Bài Toán Liên Quan Tới Trung Bình Cộng

Trung Bình Cộng

Số trung bình cộng là giá trị đại diện cho nhiều số. Muốn tìm trung bình cộng của hai hay nhiều số, ta lấy tổng các số đó chia cho số các số hạng.

Ý nghĩa trực quan của trung bình cộng là san đều. Nếu gom tất cả rồi chia đều lại cho các phần như nhau thì mỗi phần chính là số trung bình cộng

Công thức cần nhớ:

Trung bình cộng = Tổng các số hạng : Số các số hạng
Trung bình cộng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) : 2

→ Nếu dãy số cách đều có số lẻ phần tử thì trung bình cộng chính là số đứng giữa

Cách giải tổng quát:

Bước 1: Đọc kĩ đề, xác định có bao nhiêu số hoặc bao nhiêu đối tượng cần xét.
Bước 2: Xác định đề bài hỏi trung bình cộng, tổng, số số hạng hay một số chưa biết.
Bước 3: Chọn công thức phù hợp; nếu là bài toán có lời văn thì đổi về tổng hoặc số phần.
Bước 4: Kiểm tra kết quả xem có hợp lí không: trung bình cộng thường nằm giữa số lớn nhất và số bé nhất.

Ví dụ: Tìm số trung bình cộng của 24, 36 và 45.

Lời giải:

Bước 1: Đọc kĩ đề, xác định có bao nhiêu số hoặc bao nhiêu đối tượng cần xét.

→ Có 3 số: 24, 36 và 45

Bước 2: Xác định đề bài hỏi trung bình cộng, tổng, số số hạng hay một số chưa biết.

→ Tìm số trung bình cộng

Bước 3: Chọn công thức phù hợp; nếu là bài toán có lời văn thì đổi về tổng hoặc số phần.

→ Công thức: Trung bình cộng = Tổng các số hạng : Số các số hạng

Tổng ba số là: 24 + 36 + 45 = 105

Số trung bình cộng là: 105 : 3 = 35

Bước 4: Kiểm tra kết quả xem có hợp lí không: trung bình cộng thường nằm giữa số lớn nhất và số bé nhất.

→ 24 < 35 < 45 → thỏa mãn

Đáp số: 35

Dạng 1: Tìm số trung bình cộng của các số

Đây là dạng cơ bản nhất. Chỉ cần cộng tất cả các số hạng rồi chia cho số các số hạng

Bước 1: Tính tổng các số hạng
Bước 2: Chia tổng đó cho số các số hạng

Ví dụ: Trong 4 ngày, một cửa hàng bán được lần lượt 18 kg, 22 kg, 25 kg và 15 kg gạo. Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Lời giải:

Tổng số gạo bán trong 4 ngày là: 18 + 22 + 25 + 15 = 80 (kg).

Trung bình mỗi ngày bán được: 80 : 4 = 20 (kg).

Đáp số: 20 kg.

Dạng 2: Trung bình cộng của dãy số cách đều

Dãy số cách đều là tập hợp các số hạng được sắp xếp theo thứ tự, trong đó hiệu của hai số hạng liền kề liên tiếp luôn là một số không đổi (gọi là khoảng cách)

Ví dụ: 2, 5, 8, 11, 14 → Là dãy số tăng đều với khoảng cách = 3.

✓ Các công thức cần nhớ của DÃY SỐ CÁCH ĐỀU:

Cách giải tổng quát dạng 2:

Bước 1: Tìm trung bình cộng của dãy số.
- Trung bình cộng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) : 2
Bước 2: Ta có:
- Nếu số số hạng của dãy là lẻ: Trung bình cộng của dãy là giá trị của số ở chính giữa.
- Nếu số số hạng của dãy là chẵn: 2 số ở chính giữa của dãy lần lượt là 2 số ở gần trung bình cộng nhất.
Bước 3: Tìm các số còn lại của dãy và thực hiện yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 1: Tính trung bình cộng của tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 2.

