EduLearnBài Toán Về Công Việc Chung - Việc Riêng
Cách giải tổng quát:
Bước 1: Quy ước toàn bộ công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị
Ví dụ: toàn bộ bức tường cần xây xong, toàn bộ chiều dài đoạn đường cần làm, toàn bộ thể tích bể cần vòi chảy vào, toàn bộ công việc cần làm.
Bước 2: Tính năng suất = phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian (ngày/giờ/phút…)
Công thức: Năng suất = 1 : thời gian
- Nếu người A làm xong công việc trong a giờ thì năng suất của người A là: 1 : a = \(\frac{1}{a}\) (trong 1 giờ, người A làm được \(\frac{1}{a}\) công việc)
- Nếu người B làm xong công việc trong b giờ thì năng suất của người A là: 1 : b = \(\frac{1}{b}\) (trong 1 giờ, người B làm được \(\frac{1}{b}\) công việc)
- Nếu 2 người làm chung xong công việc trong t giờ thì năng suất của cả 2 người là: 1: t = \(\frac{1}{t}\) (Trong 1 giờ, cả 2 người làm được \(\frac{1}{t}\) công việc)
Bước 3: Xét mối quan hệ
- Làm chung (cùng làm): Năng suất chung = tổng các năng suất riêng.
- Nếu A và B cùng làm chung thì năng suất chung của cả 2 sẽ là: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\) (cả A và B cùng làm trong 1 giờ sẽ làm được \(\frac{1}{t}\) công việc)
- Làm riêng: năng suất riêng (chưa biết) = năng suất chung - năng suất riêng (đã biết)
- Nếu biết năng suất chung của cả A và B cùng làm xong công việc, và năng suất của A khi làm một mình xong công việc, khi đó năng suất của B khi làm xong công việc đó một mình sẽ là: \( \frac{1}{t} - \frac{1}{a} = \frac{1}{b}\) (B trong một giờ sẽ làm được \(\frac{1}{b}\) công việc)
Bước 4: Tìm thời gian hoàn thành
Lấy 1 chia cho năng suất tương ứng với đại lượng cần tính (phần việc làm trong một đơn vị thời gian).
Công thức: Thời gian = 1 : năng suất
- Thời gian cần để A hoàn thành xong công việc một mình là: \( 1 \div \frac{1}{a} = a\) (giờ).
- Thời gian cần để B hoàn thành xong công việc một mình là: \( 1 \div \frac{1}{b} = b\) (giờ).
- Thời gian cần để cả A và B cùng làm chung và hoàn thành xong công việc là: \( 1 \div \frac{1}{t} = t\) (giờ).
Chú ý:
- Nếu công việc chia theo giai đoạn, cần tính chi tiết phần việc đã làm của từng giai đoạn.
- Đơn vị: Đảm bảo thời gian (giờ/ngày/phút) nhất quán trong toàn bài.
Ghi chú: Đổi phân số thành thời gian (giờ, phút, gây)
- Chuyển phân số thành hỗn số hoặc chia tử cho mẫu: Phần nguyên là số giờ.
- Đổi phần phân số (hoặc thập phân) sang phút: Lấy phần phân số dư nhân với 60, kết quả là số phút.
- Đổi phần phân số phút sang giây (nếu có): Nếu số phút vẫn là phân số, lấy phần phân số đó nhân tiếp với 60 để ra số giây.
Ví dụ: Đổi \(\frac{12}{5}\) ra giờ và phút
\(\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}\) → phần nguyên là 2 → 2 giờ.
hoặc: 12 : 5 = 2,4 → phần nguyên là 2 → 2 giờ.
\(\frac{2}{5} \times 60 = 24 \) → 24 phút
hoặc: 0,4 x 60 = 24 → 24 phút
Vậy \(\frac{12}{5}\) = 2 giờ 24 phút.
Ví dụ 1:
Hai người thợ nhận làm chung một công việc. Người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 4 giờ. Người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 6 giờ. Hỏi cả hai người cùng làm thì hoàn thành công việc đó mất bao lâu?
Lời giải:
Bước 1: Quy ước toàn bộ công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị
Bước 2: Tính năng suất = phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian (ngày/giờ/phút…)
Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được: \( 1 \div 4 = \frac{1}{4}\) (công việc)
Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được: \( 1 \div 6 = \frac{1}{6}\) (công việc)
Bước 3: Xét mối quan hệ
Trong 1 giờ cả hai người cùng làm chung được: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}\) (công việc)
Bước 4: Tìm thời gian hoàn thành
Thời gian để cả 2 người cùng làm chung làm xong công việc là: \( 1 \div \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \) (giờ) = 2 giờ 24 phút.
