HomeStudyTrước khi bắt đầu
Từ lớp 6 em đã viết "chu vi hình chữ nhật bằng \(2(a + b)\)": một công thức có chữ, dùng được cho mọi hình chữ nhật. Bài này gọi tên chính xác cho những biểu thức có chữ như vậy: biểu thức đại số. Đây là bài mở đầu của Chương VII, mọi bài về đa thức phía sau đều dựa vào nó. Học xong bài này, em làm được:
- Phân biệt biểu thức số, biểu thức đại số; chỉ ra biến; viết biểu thức đúng quy ước.
- Chuyển một câu lời văn hoặc một tình huống thực tế thành biểu thức đại số.
- Thu gọn biểu thức đơn giản bằng các tính chất của phép tính.
- Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến, kể cả số âm và phân số (các bài có điều kiện ràng buộc giữa các biến luyện ở bài Các dạng bài và ví dụ, Dạng 6).
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Thứ tự thực hiện phép tính Lớp 7 · Bài 4
Trong ngoặc trước; rồi lũy thừa; rồi nhân, chia; sau cùng là cộng, trừ. Ví dụ \(5 - 2 \cdot 3^2 = 5 - 2 \cdot 9 = 5 - 18 = -13\).
2. Lũy thừa của số âm Lớp 7 · Bài 3
\((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\), còn \(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\). Dấu ngoặc quyết định cơ số là \(-3\) hay là \(3\).
3. Tính chất phân phối và quy tắc dấu ngoặc Lớp 7 · Bài 2
\(a(b + c) = ab + ac\). Bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước thì đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc: \(-(a - b + c) = -a + b - c\).
4. Giá trị tuyệt đối Lớp 7 · Bài 7
\(\lvert -2{,}5 \rvert = 2{,}5\). Nếu \(\lvert x \rvert = 3\) thì \(x = 3\) hoặc \(x = -3\).
1Biểu thức số và biểu thức đại số Lớp 7
Định nghĩa
Các số, các chữ nối với nhau bởi dấu của các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) làm thành một biểu thức.
- Biểu thức số: biểu thức không chứa chữ. Ví dụ: \(4 \cdot 3^2 - 5\); \(\dfrac{1}{2} + 0{,}7\).
- Biểu thức đại số: tên gọi chung cho biểu thức chỉ chứa số, hoặc chỉ chứa chữ, hoặc chứa cả số và chữ. Ví dụ: \(2x + 3\); \(a\); \(x^2 - xy + 1\).
- Biến: các chữ trong biểu thức đại số, dùng để đại diện cho những số nào đó, gọi là biến số (gọi tắt là biến). Biểu thức \(x^2 - xy + 1\) có hai biến là \(x\) và \(y\).
- Chú ý: biểu thức số cũng là biểu thức đại số (loại không có biến).
Vì biến đại diện cho số, ta có thể cho biến nhận một số cụ thể rồi tính. Mỗi lần đổi số, biểu thức cho một kết quả mới (Hình 1).
Quy ước viết biểu thức đại số
- Không viết dấu nhân giữa các chữ, giữa số và chữ: \(x \cdot y\) viết là \(xy\); \(7 \cdot a\) viết là \(7a\).
- Số viết trước chữ: \(x \cdot 3\) viết là \(3x\), không viết \(x3\).
- Không viết thừa số 1: \(1 \cdot x\) viết là \(x\); \((-1) \cdot x\) viết là \(-x\).
- Dấu ngoặc vẫn dùng để chỉ thứ tự thực hiện phép tính, như với biểu thức số: \((a + b) \cdot 2\) viết là \(2(a + b)\).
- Giữa hai số vẫn phải viết dấu nhân: \(2 \cdot 5\) không viết thành \(25\).
Vì sao số viết trước chữ?
Phép nhân có tính chất giao hoán nên \(x \cdot 3 = 3 \cdot x\). Viết \(3x\) đọc là "ba lần \(x\)", còn viết \(x3\) rất dễ nhầm với \(x^3\) hoặc \(x_3\).
Ví dụ 1 (đề cương TĐN, Ví dụ 1)
a) Viết biểu thức thể hiện diện tích hình chữ nhật với chiều dài \(x\) mét và chiều rộng \(y\) mét.
b) Viết biểu thức thể hiện tổng số tiền bạn Tài chi trả cho hóa đơn gồm \(x\) cây viết (5 000 đồng/cây) và \(y\) cục tẩy (3 000 đồng/cục). Tính số tiền khi \(x = 4\), \(y = 2\).
Lời giải:
a) Diện tích bằng dài nhân rộng: \(x \cdot y\), viết gọn là \(xy\) (mét vuông).
b) Tiền từng loại: \(x\) cây viết hết \(5\,000x\) đồng
\(y\) cục tẩy hết \(3\,000y\) đồng.
Tổng số tiền là \(5\,000x + 3\,000y\) (đồng).
Thay số: \(5\,000 \cdot 4 + 3\,000 \cdot 2 = 26\,000\) (đồng).