Lời giải:

Các số cần xét là: 100, 102, 104, ..., 996, 998 → đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 2

Trung bình cộng là: (100 + 998) : 2 = 549.

Đáp số: 549.

Ví dụ 2: Một dãy gồm các số chẵn liên tiếp có trung bình cộng là 26, số cuối hơn số đầu 16 đơn vị.

Tìm số đầu và số cuối.

Lời giải:

Tổng số đầu và số cuối là: 26 × 2 = 52.

Ta có bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu: tổng là 52, hiệu là 16.

Số cuối là: (52 + 16) : 2 = 34.

Số đầu là: 52 - 34 = 18.

Đáp số: số đầu 18, số cuối 34.

Ví dụ 3:

Tổng của 5 số chẵn liên tiếp là 40. Tính số lớn nhất.

Lời giải:

Trung bình cộng của 5 số chẵn đó là: 40 : 5 = 8.

Vì 5 là số lẻ nên trung bình cộng của 5 số bằng giá trị của số ở chính giữa.

Vậy số thứ 3 trong dãy 5 số chẵn là số 8.

Các số liền sau sẽ là: 8; 10 ; 12

Số lớn nhất là 12

Đáp số: 12.

Ví dụ 4: Tổng của 6 số chẵn liên tiếp là 138. Tìm số nhỏ nhất trong 6 số đó.

Lời giải:

Trung bình cộng của 6 số đó là 138 : 6 = 23.

Vì 6 là số chẵn nên 2 số ở trung tâm dãy (số thứ 3 và số thứ 4) lần lượt là số liền trước và số liền sau của trung bình cộng.

Vậy số thứ 3 và số thứ 4 của dãy lần lượt là 22 và 24.

Các số liền trước của 22 và 24 là: 18; 20; 22; 24

Số nhỏ nhất là 18

Đáp số: 18

Dạng 3: Tìm tổng, tìm số số hạng, tìm số chưa biết

Từ công thức gốc, ta suy ra hai công thức đảo để tìm tổng hoặc tìm số số hạng. Dạng này cũng dùng để tìm một số chưa biết khi biết trung bình cộng và các số còn lại.

Biết trung bình cộng và số số hạng → Tổng = Trung bình cộng × Số số hạng
Biết tổng và trung bình cộng → Số số hạng = Tổng : Trung bình cộng
Biết trung bình cộng và các số còn lại → Tìm tổng trước, rồi lấy tổng trừ đi các số đã biết

Ví dụ 1: Tìm số số hạng

Tổng của một dãy số là 560, trung bình cộng của dãy là 80.

Hỏi dãy có bao nhiêu số hạng?

Lời giải:

Số số hạng của dãy là: 560 : 80 = 7 (số hạng).

Đáp số: 7 số hạng.

Ví dụ 2: Tìm số chưa biết

Trung bình cộng của 4 số là 35. Ba số đầu là 24, 31, 40. Tìm số thứ tư.

Lời giải:

Tổng của 4 số là: 35 × 4 = 140.

Tổng ba số đầu là: 24 + 31 + 40 = 95.

Số thứ tư là: 140 - 95 = 45.

Đáp số: 45

Ví dụ 3: Bài toán tuổi

Tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 33 học sinh là 12 tuổi. Nếu không kể cô giáo thì tuổi trung bình của 33 học sinh là 11 tuổi.

Hỏi cô giáo bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

Tổng tuổi của 34 người là: 12 × 34 = 408 (tuổi).

Tổng tuổi của 33 học sinh là: 11 × 33 = 363 (tuổi).

Tuổi cô giáo là: 408 - 363 = 45 (tuổi).

Đáp số: 45 tuổi.

Ví dụ 4: Bài toán cặp trung bình cộng

Trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ hai là 39. Trung bình cộng của số thứ hai và số thứ ba là 30. Trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ ba là 36.

Tìm ba số đó.

Lời giải:

Tổng của số thứ nhất và số thứ hai là: 39 × 2 = 78.

Tổng của số thứ hai và số thứ ba là: 30 × 2 = 60.

Tổng của số thứ nhất và số thứ ba là: 36 × 2 = 72.

