Biểu thức đại số — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) Tìm chữ: \(4 \cdot 3^2 - 5\) không có chữ nên là biểu thức số (giá trị của nó là 31).

Biểu thức \(2x - 1\) có biến \(x\)

Biểu thức \(a\) có biến \(a\)

Biểu thức \(\dfrac{x + y}{2}\) có hai biến \(x\) và \(y\).

Cả bốn đều là biểu thức đại số.

b) Viết gọn: \(x \cdot 5 \cdot y = 5xy\)

\(1 \cdot a \cdot b = ab\)

\((-1) \cdot m = -m\)

\((x - 1) \cdot 4 = 4(x - 1)\).

Đáp số: a) \(4 \cdot 3^2 - 5\); b) \(5xy\); \(ab\); \(-m\); \(4(x - 1)\)

Lời giải:

a) Lập phương \(b\) trước, trừ sau: \(a - b^3\) (thử \(a = 3\), \(b = 1\): \(3 - 1 = 2\) ✓).

b) Trừ trước, lập phương sau: \((a - b)^3\) (thử \(a = 3\), \(b = 1\): \(2^3 = 8\) ✓, khác câu a).

c) Hai cụm được nhân với nhau: \((x + y)(x - y)\), mỗi cụm trong một ngoặc, xem Hình 3 (thử \(x = 5\), \(y = 2\): \(7 \cdot 3 = 21\) ✓).

d) Hai số chẵn bất kì, mỗi số một chữ: \(2m + 2n\) với \(m, n \in \mathbb{N}\) (thử \(m = 1\), \(n = 2\): \(2 + 4 = 6\) ✓).

e) Chia cho 4 dư 3: \(4k + 3\) với \(k \in \mathbb{N}\) (thử \(k = 2\): \(11 = 4 \cdot 2 + 3\) ✓).

f) Ba số liên tiếp có số giữa là \(n\): đó là \(n - 1\), \(n\), \(n + 1\).

Tổng: \((n - 1) + n + (n + 1) = 3n\) (thử \(n = 5\): \(4 + 5 + 6 = 15\) ✓).

Đáp số: a) \(a - b^3\); b) \((a - b)^3\); c) \((x + y)(x - y)\); d) \(2m + 2n\); e) \(4k + 3\); f) \(3n\)

Lời giải:

Viết số theo các chữ số: số có hai chữ số \(\overline{ab}\) bằng \(10a + b\) (ví dụ \(47 = 10 \cdot 4 + 7\)).

Tương tự \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\) và \(\overline{cba} = 100c + 10b + a\).

Trừ và thu gọn: \(\overline{abc} - \overline{cba}\)

\(= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a\)

\(= 99a - 99c = 99(a - c)\).

Kiểm tra lại: \(731 - 137 = 594\) và \(99 \cdot (7 - 1) = 594\) ✓.

Đáp số: \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a - c)\)

Lời giải:

a) Từng phần: tiền cam \(30x\), tiền táo \(45y\) (nghìn đồng).

Tổng: \(30x + 45y\) (nghìn đồng).

Thay số: \(30 \cdot 2 + 45 \cdot 3 = 60 + 135 = 195\) (nghìn đồng).

b) Từng phần: giờ đầu 5 nghìn đồng

Còn lại \(t - 1\) giờ, mỗi giờ 3 nghìn đồng, hết \(3(t - 1)\).

Tổng: \(5 + 3(t - 1)\) (nghìn đồng), thu gọn được \(3t + 2\).

Thay \(t = 4\)

\(5 + 3 \cdot 3 = 14\) (nghìn đồng).

Thử lại bằng cách đếm từng giờ: \(5 + 3 + 3 + 3 = 14\) ✓.

c) Chiều dài: \(x + 3\) (m).

Chu vi: \(2(x + x + 3) = 4x + 6\) (m).

Diện tích: \(x(x + 3)\) (mét vuông).

Thử lại (với \(x = 5\) thì dài 8 m: chu vi \(2 \cdot 13 = 26\) và \(4 \cdot 5 + 6 = 26\) ✓, diện tích \(5 \cdot 8 = 40\) ✓).

d) Thay số: \(s = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45\) (m).

Lũy thừa tính trước phép nhân.