Đáp số: a) \(xy\); b) \(5\,000x + 3\,000y\), bằng 26 000 đồng
"\(4 \cdot 3^2 - 5\) không có chữ nên không phải biểu thức đại số."
Biểu thức số cũng là biểu thức đại số. "Biểu thức đại số" là tên gọi chung, gồm cả biểu thức có chữ lẫn biểu thức không có chữ.
Ghi nhớ
CHỮ = BIẾN = ĐẠI DIỆN CHO SỐ · SỐ VIẾT TRƯỚC CHỮ, KHÔNG VIẾT DẤU NHÂN
2Từ lời văn sang biểu thức Lớp 7
📘 Bảng chuyển lời văn thành biểu thức
| Lời văn | Biểu thức |
|---|---|
| Tổng, hiệu, tích, thương của \(a\) và \(b\) | \(a + b\); \(a - b\); \(ab\); \(\dfrac{a}{b}\) (với \(b \ne 0\)) |
| Bình phương, lập phương của \(a\) | \(a^2\); \(a^3\) |
| Số tự nhiên chẵn; số tự nhiên lẻ | \(2k\); \(2k + 1\) (với \(k \in \mathbb{N}\)) |
| Hai số nguyên liên tiếp | \(n\) và \(n + 1\) (với \(n \in \mathbb{Z}\)) |
| Số tự nhiên chia cho 3 dư 2 | \(3k + 2\) (với \(k \in \mathbb{N}\)) |
Bảng này không cần học thuộc: dòng nào em cũng tự kiểm tra lại được bằng cách thay \(k = 0; 1; 2\).
Quy tắc đọc câu có hai phép tính
- Phép tính được gọi tên đầu câu là phép tính làm sau cùng.
- "Bình phương của tổng \(a\) và \(b\)": tính tổng trước, bình phương sau, nên tổng phải nằm trong ngoặc: \((a + b)^2\).
- "Tổng các bình phương của \(a\) và \(b\)": bình phương từng số trước, cộng sau: \(a^2 + b^2\).
Vì sao phải phân biệt?
Thử với \(a = 1\), \(b = 2\): \((a + b)^2 = 3^2 = 9\), còn \(a^2 + b^2 = 1 + 4 = 5\). Hai biểu thức cho hai kết quả khác nhau, nên chúng là hai biểu thức khác nhau.
Ví dụ 2
Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Hiệu các bình phương của \(a\) và \(b\).
b) Bình phương của hiệu \(a\) và \(b\).
c) Tổng của \(a\) và bình phương của \(b\).
Lời giải:
a) Bình phương trước, trừ sau: \(a^2 - b^2\).
b) Trừ trước (trong ngoặc), bình phương sau: \((a - b)^2\).
c) Chỉ bình phương \(b\), rồi cộng với \(a\): \(a + b^2\).
Thử bằng số (với \(a = 1\), \(b = 2\)): ba biểu thức lần lượt bằng \(-3; 1; 5\).
Ba kết quả khác nhau nên ba câu thật sự khác nhau.
Đáp số: a) \(a^2 - b^2\); b) \((a - b)^2\); c) \(a + b^2\)
"Bình phương của tổng \(a\) và \(b\)" viết thành \(a^2 + b^2\) (bình phương từng số rồi cộng).
Viết \((a + b)^2\). Với \(a = 1\), \(b = 2\): \((a + b)^2 = 9\) còn \(a^2 + b^2 = 5\).
Ghi nhớ
PHÉP TÍNH GỌI TÊN ĐẦU CÂU → LÀM SAU CÙNG → PHẦN CÒN LẠI ĐẶT TRONG NGOẶC
3Tính toán với biến và thu gọn biểu thức Lớp 7
Tính chất
Vì biến đại diện cho số nên khi tính toán với biến, ta dùng được mọi tính chất và quy tắc của phép tính trên số: giao hoán, kết hợp, phân phối, quy tắc dấu ngoặc.
- Cộng các số hạng giống nhau: \(x + x = 2x\); \(3x + 5x = (3 + 5)x = 8x\).
- Nhân: \(x \cdot x = x^2\); \(xy = yx\).
- Phân phối: \(2(x + 3) = 2x + 6\).
- Bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước: đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc: \(-(x - y) = -x + y\).
Vì sao cộng được?
\(3x + 5x\) là "3 lần \(x\) cộng 5 lần \(x\)", tất cả là 8 lần \(x\). Viết bằng tính chất phân phối: \(3x + 5x = (3 + 5)x = 8x\). Còn \(3x + 2\) thì không gộp được, vì \(2\) không phải là "mấy lần \(x\)".
Ví dụ 3
Thu gọn các biểu thức:
a) \(7x - 2x + x\)
b) \(3(x + 2y) - (x - y)\)
Lời giải:
a) Gộp các số hạng chứa \(x\): \(7x - 2x + x = (7 - 2 + 1)x = 6x\).
b) Bỏ ngoặc: \(3(x + 2y) - (x - y) = 3x + 6y - x + y\).
Gộp theo từng biến: \((3x - x) + (6y + y) = 2x + 7y\).