Hai lần tổng của ba số là: 78 + 60 + 72 = 210.

Tổng của ba số là: 210 : 2 = 105.

Số thứ nhất là: 105 - 60 = 45 (vì tổng số thứ hai và thứ ba là 60)

Số thứ hai là: 78 - 45 = 33

Số thứ ba là: 72 - 45 = 27.

Đáp số: 45; 33; 27.

Dạng 4: Bằng, hơn, kém trung bình cộng

Đây là nhóm bài rất hay ra trong đề ôn luyện. Điểm khó là học sinh phải hiểu mối liên hệ giữa số chưa biết và trung bình cộng của cả nhóm.

Ghi nhớ các công thức sau: với TBC là trung bình cộng của N số hạng và A là một số trong N số hạng đó.

A = TBC: Tổng các số còn lại = (N - 1) x TBC hay A là trung bình cộng của các số hạng còn lại.
A nhỏ hơn TBC d đơn vị: Tổng các số còn lại - d = (N - 1) x TBC
A lớn hơn TBC d đơn vị: Tổng các số còn lại + d = (N - 1) x TBC

Ví dụ 1: Bằng trung bình cộng

Hùng có 24 cái bánh, Tú có 28 cái bánh. Khánh có số bánh bằng trung bình cộng của cả ba bạn. Hỏi Khánh có bao nhiêu cái bánh?

Lời giải:

B1: Đề bài xét số bánh của 3 người nên có tổng số phần bằng nhau là 3 phần, mỗi phần tương ứng với giá trị của trung bình cộng.

B2: xét số bánh của Khánh bằng trung bình cộng của 3 người.

→ Tổng số bánh của Hùng và Tú = (3 - 1) x trung bình cộng = 2 x trung bình cộng.

B3: Từ số bánh của Hùng và Tú theo đề cho ta có:

Hai lần trung bình cộng số bánh của ba bạn là: 24 + 28 = 52 (cái bánh)

Số bánh của Khánh là: 52 : 2 = 26 (cái bánh).

Đáp số: 26 cái bánh.

Ví dụ 2: Nhiều hơn trung bình cộng

Nam có 32 viên kẹo, Việt có 36 viên kẹo, Hùng có số kẹo nhiều hơn trung bình cộng của cả ba bạn là 10 viên.

Hỏi Hùng có bao nhiêu viên kẹo?

Lời giải:

Xét số kẹo của Hùng nhiều hơn trung bình cộng của 3 người là 10 viên kẹo.

→ Tổng số kẹo cua Nam và Việt + 10 = (3 - 1) x trung bình cộng = 2 x trung bình cộng.

Hai lần trung bình cộng số viên kẹo của ba bạn là: 32 + 36 + 10 = 78.

Trung bình cộng số kẹo của ba bạn là: 78 : 2 = 39 (viên kẹo).

Số kẹo của Hùng là: 39 + 10 = 49 (viên kẹo).

Đáp số: 49 viên kẹo.

Ví dụ 3: Ít hơn trung bình cộng

An có 120 quyển vở, Bình có 78 quyển vở. Lan có số quyển vở kém trung bình cộng của ba bạn là 16 quyển.

Hỏi Lan có bao nhiêu quyển vở?

Lời giải:

Hai lần trung bình cộng số vở của ba bạn là: 120 + 78 - 16 = 182. (A nhỏ hơn TBC d đơn vị: Tổng các số còn lại - d = (N - 1) x TBC, với N = 3)

Trung bình cộng số vở của ba bạn là: 182 : 2 = 91 (quyển).

Số vở của Lan là: 91 - 16 = 75 (quyển).

Đáp số: 75 quyển vở

Ví dụ 4: Ít hơn trung bình (4 đại lượng)

Có bốn ngăn sách, ngăn thứ nhất có 7 quyển, ngăn thứ hai có 11 quyển, ngăn thứ ba có 14 quyển, ngăn thứ tư có số sách ít hơn trung bình cộng của cả bốn ngăn là 2 quyển.

