỗi nhóm 100 số: 100 đến 199, 200 đến 299,...900 đến 999:

Chữ số 0 xuất hiện 10 lần ở hàng chục
Chữ số 0 xuất hiện 10 lần ở hàng đơn vị

Vậy mỗi nhóm có: 10 + 10 = 20 chữ số 0

Có 9 nhóm nên từ 100 đến 999 có: 20 x 9 = 180 chữ số 0

Vậy tổng cộng có: 9 + 180 = 189 (chữ số 0)

Kết luận:

Chữ số 0 xuất hiện 189 lần
Mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện 300 lần

Ví dụ 3:

Cho dãy số: 11; 14; 17; 20; ...; 68

a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng ?

b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2026 là số nào ?

Lời giải:

a) 11; 14; 17; 20; ...; 68

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 3, số đầu là 11 và số cuối là 68

Ta có, số số hạng của dãy số trên là: (68 - 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

b) Áp dụng công thức tính số hạng thứ n của dãy số cách đều: số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách x (n - 1), ta có:

Số hạng thứ 2026 của dãy số trên là: 11 + 3 x (2026 - 1) = 6086

Đáp số: a) 20 số hạng b) 6086

Ví dụ 4:

Trong các số có ba chữ số:

a) Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9 ?

b) Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1 ?

Lời giải:

a) Các số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 là: 108; 126; 144; ...; 972; 990

Các số trên lập thành dãy số cách đều với khoảng cách là 18, số đầu là 108 và số cuối là 990

Vậy số các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là: (990 - 108) : 18 + 1 = 50 (số)

b) Các số có ba chữ số chia 4 dư 1 là: 101; 105; 109; ...; 993; 997

Các số trên lập thành dãy số cách đều với khoảng cách là 4, số đầu là 101 và số cuối là 997

Vậy số các số có ba chữ số chia 4 dư 1 là: (997 - 101) : 4 + 1 = 225 (số)

Đáp số: a) 50 số b) 225 số

Ví dụ 5:

Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2026. Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số?

Lời giải:

Viết các số tự nhiên từ 1 đến 2026 ta được dãy số cách đều như sau: 1; 2; 3; ...; 2024; 2025; 2026. Trong đó:

Dãy các số hạng có 1 chữ số là: 1; 2; 3; ...; 7; 8; 9

Dãy này có: (9 - 1) + 1 = 9 (số hạng)
Số chữ số của dãy này là: 9 x 1 = 9 (chữ số)

Dãy các số hạng có 2 chữ số là: 10; 11; 12; ...; 97; 98; 99

Dãy này có: (99 - 10) + 1 = 90 (số hạng)
Số chữ số của dãy này là: 90 x 2 = 180 (chữ số)

Dãy các số hạng có 3 chữ số là: 100; 101; 102; ...; 997; 998; 999

Dãy này có: (999 - 100) + 1 = 900 (số hạng)
Số chữ số của dãy này là: 900 x 3 = 2700 (chữ số)

Dãy các số hạng có 4 chữ số là: 1000; 1001; 1002; ...; 2024; 2025; 2026

Dãy này có: (2026 - 1000) + 1 = 1027 (số hạng)
Số chữ số của dãy này là: 1027 x 4 = 4108 (chữ số)

Tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 9 + 180 + 2700 + 4108 = 6997 (chữ số)

Vậy người đó đã viết 6997 lượt chữ số

Đáp số: 6997

Ví dụ 6:

Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2026 được viết theo thứ tự liền nhau như sau:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...2024 2025 2026

Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó.

Lời giải:

Cách 1:

Xét dãy số: 0; 1; 2; ...; 1997; 1998; 1999 ta có:

Ta ghép các số cách đều số đầu và số cuối thành từng cặp

0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 +9 + 9 = 28
1 và 1998 có tổng các chữ số là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28
2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28
...
998 và 1001 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 8 + 1 + 0 + 0 + 1 = 28
999 và 1000 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 9 + 1 + 0 + 0 + 0 = 28

Như vậy, mỗi cặp đều có tổng các chữ số bằng 28

Số cặp là: (999 - 0) + 1 = 1000 (cặp)

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 0 đến 1999 là: 28 x 1000 = 28000

Xét tiếp dãy số: 2000; 2001; 2002; ....; 2024; 2025; 2026

Dãy này có: (2026 - 2000) + 1 = 27 (số)

Mỗi số đều có chữ số hàng nghìn là 2 và chữ số hàng trăm là 0, nên tổng các chữ số ở hai hàng này là: 27 x (2 + 0) = 54

Ta còn phải tính tổng các chữ số của hai hàng chục và hàng đơn vị, tức là tổng các chữ số của dãy: 00; 01; 02; ...; 24; 25; 26

Từ 00 đến 09 có tổng các chữ số là: (9 + 1) x 9 : 2 = 45
Từ 10 đến 19 có tổng các chữ số là: 10 x 1 + 45 = 55 (10 chữ số 1 ở hàng chục và hàng đơn vị từ 0 đến 9)
Từ 20 đến 26, tổng các chữ số là: (2 + 0) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4) + (2 + 5)+ (2 + 6) = 35.