(\( \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}\) → 2 giờ, \( \frac{2}{5} \times 60 = 24\) → 24 phút)
Đáp số: 2 giờ 24 phút.
Ví dụ 2:
Người thứ nhất đi từ A đến B hết 7 giờ. Người thứ hai đi từ B về A thì hết 5 giờ. Hỏi nếu cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A và người thứ hai đi từ B thì sau bao lâu họ gặp nhau?
Lời giải:
Ta quy ước quãng đường AB là 1 đơn vị.
Trong 1 giờ người thứ nhất đi được: \( 1 \div 7 = \frac{1}{7}\) (quảng đường AB)
Trong 1 giờ người thứ hai đi được: \( 1 \div 5 = \frac{1}{5}\) (quảng đường AB)
Trong 1 giờ cả hai người cùng đi người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B về A thì đi được:
\(\frac{1}{7} + \frac{1}{5} = \frac{12}{35}\) (quảng đường AB)
Khi 2 người gặp nhau thì độ dài quảng đường 2 người đi được cũng chính là độ dài quảng đường AB
Vậy, thời gian cả hai người cùng đi đến lúc họ gặp nhau là: \( 1 \div \frac{12}{35} = \frac{35}{12} \) (giờ) = 2 giờ 55 phút.
(\( \frac{35}{12} = 2\frac{11}{12}\) → 2 giờ, \( \frac{11}{12} \times 60 = 55\) → 55 phút)
Đáp số: 2 giờ 55 phút
Ví dụ 3:
Cả ba vòi nước cùng chảy vào một cái bể sau 3 giờ thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình thì phải mất 8 giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy một mình thì phải mất 12 giờ mới đầy bể. Hỏi vòi thứ ba chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể?
Lời giải:
Ta quy ước thể tích của bể là 1 đơn vị.
Trong 1 giờ cả ba vòi cùng chảy được: \( 1 \div 3 = \frac{1}{3}\) (bể nước)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: \( 1 \div 8 = \frac{1}{8}\) (bể nước)
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được: \( 1 \div 12 = \frac{1}{12}\) (bể nước)
Trong 1 giờ cả vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy được: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{5}{24}\) (bể nước)
Trong 1 giờ vòi thứ ba chảy được: \( \frac{1}{3} - \frac{5}{24} = \frac{1}{8}\) (bể nước)
Thời gian thời vòi thứ ba chảy một mình đầy bể là: \( 1 \div \frac{1}{8} = 8\) (giờ)
Đáp số: 8 giờ.
Ví dụ 4:
Có một công việc, nếu Sơn làm một mình thì hết 10 giờ; nếu Dương làm một mình thì hết 15 giờ. Lúc đầu, Sơn làm rồi nghỉ sau đó Dương làm tiếp cho đến khi xong việc. Hai bạn làm hết 11 giờ. Hỏi mỗi bạn làm trong mấy giờ?
Lời giải:
Ta quy ước công việc cần xong là 1 đơn vị.
Mỗi giờ Sơn làm được số phần công việc là: \( 1 \div 10 = \frac{1}{10}\) (công việc)
Mỗi giờ Dương làm được số phần công việc là: \( 1 \div 15= \frac{1}{15}\) (công việc)
Giả sử Dương làm một mình trong cả 11 giờ thì làm được số phần công việc là: \( \frac{1}{15} \times 11 = \frac{11}{15}\) (công việc)
(bài này áp dung thêm phương pháp giả thiết tạm để giải, xem lại chủ đề giả thiết tạm)
Khi đó số phần công việc còn lại chưa làm xong là: \( 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}\) (công việc)
Sở dĩ có phần công việc chưa làm xong là do ta thấy số giờ Sơn làm bằng số giờ Dương làm.
Mỗi giờ Sơn làm được nhiều hơn Dương là: \( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}\) (công việc)
Thời gian Sơn làm là: \( \frac{4}{15} \div \frac{1}{30} = 8\) (giờ)
Thời gian Dương làm là: 11 - 8 = 3 (giờ)
Đáp số: Sơn 8 giờ, Dương 3 giờ.