Hỏi cả bốn ngăn có bao nhiêu quyển sách?

Lời giải:

Ba lần trung bình cộng số quyển sách của cả bốn ngăn là: 7 + 11 + 14 - 2 = 30 (quyển sách) (A nhỏ hơn TBC d đơn vị: Tổng các số còn lại - d = (N - 1) x TBC, với N = 4)

Trung bình cộng số quyển sách của cả bốn ngăn là: 30 : 3 = 10 (quyển sách)

Tổng số quyển sách ở cả 4 ngăn là: 10 × 4 = 40 (quyển sách)

Đáp số: 40 quyển sách

Dạng 5: Các bài toán vận dụng trung bình cộng

Một số bài toán có vận dụng trung bình cộng thường gặp như:

Thêm một số, bớt một số làm thay đổi trung bình cộng
- Khi thêm một số mới vào nhóm dữ liệu, tổng thay đổi và số phần tử cũng thay đổi. Muốn giải, cần tính tổng cũ và tổng mới rồi so sánh.
Bài toán tính tuổi liên quan tới trung bình cộng
- Loại này rất gần với thực tế. Cách làm vẫn là đổi trung bình cộng về tổng, rồi bớt hoặc thêm người cần xét.
Bài toán hình học có dùng trung bình cộng
- Trong hình học lớp 4 - 5, trung bình cộng thường xuất hiện khi đề cho trung bình cộng chiều dài và chiều rộng, hoặc trung bình cộng hai đáy của hình thang.
Trung bình cộng có trọng số giản đơn
- Đây là nhóm bài mà các nhóm không có cùng số phần tử, nên không được lấy trung bình cộng của các mức trung bình nhỏ. Phải tính tổng tất cả trước, rồi chia cho tổng số phần tử.

Ví dụ 1: thêm một số, bớt một số làm thay đổi trung bình cộng

Trung bình cộng của 5 số là 18. Nếu thêm số 30 vào dãy thì trung bình cộng mới là bao nhiêu?

Lời giải:

Tổng cũ là: 18 × 5 = 90.

Tổng mới là: 90 + 30 = 120.

Trung bình cộng mới là: 120 : 6 = 20.

Đáp số: 20.

Ví dụ 2: Bài toán tính tuổi liên quan đến trung bình cộng

Trung bình cộng tuổi của bố, mẹ và An là 22 tuổi. Nếu không tính tuổi bố thì tuổi trung bình của mẹ và An là 17 tuổi.

Hỏi bố bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

Tổng tuổi của 3 người là: 22 × 3 = 66.

Tổng tuổi của mẹ và An là: 17 × 2 = 34.

Tuổi bố là: 66 - 34 = 32 (tuổi).

Đáp số: 32 tuổi.

Ví dụ 3: Bài toán hình học có dùng trung bình cộng

Một hình chữ nhật có trung bình cộng của chiều dài và chiều rộng là 12 cm. Biết chiều dài hơn chiều rộng 6 cm.

Tính diện tích hình chữ nhật.

Lời giải:

Tổng của chiều dài và chiều rộng là: 12 × 2 = 24 (cm).

Chiều dài là: (24 + 6) : 2 = 15 (cm).

Chiều rộng là: 24 - 15 = 9 (cm).

Diện tích là: 15 × 9 = 135 (cm²).

Đáp số: 135 cm².

Ví dụ 4: trung bình cộng có trọng số đơn giản

Lần đầu có 6 xe ô tô, mỗi xe chở 1200 kg gạo. Lần sau có 4 xe ô tô, mỗi xe chở 2100 kg gạo.

Hỏi trung bình mỗi ô tô chở được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Lời giải:

Lần đầu 6 xe chở: 1200 × 6 = 7200 (kg).

Lần sau 4 xe chở: 2100 × 4 = 8400 (kg).

Cả hai lần chở: 7200 + 8400 = 15600 (kg).

Có tất cả: 6 + 4 = 10 (xe).

Trung bình mỗi ô tô chở được: 15600 : 10 = 1560 (kg).

Đáp số: 1560 kg.