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 2000 đến 2026 là: 54 + 45 + 55 + 35 = 189

Do đó, tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189

Cách 2:

Ta tính số lần xuất hiện của từng chữ số trong dãy số từ 1 đến 1999

Xét dãy số từ 000 đến 999

Ta coi mỗi số có đủ 3 chữ số.

Ở hàng đơn vị, chữ số 1 xuất hiện 100 lần
Ở hàng chục, chữ số 1 xuất hiện 100 lần
Ở hàng trăm, chữ số 1 xuất hiện 100 lần

Vậy trong dãy từ 000 đến 999, chữ số 1 xuất hiện: 100 + 100 + 100 = 300 (lần)

Tương tự, với mỗi chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 trong dãy từ 1 đến 999 đều xuất hiện: 300 (lần)

Xét dãy số từ 1000 đến 1999

Có 1000 chữ số 1 ở hàng nghìn
Ba hàng còn lại chạy từ 000 đến 999 nên mỗi chữ số từ 1 đến 9 sẽ xuất hiện thêm 300 lần.

Vậy từ 1000 đến 1999 có: 1000 + 300 = 1300 (chữ số 1)

Mỗi chữ số từ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 đều xuất hiện: 300 (lần)

Do đó, từ 1 đến 1999:

Chữ số 1 có: 300 + 1300 = 1600 (chữ số 1)
Mỗi chữ số từ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 đều xuất hiện: 300 + 300 = 600 (lần)

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 1 đến 1999 là: 1 x 1600 + (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) x 600 = 1600 + 44 x 600 = 28000

Phần còn lại là dãy từ 2000 đến 2026

Theo cách tính ở cách 1, tổng chữ số của dãy này là: 189

Vậy tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189.

Cách 3:

Ta chia dãy từ 1 đến 1999 thành hai nhóm

Nhóm 1: từ 000 đến 9999
Nhóm 2: từ 1000 đến 1999

Xét nhóm 1: từ 000 đến 999

Trong dãy này, ở mỗi hàng (đơn vị, chục, trăm), các chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện đều nhau, mỗi chữ số xuất hiện 100 lần.

Tổng các chữ số ở mỗi hàng là: (0 + 1 + 2 + ... + 8 + 9) x 100 = 45 x 100 = 4500

Vì có 3 hàng nên tổng các chữ số của nhóm 1 là: 4500 x 3 = 13500

Xét nhóm 2: từ 1000 đến 1999

Hàng nghìn có 1000 chữ số 1, nên tổng là: 1000
Ba hàng còn lại chạy từ 000 đến 999 , nên tổng các chữ số là: 13500

Vậy tổng các chữ số của nhóm 2 là: 1000 + 13500 = 14500

Do đó, tổng các chữ số của dãy từ 1 đến 1999 là: 13500 14500 = 28000

Phần còn lại là dãy từ 2000 đến 2026

Theo cách tính ở cách 1, tổng chữ số của dãy này là: 189

Vậy tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189.

Đáp số: 28189

Dạng 4: Dãy số nhân (cấp số nhân)

Dãy số nhân là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên q không đổi hay Tỉ số giữa hai số liên tiếp trong dãy số luôn bằng một số không đổi.

Số không đổi đó được gọi là công bội

Ví dụ: 2, 6, 18, 54, 162 → Là dãy số nhân với công bội = 3.

Công thức:

Ta có công thức sau để tính tổng của dãy số nhân (cấp số nhân) với các số hạng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (công bội lớn hơn 1):

Tổng = (Số cuối x Công bội – Số đầu) : (Công bội – 1)

Ví dụ 1:

Tính tổng của dãy số sau: 9; 27; 81; 243; 729

Lời giải:

Từ dãy trên ta thấy:

27 = 9 x 3
81 = 27 x 3
243 = 81 x 3

Quy luật của dãy số trên là: các số hạng (từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 3

→ Đây là dãy số nhân với công bội bằng 3

Cách 1:

Đặt S = 9 + 27 + 81 + 243 + 729, ta có:

S x 3 = (9 + 27 + 81 + 243 + 729) x 3 = 27 + 81 + 243 +729 + 2187

Do đó:

S x 3 – S = (27 + 81 + 243 + 729 + 2187) - (9 + 27 + 81 + 243 + 729)

S x 2 = 2187 – 9

S = (729 x 3 - 9) : 2

S = 1089.

Cách 2: Sử dụng công thức tính tổng của dãy số nhân Tổng = (Số cuối x Công bội – Số đầu) : (Công bội – 1)

Dãy số trên là dãy số nhân với công bội bằng 3, nên ta có:

Tổng các số hạng của dãy trên là: (729 x 3 - 9) : (3 - 1) = 1089

Đáp số: 1089