Kiểm tra lại (với \(x = 1\), \(y = 2\): biểu thức ban đầu bằng \(3 \cdot 5 - (-1) = 16\), biểu thức thu gọn bằng \(2 + 14 = 16\) ✓).
Đáp số: a) \(6x\); b) \(2x + 7y\)
\(3x + 2 = 5x\) (cộng số 3 với số 2 rồi viết thêm \(x\)).
\(3x + 2\) không thu gọn được nữa. Thử \(x = 2\): \(3x + 2 = 8\), còn \(5x = 10\).
\(-(x - y) = -x - y\) (chỉ đổi dấu số hạng đầu).
\(-(x - y) = -x + y\): đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc.
Ghi nhớ
BIẾN LÀ SỐ: TÍNH CHẤT NÀO CỦA SỐ CŨNG DÙNG ĐƯỢC CHO BIẾN
4Giá trị của biểu thức đại số Lớp 7
Quy tắc
Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.
- Thay đủ: biến xuất hiện mấy lần thì thay đủ bấy nhiêu chỗ.
- Đặt ngoặc: giá trị là số âm hoặc phân số thì đặt trong ngoặc khi thay.
- Viết lại dấu nhân: \(3x\) tại \(x = -2\) là \(3 \cdot (-2)\), không phải \(3 - 2\).
- Tính đúng thứ tự: ngoặc → lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ.
Tính giá trị: hiểu \(A = 2x^2 - 3x + 1\) tại \(x = -3\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \(2x^2\) là \(2 \cdot x \cdot x\) (chỉ \(x\) được bình phương), \(3x\) là \(3 \cdot x\).
Biến \(x\) xuất hiện ở hai chỗ.
- Bước 2
Thay số, có ngoặc. \(A = 2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 1\).
- Bước 3
Tính theo thứ tự. Lũy thừa trước: \((-3)^2 = 9\).
Rồi nhân: \(2 \cdot 9 = 18\) và \(3 \cdot (-3) = -9\).
Sau cùng: \(A = 18 - (-9) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28\).
- Bước 4
Tự soát. \(x^2\) không bao giờ âm, nên \(2x^2\) phải ra số không âm: \(18\) ✓.
Nếu ra \(-18\) là đã quên ngoặc.
Ví dụ 4 (tự kiểm tra)
Tính giá trị của biểu thức \(B = x^2y - 3xy\) tại \(x = 2\) và \(y = -\dfrac{1}{4}\).
Lời giải:
Thay số: \(B = 2^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) - 3 \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right)\).
Tính từng số hạng: \(2^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1\)
\(3 \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{3}{2}\).
Trừ: \(B = -1 - \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\).
Đáp số: \(B = \dfrac{1}{2}\)
Thay \(x = -3\) vào \(2x^2\) mà không đặt ngoặc: \(2 \cdot -3^2 = 2 \cdot (-9) = -18\).
\(2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18\). Số được bình phương là \(-3\), cả dấu trừ.
Ghi nhớ
THAY SỐ ÂM, PHÂN SỐ: LUÔN ĐẶT TRONG NGOẶC
🔗 Liên hệ
Các công thức em đã dùng đều là biểu thức đại số: \(y = ax\) của đại lượng tỉ lệ thuận (Bài 22), chu vi hình chữ nhật \(2(a + b)\). Bài 25 sẽ học một loại biểu thức đại số đặc biệt chỉ có một biến: đa thức một biến. Kĩ năng thay số và thu gọn của bài này dùng suốt Chương VII.
Tổng kết
Điều cần nhớ
- Biểu thức số không chứa chữ. Biểu thức đại số là tên gọi chung (có chữ hoặc không); các chữ gọi là biến, đại diện cho số.
- Quy ước viết: không viết dấu nhân giữa số và chữ, giữa các chữ; số viết trước chữ; không viết thừa số 1.
- Chuyển lời thành biểu thức: phép tính gọi tên đầu câu làm sau cùng; \((a + b)^2\) khác \(a^2 + b^2\).
- Tính toán với biến dùng mọi tính chất của số: \(3x + 5x = 8x\), \(2(x + 3) = 2x + 6\), \(-(x - y) = -x + y\).
- Tính giá trị: thay đủ mọi chỗ có biến, số âm và phân số đặt trong ngoặc, tính đúng thứ tự.
Một số, ví dụ số 5, có phải là biểu thức đại số không?
Có. Một số là một biểu thức số, mà biểu thức số cũng là biểu thức đại số. Một chữ đứng riêng như \(x\) cũng là một biểu thức đại số.
\(2x + 3\) và \(2(x + 3)\) có giống nhau không?
Không. Tại \(x = 1\): \(2x + 3 = 5\) còn \(2(x + 3) = 8\). Dấu ngoặc làm đổi thứ tự phép tính: \(2(x + 3) = 2x + 6\).
Có phải lúc nào cũng thay được số vào biểu thức không?
Không hẳn. Biểu thức có biến ở mẫu chỉ tính được khi mẫu khác 0. Ví dụ \(\dfrac{1}{x - 2}\) không có giá trị tại \(x = 2\), vì khi đó mẫu bằng 0.