Đáp số: a) \(30x + 45y\), 195 nghìn đồng; b) \(5 + 3(t - 1)\), 14 nghìn đồng; c) \(4x + 6\) và \(x(x + 3)\); d) 45 m

Lời giải:

a) Thay số: \(M = -(-3)^2 + 4 \cdot (-3) - 1\)

\(= -9 - 12 - 1 = -22\).

Dấu trừ trước \(x^2\) không nằm trong lũy thừa: \(-x^2\) là số đối của \(x^2\).

b) Thay số: \(N = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 - \left\lvert -\dfrac{1}{2} \right\rvert + 3\)

\(= 2 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 3 = 3\).

c) Tính từng số hạng: \(xy^2 = (-2) \cdot 3^2 = -18\)

\(x^2y = (-2)^2 \cdot 3 = 12\).

Vậy \(P = -18 - 12 = -30\).

d) Tại \(b = \dfrac{1}{3}\): \(Q = 9 \cdot \dfrac{1}{9} - 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 1 - 2 = -1\).

Tại \(b = -\dfrac{1}{3}\): \(Q = 9 \cdot \dfrac{1}{9} - 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 1 + 2 = 3\).

Đáp số: a) \(-22\); b) \(3\); c) \(-30\); d) \(-1\) và \(3\)

Lời giải:

a) Gộp: \(12x - 7x - 20x\) \(= (12 - 7 - 20)x = -15x\).

Thử \(x = 1\)

\(12 - 7 - 20 = -15\) ✓.

b) Bỏ ngoặc: \(3(2x - x^2) - 2(x^2 - 4x)\)

\(= 6x - 3x^2 - 2x^2 + 8x\).

Gom cùng loại: \((-3x^2 - 2x^2) + (6x + 8x)\) \(= -5x^2 + 14x\).

Thử \(x = 1\)

Biểu thức ban đầu bằng \(3 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 9\)

Biểu thức thu gọn bằng \(-5 + 14 = 9\) ✓.

c) Thu gọn trước: \(4(x - 2) - (3x - 5)\)

\(= 4x - 8 - 3x + 5 = x - 3\).

Thay \(x = 2{,}5\)

\(2{,}5 - 3 = -0{,}5\).

Thử lại bằng biểu thức ban đầu: \(4 \cdot 0{,}5 - 2{,}5 = -0{,}5\) ✓.

Đáp số: a) \(-15x\); b) \(-5x^2 + 14x\); c) \(-0{,}5\)

Lời giải:

a) Đặt \(k\): \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{3} = k\) (\(k \ne 0\)) thì \(x = 4k\) và \(y = 3k\).

Khi đó \(x^2 = 16k^2\) và \(y^2 = 9k^2\).

Thay vào: \(A = \dfrac{16k^2 + 9k^2}{16k^2 - 9k^2} = \dfrac{25k^2}{7k^2} = \dfrac{25}{7}\).

b) Quy đồng từng ngoặc: \(B = \dfrac{x + y}{y} \cdot \dfrac{y + z}{z} \cdot \dfrac{z + x}{x}\).

Dùng \(x + y + z = 0\): ta có \(x + y = -z\) và \(y + z = -x\) và \(z + x = -y\).

Vậy \(B = \dfrac{(-z)(-x)(-y)}{yzx} = \dfrac{-xyz}{xyz} = -1\) (thử \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = -3\): \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot (-2) = -1\) ✓).

c) Viết \(100 = x + 1\) (Hình 4): \(C = x^3 - (x + 1)x^2 + (x + 1)x - 50\).

Nhân phân phối: \(C = x^3 - x^3 - x^2 + x^2 + x - 50\) \(= x - 50\).

Thay \(x = 99\)

\(C = 49\).

d) Xét dấu: \(x^2 = 9\) trong mọi trường hợp.

Nếu \(x, y\) cùng dấu thì \(xy = 3\) nên \(D = 9 - 6 = 3\).

Nếu \(x, y\) trái dấu thì \(xy = -3\) nên \(D = 9 + 6 = 15\).

e) Đánh giá: \((x + 1)^2 \ge 0\) và \(\lvert y - 2 \rvert \ge 0\) với mọi \(x, y\), nên \(E \ge 0 + 0 - 4 = -4\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x + 1 = 0\) và \(y - 2 = 0\), tức là khi \(x = -1\) và \(y = 2\).

Đáp số: a) \(\dfrac{25}{7}\); b) \(-1\); c) \(49\); d) \(3\) hoặc \(15\); e) \(-4\), khi \(x = -1\), \(y = 2\)